2024-2025学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．（3分）2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标，它（）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．明天是晴天 B．地球自西向东自转 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上3．（3分）解一元二次方程x2+6x+9＝0，配方后正确的是（）A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x+3）2＝184．（3分）在平面直角坐标系中，以（2，1）为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系（）A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1x2+x1+x2的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．（3分）为了促进经济发展，从2024年2月20日至2024年10月21日，国家对贷款市场报价利率（LPR），5年期以上LPR从3.95%降到了3.60%，设5年期以上LPR平均每次下调的百分率为x，所列方程正确的是（）A．3.95%x2＝3.60% B．3.95%（1﹣x）2＝3.60% C．3.95%﹣x＝3.60%+x D．3.95%（1﹣2x）＝3.60%7．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2﹣2x向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为（）A．（0，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）8．（3分）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，已知点M是△ABC的内心，A1、B1、C1分别是点M关于BC、CA、AB的对称点，点B在△A1B1C1的外接圆上，且点A在B1C1边上，若△A1B1C1的外接圆半径为2，则BC长为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，AB＝AF＝8时，则BE+CF的最小值为（）A．10 B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于原点对称点P′的坐标是．12．（3分）某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下：射击次数10501002004001000“射中9环以上”的次数64379156326803“射中9环以上”的频率0.600.860.790.780.8150.803由表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为．（结果保留小数点后两位）．13．（3分）用一个圆心角为180°的扇形做一个圆锥的侧面，此时圆锥的底面圆半径为3，则这个圆锥的母线长为．14．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，若点B，D，AB＝BD，则∠C的度数为．15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的正半轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②4a＞c2+bx+c＞x+c，则0＜x＜﹣c；④若点E（x1，y1）、点F（x2，y2）在该二次函数图象上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，则y1＞y2．其中正确的结论是．（填写正确结论的序号）16．（3分）如图，边长为3的正方形的顶点A、B在半径为3的圆上，顶点C、D在圆内，当点B再一次落在圆上时，点B运动的路径长为．三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．17．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根是x＝6，求m的值及方程的另一个根．18．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'，使得CC'∥AB19．（8分）一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同．（1）若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是；（2）将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏．他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，则小张胜，否则小王胜20．（8分）如图，AB为圆O的直径，C为圆上一点，过C作圆O的切线CP交OE延长线于点P，OP交圆O于点D．连接PB．（1）证明：PB为圆O的切线；（2）过点D作DH⊥AB，DH交AB于H，DH交CB于F，CF＝8，求圆O的半径．21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的8×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，B，C．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，按步骤完成下列问题．（1）在图1中画圆心O，并过点B作圆O的切线BE；（2）在图2中作∠BCA的角平分线CD，与圆O交于点D；（3）在图2中，作弦DF，使DF⊥BC．22．（10分）【问题背景】洪山区某校开展综合与实践活动．同学们发现在相同玻璃水杯内加入不同高度的水量，用筷子敲击玻璃水杯会发出不同音调．【实验操作】由于频率不同则音调不同，因此同学们用频率仪作测量实验，获得如下水量高度与频率数据对照表．水量高度mm7142235455564728092101113136频率HZ13811366136513621347131112741227117310911021945741【建立模型】用x表示对应的水量高度，用y表示频率，同学们运用信息技术描出数据散点图并发现可用二次函数任务1当水量高度为10mm时，计算频率值为HZ．任务2若要敲击出高音3，玻璃水杯水量高度为多少mm？（结果保留整数）（C调音符与频率对照表：低音3﹣330HZ，高音3﹣1318HZ，其他参考数据：452＝2025，，）【反思优化】同学们通过观察如图，发现第十一组数据（101，1021）与利用二次函数（101，y），减少偏差．通过查阅资料后知道：可将水量高度101mm对应的频率值进行n次测量，得到n个结果y1，y2…yn，再计算n个结果与y之差的平方和，记为w，w越小任务3当偏差w最小时，说明y与y1，y2…，yn之间关系，并阐述理由．23．（10分）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰Rt△ABC中，点E在BC边上，以CE为边作正方形CEFD，连接BF，点P为线段BF的中点，EP．以点P为对称中心，画出△PEF关于点P对称的图形；（2）【类比探究】在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC边上一点，且CD＝CE，再将菱形CEFD绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形CE'F'D如图2，连接BF'，连接AP、PE'，判断AP与PE′的位置及大小关系；（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若AC＝4，菱形CEFD在旋转过程中，当AP最小时△ABP的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（6，0），B（0，2），D（4，2）三点（1）求抛物线的对称轴方程；（2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接BC，P为直线BC下方抛物线上的点，连接DH、HP，求P点坐标；（3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线y＝mx+n（n＞0），连接FM、FN，分别交y轴于点D、E，求证：直线MN恒经过一定点，并求出定点坐标．

2024-2025学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DBAACBDCDC一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．（3分）2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标，它（）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形【解答】解：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：D．2．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．明天是晴天 B．地球自西向东自转 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上【解答】解：A、明天是晴天是随机事件；B、地球自西向东自转是必然事件；C、篮球队员在罚球线投篮一次，不符合题意；D、掷一枚硬币，不符合题意；故选：B．3．（3分）解一元二次方程x2+6x+9＝0，配方后正确的是（）A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x+3）2＝18【解答】解：由题知，x2+6x+5＝0，（x+3）8＝0．故选：A．4．（3分）在平面直角坐标系中，以（2，1）为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系（）A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交【解答】解：∵点（2，1）到x轴的距离为3，∴d＝r，∴点（2，1）为圆心，故选：A．5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1x2+x1+x2的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝5的两个根，∴x1x2＝﹣2，x1+x2＝8，∴x1x2+x3+x2＝1．故选：C．6．（3分）为了促进经济发展，从2024年2月20日至2024年10月21日，国家对贷款市场报价利率（LPR），5年期以上LPR从3.95%降到了3.60%，设5年期以上LPR平均每次下调的百分率为x，所列方程正确的是（）A．3.95%x2＝3.60% B．3.95%（1﹣x）2＝3.60% C．3.95%﹣x＝3.60%+x D．3.95%（1﹣2x）＝3.60%【解答】解：根据题意得：3.95%（1﹣x）4＝3.60%．故选：B．7．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2﹣2x向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为（）A．（0，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）【解答】解：y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+5）2+1，即抛物线的顶点坐标为（﹣6，把点（﹣1，1）向左平移一个单位长度，5）．故选：D．8．（3分）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：三张图片上、中、下三段分边表示为A、a、1；B、b、2；C、c、3．画树状图为：共有27种等可能的结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数为3，所以这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率＝＝．故选：C．9．（3分）如图，已知点M是△ABC的内心，A1、B1、C1分别是点M关于BC、CA、AB的对称点，点B在△A1B1C1的外接圆上，且点A在B1C1边上，若△A1B1C1的外接圆半径为2，则BC长为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接BM，设MA1与CB交于点G，MB1与AC交于点H，MC3与AB交于点K，∵△A1B1C2的外接圆半径为2，且点B也在△A1B3C1的外接圆上，∴MA1＝MB5＝MC1＝MB＝2，∵A6、B1、C1分别是点M关于BC、CA，∴MK＝KC4＝1，MG＝GA1＝4，MH＝HB1＝1，∴△MKA、△C5KA、△MHA1HA都是等腰直角三角形，∴∠B1MC5＝45°+45°＝90°，∵∠MKA＝∠MHA＝90°，且MK＝MH，∴四边形MKAH是正方形，∴∠BAC＝90°，AK＝1，在Rt△BMK中，BM＝2MK，∴∠MBK＝30°，BK＝＝，同理∠MBG＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝30°，∵AB＝BK+AK＝，∴BC＝2AB＝2；故选：D．10．（3分）如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，AB＝AF＝8时，则BE+CF的最小值为（）A．10 B． C． D．【解答】解：如图，在AB上截取AG＝AE，CG，在△ABE和△AFG中，，∴△ABE≌△AFG（SAS），∴BE＝GF，∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F，∵AB＝AF＝8，且，∴AE＝AG＝2，∴BG＝AB﹣AG＝6，∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，在Rt△BCG中，CG＝，即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2，∴BE+CF的最小值为2，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于原点对称点P′的坐标是（4，﹣5）．【解答】解：点P（﹣4，5）关于原点对称点P′的坐标是（2．故答案为：（4，﹣5）．12．（3分）某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下：射击次数10501002004001000“射中9环以上”的次数64379156326803“射中9环以上”的频率0.600.860.790.780.8150.803由表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为0.80．（结果保留小数点后两位）．【解答】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.80，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是3.80．故答案为：0.80．13．（3分）用一个圆心角为180°的扇形做一个圆锥的侧面，此时圆锥的底面圆半径为3，则这个圆锥的母线长为1．【解答】解：设圆锥底面的半径为r，根据题意得2πr＝，解得：r＝8．故答案为：1．14．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，若点B，D，AB＝BD，则∠C的度数为115．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠ABE＝45°，又∵AB＝BD，∴∠BDA＝＝65°，∴∠ADE＝180°﹣65°＝115°，∴∠C＝115°，故答案为：115°．15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的正半轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②4a＞c2+bx+c＞x+c，则0＜x＜﹣c；④若点E（x1，y1）、点F（x2，y2）在该二次函数图象上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，则y1＞y2．其中正确的结论是①③④．（填写正确结论的序号）【解答】解：∵对称轴为直线x＝2，∴﹣＝4，∴b＝﹣4a＞0，∴7a+b＝0，故①正确；∵x＝2时，y＞7，∴4a+2b+c＞5，∵b＝﹣4a，∴﹣4a+c＞3，∴c＞4a，故②错误；∵OA＝OC，C（0，∴OA＝OC＝﹣c，∴A（﹣c，2），∵直线y＝x+c与x轴的交点为（﹣c，0），∴直线y＝x+c过A，C两点，观察图象，若ax2+bx+c＞x+c，则3＜x＜﹣c；由题意可知点E（x1，y1）到对称轴的距离小于点F（x8，y2）到对称轴的距离，∵抛物线开口向下，∴y1＞y5．故④正确；故答案为：①③④．16．（3分）如图，边长为3的正方形的顶点A、B在半径为3的圆上，顶点C、D在圆内，当点B再一次落在圆上时，点B运动的路径长为．【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OD1，∴OA＝OB＝AB＝AD1＝OD8，∴△AOB和△AOD1是等边三角形，∴∠OAB＝∠OAD1＝60°，∴∠BAD8＝120°，∴∠BAB1＝∠BAD1﹣∠B7AD1＝30°，∴弧BB1的长＝弧B6B3的长＝＝，弧B1B2的长＝＝π．∴点B运动的路径长为：，故答案为：，三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．17．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根是x＝6，求m的值及方程的另一个根．【解答】解：把x＝6代入x2﹣2x+m＝0得：36﹣24+m＝0，解得：m＝﹣12，设方程另一根为x＝t，根据根与系数的关系可得：3+t＝4，解得：t＝﹣2，即方程的另一个根为﹣8．18．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'，使得CC'∥AB【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'，∴AC＝AC'，∴∠ACC'＝∠AC'C，又∵CC'∥AB，∴∠ACC'＝∠CAB＝70°，∴∠AC'C＝70°，∴∠CAC'＝180°﹣2×70°＝40°．19．（8分）一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同．（1）若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是；（2）将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏．他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，则小张胜，否则小王胜【解答】解：（1）从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率＝＝；故答案为：；（2）该游戏不公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两个球中有红球的结果数为7，小王胜的概率＝3﹣＝，因为＜，所以该游戏不公平．20．（8分）如图，AB为圆O的直径，C为圆上一点，过C作圆O的切线CP交OE延长线于点P，OP交圆O于点D．连接PB．（1）证明：PB为圆O的切线；（2）过点D作DH⊥AB，DH交AB于H，DH交CB于F，CF＝8，求圆O的半径．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵E为弦BC的中点，∴OE⊥BC，∵OE垂直平分BC，点P在OE的延长线上，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵CP与⊙O相切于点C，∴CP⊥OC，∴∠OBP＝∠OBC+∠PBC＝∠OCB+∠PCB＝∠OCP＝90°，∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，∴PB为⊙O的切线．（2）解：∵OE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，∴∠OEB＝∠OHD＝90°，∵∠EOB＝∠HOD，OB＝OD，∴△EOB≌△HOD（AAS），∴OE＝OH，∴OB﹣OH＝OD﹣OE，∴BH＝DE，∵∠BHF＝∠DEF＝90°，∠BFH＝∠DFE，∴△BFH≌△DFE（AAS），∴BF＝DF＝4，∵CF＝8，∴BC＝CF+BF＝7+4＝12，∴BE＝CE＝BC＝6，∴EF＝BE﹣BF＝6﹣5＝2，∴DE＝＝＝2，∵OE2+BE2＝OB3，且OE＝OD﹣DE＝OB﹣2，∴（OB﹣4）2+32＝OB2，解得OB＝8，∴⊙O的半径长为4．21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的8×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，B，C．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，按步骤完成下列问题．（1）在图1中画圆心O，并过点B作圆O的切线BE；（2）在图2中作∠BCA的角平分线CD，与圆O交于点D；（3）在图2中，作弦DF，使DF⊥BC．【解答】解：（1）如图1，①连接格点A，B及格点C，G，②连接格点BE，则BE是⊙O的切线；（2）如图2，连接格点C，H，交⊙于点D；（3）①连接格点A，M，交⊙O于点F，②连接DF，则DF⊥BC．22．（10分）【问题背景】洪山区某校开展综合与实践活动．同学们发现在相同玻璃水杯内加入不同高度的水量，用筷子敲击玻璃水杯会发出不同音调．【实验操作】由于频率不同则音调不同，因此同学们用频率仪作测量实验，获得如下水量高度与频率数据对照表．水量高度mm7142235455564728092101113136频率HZ13811366136513621347131112741227117310911021945741【建立模型】用x表示对应的水量高度，用y表示频率，同学们运用信息技术描出数据散点图并发现可用二次函数任务1当水量高度为10mm时，计算频率值为1379HZ．任务2若要敲击出高音3，玻璃水杯水量高度为多少mm？（结果保留整数）（C调音符与频率对照表：低音3﹣330HZ，高音3﹣1318HZ，其他参考数据：452＝2025，，）【反思优化】同学们通过观察如图，发现第十一组数据（101，1021）与利用二次函数（101，y），减少偏差．通过查阅资料后知道：可将水量高度101mm对应的频率值进行n次测量，得到n个结果y1，y2…yn，再计算n个结果与y之差的平方和，记为w，w越小任务3当偏差w最小时，说明y与y1，y2…，yn之间关系，并阐述理由．【解答】解：任务1．当x＝10时，y＝﹣0.04×104+0.9×10+1374＝1379．故答案为：1379；任务5．要敲击出高音3，y＝1318HZ，∴1318＝﹣0.04x3+0.9x+1374，整理得：4x2﹣90x﹣5600＝0，5x2﹣45x﹣2800＝0，x8＝＝≈＝≈50，x2＝＜0，舍去）．答：玻璃水杯水量高度约为50mm；任务3．w＝（y8﹣y）2+（y2﹣y）3+（y3﹣y）2++（yn﹣y）4＝ny2﹣2（y6+y2+y3+...+yn）y++++，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线y＝﹣＝，∴当偏差w最小时，y＝，23．（10分）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰Rt△ABC中，点E在BC边上，以CE为边作正方形CEFD，连接BF，点P为线段BF的中点，EP．以点P为对称中心，画出△PEF关于点P对称的图形AP⊥PE，AP＝PE；（2）【类比探究】在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC边上一点，且CD＝CE，再将菱形CEFD绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形CE'F'D如图2，连接BF'，连接AP、PE'，判断AP与PE′的位置及大小关系；（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若AC＝4，菱形CEFD在旋转过程中，当AP最小时△ABP的值．【解答】解：（1）如图1，延长EP至G，连接BG，则△PGB与△PEF关于点P对称，△PGB即为所求作的图形．∵四边形CDFE是正方形，∴∠CEF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣90°＝90°，∵点P为线段BF的中点，∴PE＝BP＝PF，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠APF＝∠PAB+∠PBA＝2∠PBA，∵∠BAC＝90°，点P为线段BF的中点，∴AP＝BP＝PF，∴∠PEB＝∠PBE，AP＝PE，∴∠EPF＝∠PEB+∠PBE＝6∠PBE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠APE＝∠APF+∠EPF＝2∠PBA+2∠PBE＝6（∠PBA+∠PBE）＝2∠ABC＝90°，∴AP⊥PE，故答案为：AP⊥PE，AP＝PE；（2）结论：AP⊥PE′，AP＝；证明如下：如图6，作△PE′F′关于点P成中心对称的△PQB、AE，则PQ＝PE′，PB＝PF′，∴△PBQ≌△PF′E′（SAS），∴BQ＝F′E′，∠PBQ＝∠PF′E′，∴BQ∥E′F′，∵四边形CE′F′D′是菱形，∠D′CE′＝60°，∴CD′∥E′F′，CD′＝E′F′＝CE′，∴CD′∥BQ，∴∠T＝∠D′CE′＝60°，∴∠TBC+∠TCB＝120，即∠ABQ+∠ABC+∠TCB＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠TCB+∠ACE′＝120°，∴∠ABQ＝∠ACE′，∴△ABQ≌△ACE′（SAS），∴AQ＝AE′，∠BAQ＝∠CAE′，∴∠QAE′＝∠BAQ+∠BAE′＝∠CAE′+∠BAE′＝∠BAC＝60°，∴△AQE′是等边三角形，∴AE′＝QE′＝2PE′，∵PQ＝PE′，∴AP⊥PE