习题课线面积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

习题课一、曲线积分计算法二、曲面积分计算法机动目录上页下页返回结束线面积分计算第十章第1页一、曲线积分计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终练习题:P184题3(1),(3),(6)机动目录上页下页返回结束第2页解答提醒:计算其中L为圆周提醒:

利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则机动目录上页下页返回结束P1843(1)第3页P184

3(3).计算其中L为摆线上对应t从0到2一段弧.提醒:机动目录上页下页返回结束第4页P1843(6).计算其中由平面y=z截球面提醒:因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.机动目录上页下页返回结束第5页(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分联络公式.2.基本技巧机动目录上页下页返回结束第6页例1.计算其中

为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(

重心在原点)机动目录上页下页返回结束第7页例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径上半圆周.机动目录上页下页返回结束第8页解法2

它与L所围区域为D,(利用格林公式)思索:(2)若L同例2,怎样计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,怎样计算下述积分:则添加辅助线段机动目录上页下页返回结束第9页思索题解答:(1)(2)机动目录上页下页返回结束第10页计算其中L为上半圆周提醒:沿逆时针方向.练习题:P184题3(5);P185题6;103(5).机动目录上页下页返回结束第11页P185

6

.设在右半平面x>0内,力组成力场,其中k为常数,证实在此力场中场力所作功与所取路径无关.提醒:令易证F沿右半平面内任意有向路径L

所作功为机动目录上页下页返回结束第12页P185

10.求力沿有向闭曲线

所作功,其中为平面x+y+z=1

被三个坐标面所截成三提醒:方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形整个边界,机动目录上页下页返回结束第13页设三角形区域为,方向向上,则方法2利用斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束第14页二、曲面积分计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:一直非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面机动目录上页下页返回结束第15页思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分特例.2)设曲面问以下等式是否成立?

不对!对坐标积分与

侧相关机动目录上页下页返回结束第16页2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面技巧(辅助面普通取平行坐标面平面)(3)两类曲面积分转化机动目录上页下页返回结束第17页练习:P185题4(3)

其中为半球面上侧.且取下侧,提醒:以半球底面原式=P185题4(2),P185题9一样可利用高斯公式计算.记半球域为,高斯公式有计算为辅助面,利用机动目录上页下页返回结束第18页例3.证实:设(常向量)则单位外法向向量,试证设为简单闭曲面,a

为任意固定向量,n为

机动目录上页下页返回结束第19页例4.计算曲面积分其中,解:思索:本题

改为椭球面时,应怎样计算?提醒:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.机动目录上页下页返回结束第20页例5.设是曲面解:取足够小正数,

作曲面取下侧

使其包在内,为xoy平面上夹于之间部分,且取下侧,取上侧,计算则机动目录上页下页返回结束第21页第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得机动目录上页下页返回结束第22页例6.计算曲面积分中

是球面解:利用对称性用重心公式机动目录上页下页返回结束第23页例7.设L是平面与柱面交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记

为平面上

L所围部分上侧,D为

在xoy面上投影.由斯托克斯公式公式目录上页下页返回结束第24页D形心机动目录上页下页返回结束第25页作业P1843(2),(4);3(2)5;8机动目录上页下页返回结束第26页(1)在任一固定时刻,此卫星能监视地球表面积是备用题

地球一个侦察卫星携带广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面每一处景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25R,卫星绕地球一周时间为T,试求(2)在解:如图建立坐标系.时间内,卫星监视地球表面积是多少?多少?机动目录上页下页返回结束第27页(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为(2)在时间内监视地球表面