河南省濮阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题【含答案解析】

普通高中2024—2025学年（上）高一年级期末考试数学（人教版）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据交集的定义求结论.【详解】当时，，故不是不等式的解，不等式可化为，因为，故，所以且，所以且，又，所以.故选：B.2.已知命题，；命题，，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】【分析】取可判断命题，利用函数的零点存在定理可判断命题，即可得出结论.【详解】取易得命题为假命题，故命题为真命题；构造函数，其中，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，，则，所以，函数在上有且只有一个零点，命题为真命题.因此，和都是真命题.故选：B.3.某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（）A.严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件B.严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件C.严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件D.严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可.【详解】由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24，但肥胖指数大于24，不大于28时不能推出严重肥胖，因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件．故选：A．4.已知幂函数的图象分别经过两点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将点的坐标代入函数解析式中可得，表示出，然后逐个分析判断.【详解】把两点分别代入可得，所以，，对于A，，若，则，得，此方程无解，所以不成立，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，，因为在上递减，且，所以，即，所以，所以不成立，所以C错误，对于D，若，则，得，显然不成立，所以，所以D错误.故选：B．5.已知函数，其中，则下列说法中错误的是（）A.若为偶数，则与的值域相同 B.若为奇数，则与的值域相同C.若为偶数，则与的定义域相同 D.若为奇数，则与的定义域相同【答案】C【解析】【分析】分为偶数和为奇数结合对数函数的性质分析判断即可.【详解】（1）当为偶数时，的定义域为，的定义域为，所以与的定义域不相同，为偶函数，当时，，所以与的值域相同．（2）当为奇数时，与的定义域均为，且，所以与的定义域与值域均相同．所以选项C错误.故选：C．6.已知，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简变形可求出，再利用二倍角公式可求得结果.【详解】由，得，所以，所以，解得或（舍），所以．故选：A．7.已知函数，若，且，则方程的根的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】分析可知为函数与的交点，结合函数对称性即可得结果.【详解】因为，，可知是图象的一个对称中心，是的图象的上顶点，且点为函数与的交点，又是图象的一个对称中心，故关于的对称点也在与的图象上，结合图象可知：方程的根的个数为3．故选：C．8.已知正数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意将转化为三条直线分别与交点的横坐标，然后结合图象可求得结果.【详解】由，得，由此可得是方程的根，则是直线与曲线交点的横坐标；由，得，则是方程的根，则是直线与曲线交点的横坐标；由，得，，则是方程的根，则是直线与曲线交点的横坐标．直线，和交于点，曲线经过点，由函数图象可得．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增，所以，无零点，不能使用二分法，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确；对于C，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增，因为，所以可以使用二分法，故C错误；对于D，，无零点，不能使用二分法，故D正确．故选：ABD．10.已知实数满足，则下列说法正确的有（）A.B.若且，则最大值为2C.对于任意的，总有D.存在，使得【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据不等式的基本性质分析判断，对于B，利用基本不等式结合已知条件分析判断，对于C，根据指数函数的性质和对数函数的性质分析判断，对于D，分别求出的最大值和的最小值的分析判断.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，若，则，故，当且仅当时等号成立，但，故等号无法成立，故B错误；对于C，对于任意的，所以，故恒成立，故C正确；对于D，因为，故的最大值在时取到，此时取值为，因为，所以的最小值在时取到，此时取值为，故的最大值小于的最小值，不存在，使得，故D错误．故选：AC．11.在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（）A.在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条B.在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次C.在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次D.在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次【答案】BC【解析】【分析】对取特殊即可排除A选项和D选项；由三角函数的对称性及最值判断B选项和C选项；【详解】当时，在区间内恒星亮度变化曲线有2条对称轴，故A错误；由于时，恒星处于最亮状态，即函数取最大值，可解得，故，则是函数的对称轴，区间关于对称，故恒星的亮度为的次数一定是偶数次，B正确；因为当和时，该恒星的亮度均为，且时恒星处于最亮状态，，故，则，即时取最小值，在内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次，在内，由于区间关于对称，且时取最小值，故恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故C正确；当时，，在区间内恒星达到最暗的次数只有1次，故D错误．故选：BC．【点睛】方法点睛，本题重点考查的内容是三角函数的图像及性质，通过三角函数的最值及对称性来解决本题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为________.【答案】##【解析】【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式得出圆心角的弧度数.【详解】设此扇形的圆心角的弧度数为，半径为，弧长为，则，解得.故答案为：13.已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意结合余弦函数的图象可得，解不等式组可求得正数的取值范围.【详解】为使函数满足有且仅有三个零点，根据余弦函数的图象可得，解得，故的取值范围是．故答案为：14.已知函数的图象是中心对称图形，则其对称中心的坐标为______．【答案】【解析】【分析】利用反比例函数的对称性得到对称中心的横坐标为，再设对称中心的坐标为，利用列式即可解得.【详解】已知图象关于原点对称，故的图象关于点对称，令，解得，故对称中心横坐标为2，故设其对称中心的坐标为，则，可知，解得，故其对称中心的坐标为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.按要求完成下列各题．（1）求值：；（2）已知点为角终边上一点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数式与对数式运算法则，可得答案；（2）根据正切函数的定义可得正切值，利用同角三角函数的商式，可得答案.【小问1详解】，，，故原式．【小问2详解】由三角函数的概念可得，故．16.设集合．（1）当时，求集合的非空真子集的个数；（2）若，求整数的所有可能取值．【答案】（1）14（2）1和2【解析】【分析】（1）把代入并求出，进而求出其非空真子集的个数.（2）利用集合包含关系，列出不等式组求解即得.【小问1详解】当时，，则，所以非空真子集的个数为.【小问2详解】依题意，，由，得，解得，所以整数的所有可能取值为1和2．17.已知函数．（1）求的最小值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案.（2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案.【小问1详解】，当且仅当即时取等号，故的最小值为2，【小问2详解】易知在上单调递增，因为，故，整理得，即，解得，故所求为．18.为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表：1231248156（1）运用上述函数模型，求当时的值；（2）若当时，恒成立，求的最小值．【答案】（1）480（2）【解析】【分析】（1）根据题意将表格中的数据代入函数模型，建立方程组，解得函数中的参数，可得答案；（2）利用分离参数整理不等式，再利用换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】将表格数据代入，得，解得故该函数模型的表达式为，把代入，得．【小问2详解】由题意得当时，恒成立，即，故两边同时除以，得到，不妨设，故原式化为，整理得，由于在上单调递减，在上单调递增，故只需当时，成立即可，把代入得，解得，故的最小值为．19.已知函数，给定，定义的“－关联跟踪函数”为．（1）求的取值范围；（2）已知当时，恒成立．若对于任意的都有，求的取值集合；（3）若，证明：轴为函数图象的对称轴．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用辅助角公式对变形，再利用正弦函数的性质可求出其范围；（2）由，化简得，再由当时，恒成立，可得，从而可求出的取值集合；（3）由，得或，然后分别化简，再判断的奇偶性可得结论.【小问1详解】，其