直线与圆的位置关系-课件

第4讲直线与圆的位置关系

1．判断直线与圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则；d＝r

d<r

第一页，编辑于星期六：七点二十五分。(2)代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若Δ<0，则；若Δ＝0，则；若Δ>0，则直线与圆相交．2．两圆的位置关系设两圆半径分别为r1、r2，圆心距为d4若两圆相外离，则若两圆相外切，则，公切线条数为，公切线条数为..3若两圆相交，则，公切线条数为.2若两圆内切，则若两圆内含，则，公切线条数为，公切线条数为..0直线与圆相离直线与圆相切d>R＋r

d＝R＋r

R－r<d<R＋r

d＝R－r

1d<R－r

第二页，编辑于星期六：七点二十五分。1．函数f(x)＝x3－2x＋3的图像在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝8的位置关系是()CA．相切C．相交但不过圆心B．相交且过圆心D．相离2．圆(x－2)2＋(y＋2)2＝4截直线x＋y－2＝0所得的弦长等于()AA．22B.2C.6D．5第三页，编辑于星期六：七点二十五分。－＜a＜13．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是.154．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为.

解析：线段AB的中垂线方程为即为两圆的连心线．圆C的方程为.x2＋(y＋1)2＝18x＋y－3＝0

5．已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则第四页，编辑于星期六：七点二十五分。考点1直线与圆的位置关系

例1：已知圆

C：(x－3)2＋(y＋5)2＝r2

和直线l：4x－3y－2＝0. (1)若圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围；

(2)若圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围；

(3)若圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围．第五页，编辑于星期六：七点二十五分。

解题思路：解法1采用转化为直线与圆的交点个数的方法来解决；解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手．

解析：方法一：与直线l平行且距离为

1的直线为l1：4x－3y＋3＝0和l2：4x－3y－7＝0，圆心C到直线l1

的距离为d1＝6，圆心C到直线l2

的距离为d2＝4，(1)圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1⇔圆C与l1、l2

均有两个交点⇔r>4且r>6，∴r>6；

(2)圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1⇔圆C与l1

有一个交点，与l2

有两个交点⇔r>4且r＝6，∴r＝6；第六页，编辑于星期六：七点二十五分。(3)圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1⇔圆C仅与l2有两个交点⇔r>4且r<6，∴4<r<6.方法二：设圆心C到直线l的距离为d，则d＝5.(1)圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1⇔r－d>1，∴r>6；(2)圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1⇔r－d＝1，∴r＝6；(3)圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1⇔－1<r－d<1，∴4<r<6.第七页，编辑于星期六：七点二十五分。<1，故c的取值范围是(－13,13)．

在讨论直线与圆的位置关系时，将问题转化为直线与圆的交点个数，是一种简洁的处理方法．

【互动探究】

1．(2010年江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是．(－13,13)解析：圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，即

|c|13第八页，编辑于星期六：七点二十五分。考点2求解圆的切线、弦长问题

例2：从点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

图11－4－1第九页，编辑于星期六：七点二十五分。b＋3∴反射光线所在直线的方程为y＝9＋(b＋3)解析：方法一：如图11－4－1，设l与x轴交于点B(b,0)，则kAB＝

－3

，根据光的反射定律，反射光线的斜率k反＝b＋33.

3b＋3(x－b)，即3x－(b＋3)y－3b＝0.∵圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0的圆心为C(2,2)，半径为1，∴|6－(b＋3)×2－3b|

2＝1，∴l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.第十页，编辑于星期六：七点二十五分。1＋k

方法二：圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1

的坐标为(2，－2)，半径为1.由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则|5k＋5|

22＝1，即12k2＋25k＋12＝0.∴l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.第十一页，编辑于星期六：七点二十五分。第十二页，编辑于星期六：七点二十五分。

【互动探究】

2．函数f(x)＝(x－2011)(x＋2012)的图像与x轴，y轴有三个交点，有一个圆恰经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是()B第十三页，编辑于星期六：七点二十五分。考点3圆的几何性质例3：已知点

P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．(1)求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；(3)求y－2x－1的最大值和最小值．第十四页，编辑于星期六：七点二十五分。第十五页，编辑于星期六：七点二十五分。

【互动探究】

3．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值；

(2)求x2＋y2的最大值和最小值．

解：(1)y－x可看作是直线

y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时第十六页，编辑于星期六：七点二十五分。

(2)x2＋y2

表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．考点4圆与圆的位置关系

例4：已知圆

C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，第十七页，编辑于星期六：七点二十五分。(1)圆C1

与圆C2相外切；(2)圆C1

与圆C2

内含．第十八页，编辑于星期六：七点二十五分。

解得－2＜m＜－1， ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当－2＜m＜－1时，圆C1与圆C2

内含．是.3或7解析：两圆相切(内切或外切)．

【互动探究】

4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}和B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0.若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值第十九页，编辑于星期六：七点二十五分。错源：没有考虑等价性将半圆当作圆来处理

误解分析：y＝3－4x－x2是半圆，很容易把它当作圆以至出错．第二十页，编辑于星期六：七点二十五分。例6：已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

正解：曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆．依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，解得b＝1＋22或b＝1－22，因为是下半圆故应舍去b＝1＋22；当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3，所以C正确．第二十一页，编辑于星期六：七点二十五分。

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．第二十二页，编辑于星期六：七点二十五分。第二十三页，编辑于星期六：七点二十五分。第二十四页，编辑于星期六：七点二十五分。

1．设两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.第二十五页，编辑于星期六：七点二十五分。

1．将圆x2＋y2＝1按向量a＝(2，－1)平移后，恰好与直线x－y＋b＝0相切，则实数b的值为()BA．3±2B．－3±2C．2±2D．－2±2第二十六页，编辑于星期六：七点二十五分。解析：平移后圆的方程为(x－2)2＋