2025届新高考数学冲刺复习祖暅原理的探究与运用

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祖暅原理的探究与运用棱台球问题1如图所示的矩形与平行四边形面积分别是多少？

过程一：类比猜想追问1对于等底等高的平行四边形与矩形,有怎样一般性的结论？过程一：类比猜想追问2你能把这一结论推广到空间吗？等底等高的平行四边形面积相等过程二：推理验证问题2

把书本朝一个方向推歪了，体积会变化吗？为什么？追问1

把书本旋转以后，体积会变化吗？为什么？实验：取一叠书本堆放在桌面上.祖暅

祖暅，字景烁，是著名数学家祖冲之的儿子，也是南北朝时代的伟大科学家。他于5世纪末提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。

在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出相关结论，比西方国家的数学家早一千多年。过程二：推理验证祖暅原理：幂势既同，则积不容异.水平截面面积高

夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等.体积问题1由祖暅原理,等底等高的柱体体积相等吗？为什么？柱体等底等高的长方体过程三：探究与应用·柱体体积

过程三：探究与应用·锥体体积问题2由祖暅原理,等底等高的锥体体积相等吗？为什么?追问1如何借助三棱柱求三棱锥的体积呢？过程三：探究与应用·锥体体积

三棱柱过程三：探究与应用·台体体积PAA1BCDD1B1C1,S为上、下底面面积，h为台体高问题3如何用祖暅原理推导球的体积公式？过程三：探究与应用·球体体积祖暅原理—球的体积（斜二测图）–GeoGebra

《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果。《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等。该原理常应用于计算某些几何体的体积。如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为

cm，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm。（杯的厚度忽略不计，其可看作由半球体截去上下两部分构成的几何体）。（1）求该卧足杯侧面所在球面的半径。（2）求该卧足杯的容积。过程四：迁移与运用过程五：总结与提升通过本节课的学习，在知识层面和数学思想层面，你有什么体会和收获？1.知识层面：①什么是祖暅原理②如何应用祖暅原理③依据祖暅原理推导了柱体、锥体和球体的体积公式2.数学思想：转化思想、类比思想、直观想象、逻辑推理

作业

我国南北朝时期的数家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面枳相等，则这两个儿何体体积相等。利用祖暅原理可以将半球的体枳转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差。图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD。用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方