2025年春北师版八年级数学下册上课课件 第一章 4 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定

4角平分线第1课时角平分线的性质与判定北师版八年级数学下册学习目标证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.在角平分线性质定理及判定定理的学习过程中，体会抽象、类比、分类的数学思想.重点难点新课导入在公路l1、l2附近有两个村庄

A、B，它们的位置如图所示.高速公路管理处要建一个服务区C，按照设计要求，服务区C

到两个村庄A，B

的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等.你能找出服务区C的位置吗？

新课探究什么叫角平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线是这个角的平分线.你还记得角平分线上的点有什么性质吗？

定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.几何语言

如图，∵OP平分∠AOB，PE⊥OB，PF⊥OA，垂足分别为E，F，∴PE=PF.已知：如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证：PD=PE.OABCPDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.OABC12PDE∵

∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴

PD=PE（全等三角形的对应边相等）.应用如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.

若

AC=2，DE=1，则S△ACD=_____.1想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．

定理

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.几何语言

如图，∵PF⊥OA，PE⊥OB，且PE=PF，∴点P在∠AOB的平分线上.已知：如图，点P

为∠AOB

内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E

，且PD=PE.

求证：OP平分∠AOB.OABCPDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°.OABC12PDE∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.∴OP平分∠AOB.

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.ABCDEF例1ABCDEF

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴

DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.1212练习1.判断下列推理是否正确ABCDEFP（1）如图，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.√ABCDEFP（2）如图，∵PE=PF，∴AD平分∠BAC

（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.×ABCDEFP（3）如图，∵点P在∠BAC

的平分线上，

∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.×（4）如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.ABCDEFP×ABCDEFP（5）如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∴点P在∠BAC

的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.√2.如图，BD=CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB

于点D，BE，CD交于点F.

求证：点

F

在∠BAC的平分线上.证明角平分线的常见思路有两种：①直接证明两个角相等；②转化为证明“两条垂线段相等”.1.如图，在△ABC中，P是AC上一点，连接BP，在∠BAC内求作一点M，使得点M

到

AB

和AC

两边的距离相等，并且到点B

和点P

的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）巩固提升一、角平分线和垂直平分线的综合作图解：如图，点M

即为所求.2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC

于点D，DE⊥AB

于点E.若△BDE

的周长是4cm，求AB

的长.二、利用角平分线的性质进行计算转化思想3.如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，AC，BD交于点E，连接OE.求证：EO平分∠AED.三、与角平分线有关的证明随堂演练1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC

交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E.若CD=2，CE=1，则点D

到AB

的距离为（）A.B.C.2D.B2.如图，PM⊥AC

于点M，PN⊥AB

于点N，PM=2，当PN=_______时，点P

在∠BAC的平分线上.2

3.在公路l1异侧、l2同侧有两个村庄

A，B，如图所示，高速公路管理处要建一个服务区C，按照设计要求，服务区C

到两个村庄A，B

的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，请找出服务区C的位置.解：如图，连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与两条直线所形成的角的平分线有两个交点C1，C2，这两个点就是服务区的位置.

4.如图，在四边形ABCD

中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C.若P

是边BC

上一动点，求DP

的最小值.解：如图，过点D

作DH⊥BC于点H.∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°.又∵∠C＋∠BDC＋∠CBD＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH.又∵AD＝3，∴DH＝3.∵D是直线BC

外一点，∴当点P在BC上运动到与点H重合时DP最短，即DP的最小值为3.

5.如图，锐角三角形ABC

的两条高BE，CD相交于点O，且O