数学物理方程幂级数展开省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

函数有准确表示和近似表示。准确表示（解析表示）：表示为初等函数经过四则运算近似表示：迫近近似表示为初等函数经过四则运算级数表示表示为一个函数级数2/18/2025阜师院数科院第1页第三章幂级数展开复数项级数；变项级数（函数级数）；幂级数；幂级数对复变函数研究应用：泰勒级数；洛朗级数，函数奇异性研究。2/18/2025阜师院数科院第2页3.1复数项级数级数是无穷项和1.级数收敛和柯西判据复无穷级数每一项为收敛假如极限存在并有限收敛：2/18/2025阜师院数科院第3页充要条件是其实部与虚部都收敛柯西判据：复数项级数收敛充要条件是，对于一小正整数，必存在一N使得n>N时有式中p为任意正整数。2/18/2025阜师院数科院第4页2.绝对收敛收敛。两个绝对收敛和，积，仍绝对收敛。3.复变项级数每一项都是复变函数。实际上，对于z一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。则原级数收敛。2/18/2025阜师院数科院第5页复变项级数有一个定义域B。它收敛概念应该是相对于这个定义域而言。收敛复变项级数在其定义域B中每一点都收敛，则称在B中收敛。它满足柯西判据：复数项级数收敛充要条件是，对于一小正整数，必存在一N(z)

使得n>N(z)时有2/18/2025阜师院数科院第6页一致收敛当N与z无关时。即对B中全部点给定，就有一个统一N使判据得到满足。

一致收敛级数每一项若为连续函数，级数也将是连续函数。在一条曲线上能够逐项积分。绝对一致收敛在区域B中，复数项级数各项满足

而数项级数收敛。即在各点都绝对收敛2/18/2025阜师院数科院第7页给定

收敛，但与z位置相关。2/18/2025阜师院数科院第8页3.2幂级数幂函数复变项级数对于各复常数级数叫以为中心幂级数。1.定义(3.2.1)z02/18/2025阜师院数科院第9页2.收敛达朗贝尔判据研究(3.2.1)模以下级数满足则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。(3.2.1)(3.2.2)2/18/2025阜师院数科院第10页则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。3.收敛圆记有2/18/2025阜师院数科院第11页收敛圆R叫收敛半径，以为圆心，R为半径圆叫幂级数最简单收敛区域。确保幂级数在圆内点上绝对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收敛。根值判别法(3.2.2)收敛，(3.2.1)绝对收敛。(3.2.2)发散，(3.2.1)发散。故当，(3.2.1)绝对收敛。当，(3.2.1)可能发散。2/18/2025阜师院数科院第12页故例(1)解：收敛半径:收敛圆内部为其实，对于2/18/2025阜师院数科院第13页(2)但对于显然级数发散。解：收敛圆实际上对于4.幂级数积分表示利用柯西公式在一个比收敛圆C内稍小圆C’中幂级数绝对一致收敛，故可沿这个圆逐项积分。2/18/2025阜师院数科院第14页记C’上点为，而C’内任一点为z，则圆上幂级数为利用柯西公式得而有界，2/18/2025阜师院数科院第15页又乘以幂级数在收敛圆内可任意逐项求导。还能够逐项积分。2/18/2025阜师院数科院第16页3.3泰勒级数展开含有没有限阶导数实函数能够展开为泰勒级数。复变函数中解析函数含有没有限阶导数，故应可展开为泰勒级数。定理设在以为圆心圆内解析，则对圆内任意点，可展开为其中证实：又2/18/2025阜师院数科院第17页#关键在确定，但这不是唯一方法例(1)解：#能直接求导就求导2/18/2025阜师院数科院第18页(2)解：#2/18/2025阜师院数科院第19页(3)

是多值函数，各分支在支点相连。但不是支点，在其邻域各分支相互独立。所以，我们能够只讨论展开主值。解：2/18/2025阜师院数科院第20页主值#(4)解：定义显然2/18/2025阜师院数科院第21页2/18/2025阜师院数科院第22页是主值，此时有即二项式定理。#方法与实函数同，但应注意主值。最普通方法，仍是逐层求导。2/18/2025阜师院数科院第23页(5)极点在2/18/2025阜师院数科院第24页不一样幂级数在不一样区域与函数相同。这里存在什么样关系？设在小圆在大圆。问题在于2/18/2025阜师院数科院第25页3.4解析延拓比如和等式两边在收敛圆内是相同，但在收敛圆外等式不一定成立。注意，等式左边仅在收敛圆内有意义，但等式右边除t=1（前一个）或,在整个复平面上解析。所以，问：已知，求在之外F(t)。这个答案是已知2/18/2025阜师院数科院第26页

于是提出问题：已知f(z)在b中解析，是否存在F(z)在B中解析，且在b中F(z)=f(z)。这个过程叫解析延拓。解析延拓方法在b中取点，又取一个邻域，j将f(z)展开为泰勒级数。假如这个级数收敛圆一部分超出区域b进入区域B则此函数解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，能够逐步将函数解析延拓。能够证实，不论采取何种方法，函数f(z)解析延拓是唯一。这么，能够采用一些最方便方法来进行解析延拓。2/18/2025阜师院数科院第27页在点z0收敛、绝对收敛。在定义域，收敛、一致收敛、绝对一致收敛级数幂级数2/18/2025阜师院数科院第28页泰勒级数解析函数解析延拓是否能够将一个解析函数解析区域扩大？在收敛圆内可逐项积分可作为被积函数，被积函数不一定是解析函数。2/18/2025阜师院数科院第29页3.5洛朗展开泰勒展开必须在函数解析区域才可进行。在函数奇点邻域，是否存在对应展开？(2)

泰勒级数解析区域为一收敛圆，收敛圆不可包含奇点，但若研究一个级数，它以圆环作收敛区域，则奇点能够取作圆心，它在收敛环之外。这种级数为洛朗级数泰勒级数是只含有正幂项幂级数，奇点易出现在负幂项，故考虑有负幂级数1.收敛环2/18/2025阜师院数科院第30页设其收敛半径为，则其在圆外部收敛。

故此级数在收敛。这个区域叫收敛环。其中正幂部分收敛半径为。负幂部分写作2/18/2025阜师院数科院第31页2.定理 设f(z)在环形区域内部单值解析，则在环内任一点z，f(z)能够展开为幂级数其中证：沿2/18/2025阜师院数科院第32页沿两个积分回路方向相反，由柯西定理，沿积分可变为沿积分（差一个负号）以下#此为洛朗展开在奇点附近展开2/18/2025阜师院数科院第33页3.例(1)在邻域展开。f(z)无定义。但在挖去原点环域（整个复平面）中又此级数又能够看作f(z)到整个复平面解析延拓。利用泰勒展开2/18/2025阜师院数科院第34页(2)在环域中将展开。还是利用泰勒展开f(z)奇点不是Z=0，而是z=1,-1。(3)在邻域将展开。(z-1)幂级数在2/18/2025阜师院数科院第35页(4)利用取得无限多负幂2/18/2025阜师院数科院第36页(5)习题14z幂级数A.B.2/18/2025阜师院数科院第37页3.6孤立奇点分类孤立奇点f(z)除在小邻域外处处可导。在挖去小邻域外解析。其正幂叫解析部分，负幂叫主要部分。叫留数C.2/18/2025阜师院数科院第38页可去奇点幂级数无负幂项时极点幂级数仅含有限m个负幂项时M为极点阶，一阶极点称单极点本性奇点含无穷多负幂项时例(1)中

为可去奇点例(3