2024-2025学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质第3课时相似三角形的判定课后提能训练新人教A版选修4-1

PAGE1-第3课时相像三角形的判定素养训练1．下面命题不正确的是()A．假如两个三角形全等，则它们必相像B．若两个三角形相像且相像比为1，则它们必全等C．假如两个三角形与第三个三角形相像，则这两个三角形必相像D．相像的两个三角形肯定大小不等【答案】D2．如图所示，DF∥BC∥GE，AF＝FG＝BG，则△ADF，△AEG，△ACB的相像比是()A．1∶1∶1 B．1∶2∶3C．3∶2∶1 D．1∶3∶2【答案】B【解析】因为DF∥BC∥GE，所以△ADF∽△AEG∽△ACB．又AF＝FG＝BG，所以AF∶AG∶AB＝1∶2∶3.所以△ADF，△AEG，△ACB的相像比是1∶2∶3.故选B．3．在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上且DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，AD＝4cm，则BD等于()A．2cm B．6cmC．4cm D．8cm【答案】D【解析】如图所示．∵DE∥BC，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,DB).又AE∶EC＝1∶2，AD＝4cm，∴eq\f(4,DB)＝eq\f(1,2)，解得DB＝8.故选D．4．(2024年张掖月考)在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于E，则下面结论中正确的是()A．△AED∽△ACBB．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACED．△AEC∽△DAC【答案】C【解析】∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C．∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAD＝90°，∠CAD＋∠BAD＝90°.∴∠EAB＝∠DAC，∴∠EAB＝∠C．而∠E是公共角，∴△BAE∽△ACE.故选C．5．(2015年郑州期末)如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.【答案】4【解析】因为∠C＝∠C，∠BAC＝∠ADC，所以△ADC∽△BAC．所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(CD,CA).所以CD＝eq\f(AC2,BC)＝eq\f(64,16)＝4.6．如图所示，DE∥AC，且eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,5)，则△DBE与△CBA的相像比为________．【答案】5∶8【解析】因为eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,5)，所以由合比性质，得：eq\f(AE＋BE,BE)＝eq\f(3＋5,5)⇒eq\f(AB,BE)＝eq\f(8,5)⇒eq\f(BE,AB)＝eq\f(5,8).又因为DE∥AC，所以△DBE∽△CBA，且相像比为eq\f(DE,CA)＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(5,8).7．如图所示，已知△AEF∽△ABC，AE＝5cm，EB＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，∠A＝50°.(1)求∠AFE；(2)求EF的长度．【解析】(1)∵△AEF∽△ABC，∴由相像三角形的对应角相等，有∠AEF＝∠B＝60°.在△AFE中，∠AFE＝180°－∠AEF－∠A＝180°－60°－50°＝70°.(2)∵△AEF∽△ABC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(EF,BC)，即eq\f(5,5＋3)＝eq\f(EF,7)⇒EF＝eq\f(35,8)cm.8．如图所示，∠A＝∠B＝90°，DE⊥CE，求证：Rt△AED∽Rt△BCE.【证明】∵∠B＝90°，∴∠BEC＋∠C＝90°.∵DE⊥EC，∴∠BEC＋∠AED＝90°.∴∠AED＝∠C．又∠A＝∠B＝90°，∴Rt△AED∽Rt△BCE.实力提升9．(2024年南海区月考)如图所示，已知△PQR是等边三角形，∠APB＝120°，求证：(1)△PAQ∽△BPR；(2)AQ·RB＝QR2.【答案】【证明】(1)∵因为△PQR是等边三角形，∴∠QPR＝60°.又∠APB＝120°，∴∠APQ＋∠BPR＝60°.又∠APQ＋∠A＝60°，∴∠BPR＝∠A．又∠AQP＝∠PRB＝1