2024-2025学年高中数学课时分层作业6简单计数问题含解析北师大版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．200件产品中有3件次品，随意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．Ceq\o\al(32,197)·Ceq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)C．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(5,197) D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)B[至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)种，(2)3件次品，2件正品，共Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)种，由分类加法计数原理得抽法共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)，故选B.]2．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且依次不变)的不同排列共有()A．120种 B．480种C．720种 D．840种B[先将“qu”看成一个元素，再从剩余的6个元素中取出3个元素，共有Ceq\o\al(3,6)种不同取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，由于“qu”依次不变，依据分步乘法计数原理共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝480种不同排列．]3．现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则全部选座方法的种数为()A．6 B．7C．8 D．9C[先按排甲，其选座方法有Ceq\o\al(1,4)种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有Aeq\o\al(2,2)种，所以共有坐法种数为Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝4×2＝8种．]4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有()A．40种 B．50种C．60种 D．70种B[先分组再排列，一组2人一组4人有Ceq\o\al(2,6)＝15种不同的分法；两组各3人共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．]5．某班班会打算从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参与．当甲、乙同时参与时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言依次的种数为()A．360 B．520C．600 D．720C[当甲或乙只有一人参与时，不同的发言依次的种数为2Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝480，当甲、乙同时参与时，不同的发言依次的种数为Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,3)＝120，则不同的发言依次的种数为480＋120＝600，故选C.]二、填空题6．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一样的放入方法共有________种．(以数字作答)240[从10个球中任取3个，有Ceq\o\al(3,10)种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一样的方法有2种．所以共有2Ceq\o\al(3,10)种方法．即240种．]7．现有6张风景区门票安排给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的安排方案共有________种.180[6位游客选2人去A风景区，有Ceq\o\al(2,6)种，余下4位游客选2人去B风景区，有Ceq\o\al(2,4)种，余下2人去C，D风景区，有Aeq\o\al(2,2)种，所以安排方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180(种)．]8．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________．10[法一：5面旗全排列有Aeq\o\al(5,5)种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能算一次挂法，故共有不同的信号总数是eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3)A\o\al(2,2))＝10种．法二：定序问题属组合．五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白旗，其余位置则挂红旗，有Ceq\o\al(2,5)＝10种方法．]三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．(1)若每辆车上都要有人服务，但最多支配男女各一名，有多少种不同的支配方法？(2)若男女各包两辆车，有多少种支配方法？[解](1)先将3名男同志支配到车上，有Aeq\o\al(3,4)种方法，在未支配男同志的那辆车上支配一名女同志，有Ceq\o\al(1,3)种方法，还有2名女同志有Aeq\o\al(2,3)种支配方法．共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝432种支配方法．(2)男同志分2组有Ceq\o\al(2,3)种方法，女同志分2组有Ceq\o\al(2,3)种分法，将4组支配到4辆车上有Aeq\o\al(4,4)种方法．共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216种支配方法．10．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．[解](1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有Ceq\o\al(4,9)种方法；其次步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有Ceq\o\al(3,5)种方法；第三步：把剩下的书给丙，有Ceq\o\al(2,2)种方法．∴共有不同的分法为Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)＝1260种．(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)种方法；其次步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有Aeq\o\al(3,3)种方法．∴共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝7560种．[实力提升练]1．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，最多2人，则不同的安排方案有()A．30种 B．90种C．180种 D．270种B[先将5名老师分成3组，有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),2)＝15种分法，再将3组安排到3个不同班级有Aeq\o\al(3,3)＝6种分法，故共有15×6＝90种方案．]2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有()A．240种 B．180种C．120种 D．60种A[取一双同色手套有Ceq\o\al(1,6)种取法，在剩下的5双手套中取2只不同色的手套，有Ceq\o\al(2,5)·22种取法，由分步乘法计数原理知，恰好有一双同色手套的取法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)·22＝240种．]3．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．72[区域5有4种种法，区域1有3种种法，区域4有2种种法，若1,3同色，区域2有2种种法，或1,3不同色，区域2有1种种法，所以共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种不同的种法．]4.9名学生排成前后两排，前排4人，后排5人，若其中某两人必需排在一起且在同一排，则排法种数是________．70560[利用“分类法”和“捆绑法”．这两人坐前排：Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(7,7)，这两人坐后排：Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(7,7)，所以共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)种，即有70560种方法．]5．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出全部4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最终一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了全部4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al