基于大概念的小学数学图形的认识教学实践

摘要：图形的认识是小学数学图形与几何领域“图形的认识与测量”主题之下的一个重要的学习内容。南宁市民主路小学教育集团数学中心组基于大概念理念，以平面图形的认识系列课例研究为依托，通过调研图形的认识的教学问题及成因、思考图形的认识的知识结构及探究方向、探索图形的认识有效教学策略，最终形成基于大概念的图形的认识“一心三步”教学策略：“一心”指的是“以学生学情为中心”，通过厘清知识结构、找准能力起点、明确认知层次，达成对学生学情的全面把握；“三步”指的是课堂教学整体感知、聚焦一类、拓展勾连三个实施步骤，注重从知识的本质出发再回归知识的本质，通过整体感知明确图形探究方向、通过聚焦一类深化图形探究内涵、通过拓展勾连全面建构图形的认识知识体系，从而有效促进学生推理意识、应用意识与空间观念的形成与发展。关键词：大概念；“一心三步”教学策略；图形的认识；一致性；小学数学义务教育数学课程主要包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域。在小学阶段，图形与几何学习领域主要包括“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个学习主题，图形的认识则属于“图形的认识与测量”主题之下的一个重要的学习内容。通过观摩教师们一系列有关图形的认识的现场课，笔者发现教师们在这一类知识教学中普遍存在融通数学本质难、完善知识结构难、建立逻辑关系难、发展高阶思维难等难题。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版数学课标》）以发展学生“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”［1］5-6的“三会”核心素养为教学导向，针对图形的认识教学，明确指出：“图形的认识主要是对图形的抽象。学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系；积累观察和思考的经验，逐步形成空间观念。”［1］27这个教学要求，恰与大概念的生成规律内在契合。一直致力于大概念教学研究的浙江大学教育学院课程与学习科学系副主任刘徽在《大概念教学：素养导向的单元整体设计》一书中指出：核心素养的精髓在于真实性，即能将学校所学迁移到现实世界中去，这就要求教师教学应从教专家结论转向教专家思维，因此，要谈核心素养，必绕不开“生活价值”，绕不开“抽象的原理”，自然就绕不开大概念；大概念可以被界定为具有生活价值的反映专家思维方式的概念观念或论题，它可以是概念，但不局限于概念，也可以是观点。［2］1-31按照业界专家的解释，大概念是“少而重要”的专家思维方式，它具有统摄性和生活价值，是重构知识的重要桥梁［3］。为了解决教师们在图形的认识教学中的几大“难题”，笔者带领南宁市民主路小学教育集团数学中心组的教师们对图形的认识教学展开基于大概念的概念教学探究，以平面图形的认识为研究重点，试图寻找到能够破解以上难题的有效教学策略，以期不断更新教师的教学认知，提升教师的教学水平，使教师在教学中能够有效促进学生数学核心素养的形成与发展。一、基于大概念，厘清图形的认识知识结构与探究方向（一）基于学科本质，根据图形的形成过程，从边、角、面维度明确图形的认识大概念梳理小学数学图形与几何领域所学图形的形成过程，可以把图形的认识分为平面图形的认识和立体图形的认识两种。以平面图形的认识为例，三角形是由3条边和3个角围成的封闭图形，四边形是由4条边和4个角围城的封闭图形，同理可以推导出五边形、六边形、七边形等平面图形中多边形的形成过程；根据平面图形的形成过程以及认识四边形须从边和角两个维度介入探究的学习经验，可进一步推出认识其他平面图形也应该从边和角两个维度介入探究，从而建立起平面图形的认识应从边和角两个维度介入探究的大概念。由平面图形的认识可以进一步推知，认识立体图形则应从边（棱）、角（顶点）、面三个维度介入探究，从而建立起立体图形的认识应从边（棱）、角（顶点）、面三个维度介入探究的大概念。（二）基于大概念，经历概念理解由不完整到完整的抽象过程，逐渐提升抽象能力按照《2022年版数学课标》要求，图形的认识教学应让学生“经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系”。按照皮亚杰的认知发展阶段理论，人类思维的发展是与生俱来且随着年龄的增长而不断发展的，儿童的认知发展要经历感知—运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和抽象运算阶段4个阶段。小学生正处于认知发展的具体运算阶段，图形的认识的学习需要从具体事物出发，至少经历三次抽象，方能捕捉到数学概念的本质：第一次抽象是感官上对具体事物的特征进行直接抽象，重在直观感知；第二次抽象是正面经历从不同事物中抽象图形共性特征的过程，这一次抽象是对第一次抽象的结论进行深化；第三次抽象则是反例的抽象，通过反例来论证前面结论的完整性。经历三次抽象，学生的认识将由不完整到完整，形成对概念的完整理解，从而有效形成相关的空间观念。（三）在大概念的统领下，厘清图形的认识的一般性和特殊性，发展集合思想大概念用以确定图形的认识的探究方向。图形和图形之间既有共性也有个性。以四边形为例，无论是普通的四边形，还是长方形、正方形、平行四边形、梯形等特殊四边形，它们的共性都是“有4条边和4个角的封闭图形”；它们的个性却是各有不同，长方形对边相等、4个角都是直角，正方形4条边相等、4个角都是直角，平行四边形是对边平行且相等，梯形是一组对边平行。因为存在共性和个性，我们才可以说，长方形、正方形、平行四边形、梯形都是特殊的四边形。进一步细分，长方形和正方形也是既有共性又有个性，正方形是特殊的长方形。因此可以说，在图形之间抽取共性的过程，就是发展集合思想、寻求集合关系、将一类具有相同属性的事物视为一个整体、回归大概念的过程。教师在教学图形的认识这一类内容时，应通过强化概念辨析，让学生感知并理解类的概念，从而有效发展学生的集合思想，进一步发展学生的大概念思维。二、为了大概念，提炼小学数学图形的认识“一心三步”教学策略刘徽指出，大概念的生成就是“具体—抽象—具体”的循环过程，这其实也是高通路迁移的路径［2］32。在关于一系列平面图形的认识的教学中，笔者遵循大概念的生成规律，构建了基于大概念的图形的认识“一心三步”教学策略（如图1）：“一心”指的是以学生学情为中心这“一个中心”，用于课前准备；“三步”指的是基于大概念，在课堂教学中按照整体感知、聚焦一类、拓展勾连这三个步骤推进课堂教学。由图1可知，“一心三步”作为一个循环结构图，揭示了平面图形的认识大概念教学的循环规律。（一）“一心”：立足大概念视角，全面把握学生学情这“一个中心”学生的学情包括知识结构层面的学情、能力结构层面的学情以及认知层面的学情。“以学生学情为中心”，需要执教者立足大概念视角，厘清课堂所学知识所在的知识结构、找准学生的能力起点、明确学生的认知层次（如下页图2），从而为课堂教学制定学习起点、选择适切的学习方式、统整适合的学习内容、实现学习难度的进阶等做好因材施教的准备。知识结构的分析可分为相关知识结构分析、单元知识结构分析和不同版本教材的知识结构分析三大类。相关知识结构分析意在了解知识点在同一套教材中的纵向结构，单元知识结构分析意在聚焦单元核心知识和结构性知识，不同版本教材的知识结构分析意在横向比较不同版本教材中同一知识点知识呈现方式的异同，便于教师在教学中取长补短。能力起点的寻找需要依托学生之前所学内容，找到学生的前探究能力；回顾前面相关学习内容的探究过程，找到学生自主探究的方法和思考的方向；分析本课例，借助前探究能力和学生自主探究方法和思考方向，进一步明确学生探究本课知识所需要的方法和所要发展的能力。认知层次的明确需要依托前测任务单来完成，是对学生的前认知能力、本单元发展的认知能力以及在本课学习中应该发展的认知能力（素养能力）的进一步细化和定性描述。（二）“三步”：基于大概念的生成规律实施“三步”教学鉴于大概念的生成遵循“具体—抽象—具体”的循环规律，“三步”教学的实施便是对该规律的一次次课堂实践应用。第一步整体感知，始于视觉，要求从生活实物或大量图形中进行感知和实操，使学生可以逐步抽象出几何图形，感知概念的意义，明晰基于大概念的图形的认识的探究方向；第二步聚焦一类，注重从同一类图形的共同特征出发，基于大概念，让学生在多样化表征过程中经历多次思与辨的过程，不断完善对图形的认识与理解，归于知识本质；第三步拓展勾连，注重知识应用、知识拓展、知识迁移以及集合思想的培养，从中构建知识体系，提升学生的应用意识，发展学生解决问题的能力。“三步”中的每一步都是以前一步的学习探究为基础，让学生逐步经历图形的认识由不完整到完整、由不全面到全面的认识过程。三、围绕大概念，实践应用图形的认识“一心三步”教学策略下面笔者以“梯形的认识”教学为例，探讨图形的认识“一心三步”教学策略在课堂教学中的实践应用。（一）围绕平面图形的认识，全面把握“梯形的认识”概念教学的学生学情这个中心“梯形的认识”属于图形与几何领域“图形的认识与测量”主题之下平面图形的认识学习内容之一，应从知识结构、能力起点、认知层次三个维度把握学生学情，紧紧围绕平面图形的认识，从边和角两个维度介入探究这个大概念。1.厘清知识结构首先是厘清相关知识的纵向结构。小学期间，学生对“图形的认识与测量”将依次经历三个阶段的学习过程（如图3）。第一阶段在第一学段，为初步感知、初步抽象阶段，侧重从生活的实物中抽象出立体图形，通过拓印实物上的面抽象出平面图形，通过触摸实物上的边感知图形要素的存在。第二阶段在第二学段，为平面图形的认识阶段，对图形的认识开始从一维向二维跃迁。教师可以将“四边形的认识”一课作为种子课，让学生明确此类图形的探究方向和方法，为后续的平面图形的认识延展课积累知识基础、学习方法和活动经验，便于学生在学习中感悟不同的平面图形之间的共性与个性。第三阶段在第三学段，为立体图形的认识阶段，对图形的认识开始从二维向三维跃迁。此时教师可以将“长方体的认识”作为种子课，既要基于平面图形的认识的知识和方法进行能力迁移，又要结合教学活动的设计和任务的驱动促进学生认知能力的提升，使学生学会从边（棱）、角（顶点）、面三个维度去探究和认识立体图形，进而形成立体图形探究的大概念。其次是厘清单元知识的核心知识及结构性知识。“梯形的认识”一课编排在人教版数学四年级上册“平行四边形和梯形”单元，本单元主要学习平行与垂直以及平行四边形和梯形。因此，“梯形的认识”需要学生从学习四边形的边和角两个维度过渡到重点研究梯形中的边的位置关系：一方面关联本单元所学的直线的平行关系的知识，另一方面迁移之前所学的四边形知识，从而直击梯形图形的本质，进一步培养学生的数学抽象能力和几何直观能力，促进学生空间观念、推理意识和应用意识的发展（如图4）。最后是对比分析本课不同版本教材的知识结构。小学数学人教版、苏教版、北师大版3个常用版本的数学教材在有关“梯形的认识”一课中知识的呈现方式各有各的特点（如表1）。相同点是都注重在四边形的大概念中研究梯形，让学生通过研究边的位置关系来刻画图形、认识图形特征，角的特征的认识则隐藏在四边形这个大概念当中。2.找准能力起点“梯形的认识”是学生在学习了四边形的认识、长方形的认识、正方形（特殊长方形）的认识、平行四边形的认识以后所要学习的新内容。学生的前探究能力是基于大概念，知道从边和角两个维度探究四边形的特征、形成四边形的概念，且具备自主迁移四边形的学习经验、总结概括长方形和正方形等图形特征的拓展性学习能力，能力提升点在于能够发现这些特殊四边形的边和角的独特性，并能初步感知它们的大小由长和高决定。也就是说，关于“梯形的认识”一课，学生的前探究能力是具有从边和角两个维度进行图形特征探究的学习经验和能力，同时也具有聚焦边和角的特殊性展开进一步探究的经验和能力。而在之前所学的一系列有关图形的认识的知识中，学生所形成的前探究方法包括看、比、量、辨、分类等。因此，研究“梯形的认识”一课，学生同样需要这些探究方法，需要经历看、比、量、辨和分类的探究过程。这再次说明了同一类知识的探究方法存在一致性。因此，关于“梯形的认识”一课，学生需要在大概念的指引下，再次进行自主迁移学习能力的提升，能力迁移点在于继续从边和角两个维度探究图形的特征，能力提升点在于梯形和前面的平面图形的边和角的特征不同，学生需要在探究过程中初步感知到梯形的大小与梯形中平行的那一组边的长短以及梯形的高有关。3.明确认知层次笔者采用前置任务单的形式对学生的认知层次进行检测。以某班为例，在执教“梯形的认识”之前，笔者基于Solo分类评价理论将学生的思维水平依次划分为前结构（水平0）、单点结构（水平1）、多点结构（水平2）、关联结构（水平3）、抽象拓展（水平4）5个水平层次，并设置了前置任务单（如图5），检测学生对所有四边形的图形表征水平、操作表征水平、关系描述水平暨思维发展的水平层次。通过对该班学生所提交上来的前置任务单完成情况进行抽样分析（如表2），笔者发现：大部分学生对平行四边形有直观的感受，基本都能画出平行四边形以及平行四边形的高，但是对四边形的描述只能说出一个或两个特点，并且对平行四边形和长方形、正方形之间的关系没有明确的认识。而针对尚未学习的梯形这个图形，学生根据已有的生活经验，认为只有像梯子那样的轴对称图形才是梯形，而不能运用梯形的本质特征去判断梯形。因此，本课教学应进一步培养学生的推理意识、应用意识，促进学生对梯形概念本质的把握，进一步发展学生的空间观念。（二）遵循大概念的生成规律，扎实推进“三步”教学1.整体感知，明确探究方向平面图形的认识的大概念就是从边和角两个维度刻画图形、认识图形的特征。整体感知，重点是让学生感知前面所学图形和即将学习的图形之间的关系，从中探究图形与图形之间的变与不变，进一步明确平面图形研究方向的一致性和研究方法的一致性。在“梯形的认识”一课中，教师可以设计复习巩固和实践操作两个教学活动，一方面拓展学生的知识结构，帮助学生明确知识探究的方向，另一方面复习相关图形的知识要点，进一步明确梯形的研究细节，实现知识与能力的同步发展。在复习巩固活动中，教师可以以问导学：“前面我们都认识了哪些平面图形？都是怎么认识的？”接着对学生的点状回答进行整体梳理，集中呈现图形的认识的主要探究方向和方法（如图6），初步培养学生的整体思维，为后续集合思想的建构埋下伏笔。在实践操作活动中，教师可以创设一个在两条平行线之间任意添加两条直线的画图活动，依次落实下面的活动要求：先想象添加两条直线后可以看到什么图形，以此引导学生通过实践操作进一步认识长方形、正方形、平行四边形三种图形在边的维度上都具有两组对边互相平行的共同特征；再根据生活经验展开想象，尝试画出梯形，并在画梯形的活动中初步感知梯形的特征。2.聚焦一类，把握概念本质基于大概念的图形的认识教学，需要引导学生在三轮思辨中经历概念的形成过程，深刻把握概念本质，从而促进学生的认知发展。“一思一辨”通过对比迁移，初感特点；“二思二辨”通过实践辨析，理解特点；“三思三辨”通过深度辨析，在概念应用中深刻把握概念本质。在“梯形的认识”一课中，“一思一辨”可衔接上一个环节的实践操作活动，在学生对平行四边形、长方形和正方形的内在联系有了更深刻的认识之后，教师便可以提出下面的问题了：“你觉得梯形有什么特点？”学生根据生活经验和观察同学在平行线间所画出的梯形的形态，提出对梯形的初步认识：梯形是有一组对边平行、另一组对边不平行的四边形。在此基础上，教师带领学生抽象出梯形的三个特征：一组对边平行、一组对边不平行、四边形。“二思二辨”可根据学生对梯形三个特征的感知，让学生经历在格子图上画出不同的梯形的探究过程。教师可根据学生画出的不同形态的梯形，选出其中的典型例子，引导学生进行深度辨析：首先，同学们画出的所有梯形都有什么相同点？其次，无论大家所画的图形是大是小，它们都是梯形吗？最后，形状和方向不一样的图形都是梯形吗？这样的问题导思、导辨，可有效促进学生对梯形概念的深度理解，直击概念本质：梯形的概念与一组对边平行、一组对边不平行、四边形这三个特征有关，与图形的大小、形状、方向无关，因此，只有一组对边平行的四边形才叫作梯形。“三思三辨”将一些易错的正例和错例放在一起（如图7），引导学生再次进行深度辨析，强化概念的应用，引导学生在相互反驳和辩论中牢牢把握概念的本质。三轮思辨的课堂探究活动，既让学生经历了对梯形图形“初感特点—理解特点—运用特点”的学习与探究过程，也让学生经历了对梯形概念的理解由不完整到完整的过程，既尊重了知识形成过程，又尊重了学生的认知发展规律，让学生通