【易错专训】17 反比例函数的图象和性质（解析版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错17反比例函数的图象和性质【易错1例题】反比例函数的图象和性质1．（2021·安庆市石化第一中学九年级月考）已知反比例函数=—，下列说法中正确的是（）A．函数的图象分布在第一、三象限B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上C．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2D．y随x的增大而增大【答案】C【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得出结果．【详解】解：A、k＝﹣12＜0，函数的图象在第二、四象限，故说法错误；B、因为﹣3×（﹣4）＝12≠﹣12，所以点（﹣4，﹣3）不在函数图象上，故说法错误C、k＝﹣12＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为﹣2＜﹣1＜0，则y1＜y2，故说法正确；D、k＝﹣12＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法错误；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．【易错2例题】反比例函数中K值的几何意义2．（2021·六安市汇文中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B、C两点，若的面积为2，则k的值为______．【答案】3【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．【详解】解：连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，

∴S△ACB=S△OCB，

而，解得而k＞0，

∴k=3．

故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变．【易错3例题】反比例函数图象共存问题3．（2021·台州市书生中学九年级模拟预测）函数y＝与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误，不合题意；B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意；C、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确，符合题意；D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，一次函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．【专题训练】选择题1．（2021·武冈市第二中学九年级月考）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，﹣2）B．图象在第一、三象限C．若x＜﹣1，则y＜﹣2D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2【答案】C【分析】直接利用反比例函数的图像与性质、结合反比例函数图像的增减性分别分析，逐个判断即可．【详解】解：A．因为，原说法正确，故此选项不合题意；B．该反比例函数图象在第一、三象限，原说法正确，故此选项不合题意；C．若x＜，则，原说法错误，故此选项符合题意；D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，当时，，当时，，所以当x1＜0＜x2，则y1＜y2，原说法正确，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图像与性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．2．（2021·山西八年级期末）已知反比例函数，若在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的性质得到k-1<0，然后解不等式即可．【详解】反比例函数在每个象限内y都随x的增大而增大，k-1<0，k<1，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象为双曲线，当k>0，图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0，图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．3．（2021·辽宁省实验学校九年级月考）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝图象上的点，且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1【答案】C【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝，y2＝，y3＝，然后利用y1＜0＜y2＜y3比较x1、x2、x3的大小．【详解】解：∵点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝图象上的点，∴y1＝，y2＝，y3＝，∵y1＜0＜y2＜y3，∴x1＜x3＜x2．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．4．（2021·济宁市第七中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形OABC的边AB于点D交边BC于点E，且BE=2BC，若四边形ODBE的面积为8，则k的值为（）A．3 B．4 C．6 D．12【答案】B【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝4，再求出△OCE的面积，即可得出k的值．【详解】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，△OAB的面积＝△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积＝△OCE的面积＝，∴△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝4，∵BE＝2EC，∴△OCE的面积＝△OBE的面积＝2，∴k＝4；故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．5．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级期中）已知函数y＝（m＜0），以下结论中正确的有（）个．①图象位于一，三象限；②若点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，则a＜b；③对于不同的m值，反比例函数的图象可能会相交；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据m的符号则可判断①；根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断②，根据反比例函数的性质即可判断③，根据反比例函数的系数m＝xy即可判断④．【详解】解：∵函数y＝中，m＜0，∵图象位于二，四象限，故①错误；∵点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，∴点A（﹣1，a）在第二象限，点B（1，b）在第四象限，∴a＞b，故②错误；对于不同的m值，反比例函数的图象不会相交，故③错误；若点P（x，y）在图象上，则m＝xy，∵﹣x•（﹣y）＝m，∴点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．（2021·全国九年级课时练习）已知一次函数与反比例函数，其中m，n为常数，且，则它们在同一坐标系中的图像可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值，然后根据m、n的值来确定反比例函数和一次函数所在的象限．【详解】∵，∴m、n异号，∴当时，，的图像位于第二、四象限，的图像经过第一、二、四象限；当时，，的图像位于第一、三象限，的图像经过第一、三、四象限，∴只有选项A符合．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，属于基础题，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题7．（2021·太原市志达中学校九年级月考）若正比例函数ykx与反比例函数y的一个交点坐标为（2，3），则另一个交点为_____．【答案】（2，-3）【分析】根据正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，即可得出答案．【详解】解：正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，由对称性可得另一个交点为，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称是解题的关键．8．（2021·哈尔滨市第四十九中学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是___．【答案】2【分析】可设P（a，），AP，OA＝﹣a，则△PAO的面积为：2，即可得到答案．【详解】解：∵点P为函数y图象上任意一点，∴可设P（a，），∴AP，OA＝﹣a，∴△PAO的面积为：2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2021·山西八年级期末）如图，菱形的顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，若菱形的面积为6，则k的值为_______．【答案】3【分析】连接AC交OB于点D，设A（x，y），根据菱形的性质得到AC⊥OB，AD=CD，OD=BD，由菱形的面积==6，求出，由此得到答案．【详解】解：连接AC交OB于点D，设A（x，y）∵四边形是菱形，∴AC⊥OB，AD=CD，OD=BD，∵菱形的面积==6，∴，即，∵反比例函数的图象经过菱形的顶点A，∴k=，故答案为：3．【点睛】此题考查菱形的性质，菱形面积的计算公式，待定系数法求反比例函数的解析式，熟记菱形的性质是解题的关键．10．（2021·全国九年级专题练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____（用“＜”连接）．【答案】k1＜k2＜k3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系．【详解】解：读图可知：反比例函数y＝的图象在第二象限，故k1＜0；

y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；

故答案为k1＜k2＜k3．【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大．11．（2021·江苏沭阳·九年级月考）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为__________．【答案】2【分析】先确定B点坐标（1，6），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=6，则反比例函数解析式为y=，设AD=t，则OD=1+t，所以E点坐标为（1+t，t），再利用反比例函数图象上点的坐标特征得（1+t）•t=6，利用因式分解法可求出t的值．【详解】解：∵OA=1，OC=6，∴B点坐标为（1，6），∴k=1×6=6，∴反比例函数解析式为y=，设AD=t，则OD=1+t，∴E点坐标为（1+t，t），∴（1+t）•t=6，整理为t2+t-6=0，解得t1=-3（舍去），t2=2，∴正方形ADEF的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了解一元二次方程．12．（2021·江苏江阴·南闸实验学校九年级月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，OA：OB=3：4，则k的值为______．【答案】【分析】分别过两点作轴的垂线，证明，根据面积比等于相似比的平方进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值．【详解】如图，分别过两点作轴的垂线，垂足分别为则,点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，．故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，添加辅助构造相似是解题的关键．三、解答题13．（2021·全国九年级课时练习）已知一个反比例函数的图象经过点．（1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？（2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？【答案】（1）函数的图象位于第二、第四象限，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；（2）点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式．【分析】（1）设函数关系式为，把点代入即可求出解析式，根据反比例函数的性质得出图象分布的象限；根据反比例函数的性质得出增减性；（2）根据反比例函数的特点可得出，再判断点，点和点是否在反比例函数的图象上．【详解】解：（1）设函数关系式为，反比例函数的图象过点，，，这个反比例函数图象分布在第二、四象限；在图象的每一支上，随的增大而增大；（2）∵可化为又∵，，，∴点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．14．（2021·全国九年级专题练习）已知的图象是双曲线，且在第二、四象限，（1）求的值．（2）若点（－2，）、（－1，）、（1，）都在双曲线上，试比较、、的大小．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）根据反比例函数的定义与性质列式求解；（2）根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：（1）由已知条件可知：，∴；（2）由（1）得此函数解析式为：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．∵(1，)在第四象限，∴．∴．【点睛】本题考查了反比例函数的的定义，以及反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．15．（2021·湖南新邵·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为点且的面积为．（1）求与的值；（2）若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）（1）由点A的坐标可知，OB＝4，AB＝m，再由△AOB的面积为4可求出m的值，把A（4，2）代入即可求出k的值；（2）先根据x＝−3与x＝−1时求出y的值，再由此函数的增减性即可求出当−3≤x≤−1时，对应的y的取值范围．【详解】解：（1）∵A（4，m），

∴OB＝4，AB＝m，

∴S△AOB＝OB•AB＝×4×m＝4，

∴m＝2，

∴点A的坐标为（4，2）代入，得k＝8；

（2）由（1）得，反比例函数的解析式为：，

∵当x＝−1时，y＝-8；当x＝−3时，y＝，∵反比例函数在x＜0时y随x的增大而减小，

∴当−3≤x≤−1时，对应的y的取值范围是．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义及反比例函数的性质，先根据题意求出m的值是解答此题的关键．16．（2021·全国九年级专题练习）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠5）图象的一支．（1）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；（2）点A(2，3)在该反比例函数的图象上．①判断点B(3，2)，C(4，-2)，D(-1，-6)是否在这个函数的图象上，并说明理由；②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？【答案】（1）第三象限，；（2）①点B(3，2)在该反比例函数图象上，点C(4，-2)不在该反比例函数图象上，点D(-1，-6)在该反比例函数图象上．理由见解析；②．【分析】（1）根据反比例函数关于原点对称的性质即可解答．（2）①利用待定系数法求出该反比例函数解析式，再将各点代入即可判断．②根据反比例函数的增减性即可解答．【详解】（1）根据反比例函数关于原点对称可知，图象的另一支在第三象限，故，即．（2）①∵点A(2，3)在该反比例函数上，∴，解得：．故该反比例函数解析式为．当时，，故点B(3，2)在该反比