2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.2指数函数的图象和性质讲义新人教A版必修第一册

PAGEPAGE2第2课时指数函数的图象和性质[基础自测]1．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝eq\f(1,x)B．y＝|x|C．y＝2xD．y＝x3解析：y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以解除A；y＝|x|是偶函数，所以解除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以解除C.选D.答案：D2．下列推断正确的是()A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.5C．e2＜eq\r(2)eD．0.90.2＞0.90.5解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.答案：D3．已知y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()解析：方法一y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x与y3＝10－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.方法二y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.答案：A4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P(1,5)．答案：(1,5)题型一利用指数的单调性比较大小[教材P117例3]例1比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－eq\r(2)，0.8－eq\r(3)；(3)1.70.3,0.93.1.【解析】(1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．因为底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x是增函数．因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.(2)同(1)理，因为0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x是减函数．因为－eq\r(2)＞－eq\r(3)，所以0.8－eq\r(2)＜0.8－eq\r(3).(3)由指数函数的性质知1．70.3＞1.70＝1，0．93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.eq\x(状元随笔)对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以干脆利用指数函数的单调性进行比较；对于(3)，1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y＝1.7x和y＝0.9x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来.教材反思1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以推断相应函数值的大小关系．2．比较幂值大小的三种类型及处理方法跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－1.8与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－2.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－0.5与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－0.5；(3)0.20.3与0.30.2解析：(1)因为0＜eq\f(5,7)＜1，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))x在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－1.8＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－2.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象视察可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－0.5＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－0.5.(3)因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2＜0.30.2又依据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2底数相同，指数不同；底数不同，指数相同；底数不同，指数不同．题型二指数函数的图象问题例2(1)如图所示是下列指数函数的图象：①y＝ax②y＝bx③y＝cx④y＝dx则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c(2)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．【解析】(1)可先分为两类，③④的底数肯定大于1，①②的底数肯定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．【答案】(1)B(2)(3，－1)1．先由a＞1,0＜a＜1两个角度来推断函数的单调性，确定函数图象．2．由y＝ax过定点(0,1)来求f(x)过定点．方法归纳指数函数的图象随底数改变的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何改变，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．跟踪训练2(1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象肯定在()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．其次、三、四象限D．第一、二、四象限解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故解除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.(2)∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图象如右图所示．答案：(1)C(2)A由底数的范围推断函数图象.题型三解简洁的指数不等式例3(1)不等式3x－2＞1的解为________．(2)若ax＋1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【解析】(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解为(2，＋∞)．(2)因为ax＋1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．【答案】(1)(2，＋∞)(2)见解析eq\x(状元随笔)首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后依据单调性确定x的取值范围.方法归纳解指数不等式应留意的问题(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，假如a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种状况探讨；(2)形如ax＞b的不等式，留意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．跟踪训练3(1)解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))≤3；(2)已知(a2＋2a＋3)x＞(a2＋2a＋3)1－x，求解析：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝(3－1)＝3，∴原不等式等价于3≤31.∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2∴y＝(a2＋2a＋3)x在R∴x＞1－x，解得x＞eq\f(1,2).∴x的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2))))).(1)化成同底，确定指数函数的单调性．(2)推断a2＋2a＋3的范围．题型四指数函数性质的综合应用例4已知函数f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(1,2＋1)－a＋eq\f(1,2x2＋1)＝eq\f(2－2,1＋21＋2).因为x1＜x2，所以2－2＜0，又(1＋2)(1＋2)＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，所以f(0)＝0，即a－eq\f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．因为f(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为eq\f(1,6).(1)用定义法证明函数的单调性需4步：①取值；②作差变形；③定号；④结论．(2)先由f(x)为奇函数求a,再由单调性求最小值．方法归纳(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，依据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．跟踪训练4已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋eq\f(a,2x)，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值；(2)推断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义赐予证明；(3)求函数f(x)的值域．解析：(1)由f(x)为偶函数得对随意实数x都有2x＋eq\f(a,2x)＝eq\f(1,2x)＋a·2x成立，即2x(1－a)＝eq\f(1,2x)·(1－a)，所以1－a＝0，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2＋eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))＝(2－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＝(2－2)＋eq\f(2－2,2·2)＝(2－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝(2－2)·eq\f(2－1,2)，因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，所以2＜2，2＞1，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)≥f(0)＝2.故函数f(x)的值域为[2，＋∞)．(1)由偶函数求a.(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．(3)利用单调性求最值，得值域．一、选择题1．设f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|，x∈R，那么f(x)是()A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数解析：因为f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|－x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又当x＞0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上是减函数，故选D.答案：D2．函数y＝a|x|(0<a<1)的图像是()解析：y＝a|x|(0<a<1)是偶函数，先画出x≥0时的图像，再作关于y轴对称的图像，∵0<a<1，故选C.答案：C3．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析：函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞eq\f(1,2).答案：B4．设x＞0，且1＜bx＜ax，则()A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.∵bx＜ax，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x＞1，又x＞0，∴eq\f(a,b)＞1，∴a＞b，即1＜b＜a.答案：C二、填空题5．三个数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))中，最大的是________，最小的是________．解析：因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))x在R上是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))，又在y轴右侧函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))x的图象始终在函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))x的图象的下方，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7))).即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))6．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的单调增区间是________．解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.当x≤2时，t随x增大而减小，则y增大，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的单调增区间为(－∞，2]．答案：(－∞，2]7．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．解析：f(x)＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x，∵f(－2)＞f(－3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))－2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))－3，即a2＞a3.∴a＜1，即0＜a＜1.答案：(0,1)三、解答题8．比较下列各组值的大小：(1)1.8－0.1与1.8－0.2；(2)1.90.3与0.73.1；(3)a1.3与a2.5(a＞0，且a≠1)．解析：(1)由于1.8＞1，所以指数函数y＝1.8x，在R上为增函数