2024-2025学年高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率讲义苏教版必修3

PAGE1-3.1随机事务及其概率学习目标核心素养1.体会确定性现象与随机现象的含义．2．了解必定事务、不行能事务及随机事务．3．了解随机事务发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区分．(难点)4．理解概率的统计定义，知道依据概率的统计定义计算概率的方法．(重点)1.通过对事务性质的推断来熬炼学生的逻辑推理核心素养．2．通过对数据的分析、计算来培育学生的数据分析、数学运算核心素养.1．随机事务(1)确定性现象、随机现象在确定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在确定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．(2)试验、事务一次试验就是对于某个现象的条件实现一次，例如对“掷一枚硬币，出现正面”这个现象来说，做一次试验就是将硬币抛掷一次．而试验的每一种可能的结果，都是一个事务．(3)必定事务、不行能事务、随机事务在确定条件下，必定会发生的事务叫做必定事务；在确定条件下，确定不会发生的事务叫做不行能事务；在确定条件下，可能发生也可能不发生的事务叫做随机事务．我们用A，B，C等大写英文字母表示随机事务，如我们记“某人射击一次，中靶”为事务A．2．随机事务的概率(1)频数与频率在确定条件下，重复进行了n次试验，假如某一事务A出现了m次，则事务A出现的频数是m，称事务A出现的次数与试验总次数的比例eq\f(m,n)为事务A出现的频率．(2)概率的统计定义一般地，假如随机事务A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以发觉事务A发生的频率eq\f(m,n)趋近于一个常数，这个常数随着试验次数的增加越来越稳定，我们把这个常数作为事务A发生的概率的近似值，即P(A)≈eq\f(m,n).这里这个常数的意义就代表是随机事务的概率，由于随着试验次数的增加，频率越来越接近概率，也即概率是频率的期望值，所以用频率来定义概率是合理的，可行的．(3)必定事务和不行能事务的概率可以把必定事务和不行能事务当成随机事务的两种特别状况来考虑，分别用Ω和∅来表示，明显P(Ω)＝1，P(∅)＝0.所以对任何一个事务A，都有0≤P(A)≤1.思索：频率与概率之间有什么关系？[提示](1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的变更而变更，它反映的是某一随机事务出现的频繁程度，反映了随机事务出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小．比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面对上的频率可以是不同的．(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的变更而变更，从数量上反映随机事务发生的可能性大小．例如，假如一个硬币质地匀称，则掷该枚硬币出现正面对上的概率是0.5，与做多少次试验无关．(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率．在实际问题中，随机事务的概率未知，常用大量重复试验中事务发生的频率作为它的估计值．1．有下列现象：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面对上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在1℃结冰；④南通某天下雨．其中是随机现象的是()A．①③ B．②③C．①④ D．③④C[随机现象的典型特征是不能事先预料哪一种结果会出现，据此逐个分析，所以①④正确．]2．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中随意抽取3件．给出下列事务：①3件都是红色；③3件都是白色；③至少有1件红色；④至少有1件白色．其中是必定事务的序号为________．③[因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件为红色的，故选③.]3．某英语试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是eq\f(1,4)，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则确定有3题答对．”这句话____________________________________．(填“正确”“错误”或“不确定”)错误[把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是eq\f(1,4)，说明白答对的可能性大小是eq\f(1,4)，由于每次试验的结果都是随机的，因而做12次试验，结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不确定答对3道题，也可能都选错，也可能有1,2,3,4，…甚至12道题选择正确．]4．将一枚骰子掷300次，则掷出的点数大于2的次数大约是________．200[依据题意，得300×eq\f(2,3)＝200.]事务的有关概念【例1】推断下列事务哪些是必定事务，哪些是不行能事务，哪些是随机事务．(1)抛一石块，下落；(2)在标准大气压下且温度低于0℃(3)某人射击一次，中靶；(4)假如a>b，那么a－b>0；(5)掷一枚硬币，出现正面；(6)导体通电后，发热；(7)从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；(8)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；(9)没有水分，种子能发芽；(10)在常温下，焊锡熔化．[解](1)是必定事务，该现象是大自然的客观规律所致．(2)是不行能事务，在标准大气压下，只有温度高于0℃时，冰才溶化．(3)是随机事务，射击一次可能中靶，也可能不中靶．(4)是必定事务，由不等式性质可得．(5)是随机事务，因为将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面对上，也可能出现反面对上．(6)是必定事务，导体通电发热是物理现象．(7)是随机事务，从5张标签中任取一张，每张都有被取到的可能．(8)是随机事务，因为结果有不行预知性．(9)是不行能事务，因为种子只有在有水分的条件下，才能发芽．(10)是不行能事务，因为金属锡只有在高温下才能熔化．要判定某事务是何种事务，首先要看清条件，因为三种事务都是相对于确定条件而言的．其次再看它是确定发生，还是不确定发生，还是确定不发生．确定发生的是必定事务，不确定发生的是随机事务，确定不发生的是不行能事务．1．有下列事务：①足球运动员罚点球命中；②在自然数集合中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100℃时沸腾；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，则B⊆A；⑤光线在匀称介质中发生折射现象；⑥随意两个奇数之和为奇数．在上述事务中为随机事务的有________，为必定事务的有________，为不行能事务的有________．①②③④⑤⑥[①足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；②在自然数集合中任取一个数可能为奇数，也可能为偶数；③在标准大气压下，水在100℃时确定沸腾；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，则B⊆A是不行能的；⑤光线在匀称介质中是沿直线传播的，不行能发生折射现象；⑥随意两个奇数之和为偶数．]2．分析下面给出的五个事务哪些是必定事务？哪些是不行能事务？哪些是随机事务？(1)某地2月3日下雪；(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的确定值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝bA．[解](1)随机事务，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2)随机事务，函数y＝ax当a>1时在定义域上是增函数，当0<a<1时在定义域上是减函数．(3)必定事务，实数的确定值非负．(4)不行能事务，在标准大气压下，水在0℃(5)必定事务，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．对概率意义的理解【例2】某种病的治愈概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人确定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?思路点拨：解答本题要理解概率的意义．[解]假如把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是0.3，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，而对后3个病人来说，其结果仍旧是随机的，即有可能治愈，也有可能没治愈．治愈的概率是0.3，是指假如患病的有1000人，那么我们依据治愈的频率应在治愈概率旁边摇摆这一前提，就可以认为这1000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明白随机事务的概率只是反映了大量重复试验条件下，随机试验A发生的频率的稳定性．随机事务的发生具有随机性，概率值仅说明事务发生的可能性的大小，因此，在说明随机事务的概率时，凡是出现“必定”“确定”之类的确定性字眼，一般都是错误的．3．假如某种彩票中奖的概率为eq\f(1,1000)，那么买1000张彩票确定能中奖吗？请用概率的意义说明．思路点拨：买1000张彩票，相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有1张中奖．[解]不确定能中奖．因为买1000张彩票相当于做1000次试验，而每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有1张中奖，也可能有1张、2张或者多张中奖．4．试说明下列状况中概率的意义．(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98.思路点拨：有奖销售活动中，凡购买其商品的顾客中奖的概率表示购买其商品的顾客中奖的可能性的大小；生产厂家所说的产品合格的概率表示其厂生产的产品合格的可能性的大小．[解](1)指购买其商品的顾客中奖的可能性为20%.(2)指其厂生产的产品合格的可能性是98%.频率与概率的关系及求法【例3】某公司在过去几年内运用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的运用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)依据上述统计结果，估计灯管运用寿命不足1500小时的概率．思路点拨：eq\x(分析数据)→eq\x(计算频率)→eq\x(估计概率)[解](1)频率依次是：0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管运用寿命不足1500小时的频率是eq\f(600,1000)＝0.6，所以灯管运用寿命不足1500小时的概率约为0.6.1．频率是事务A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值旁边左右摇摆，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．5．下列说法：①频率反映事务发生的频繁程度，概率反映事务发生的可能性大小；②百分率是频率，不是概率；③频率是不能脱离详细的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依靠于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是________．①③④[由频率与概率的定义及两者之间的关系知①③④正确，②不正确．]6．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：菜籽粒数251070130310700150020003000发芽粒数24960116282639133918062715发芽频率(1)填写表中的菜籽发芽的频率；(2)求该种菜籽发芽的概率．思路点拨：事务A出现的频数nA与试验次数n的比值fn(A)＝eq\f(nA,n)即为事务A发生的频率，当事务A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上时，这个常数即为事务A发生的概率．[解](1)依据表格计算不同状况下种子发芽的频率分别是：1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893，0.903，0.905.(2)随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率越来越接近于0.9，且在它的旁边摇摆．故该种菜籽发芽的概率约为0.9.1．本节课的重点是理解概率的含义，了解频率与概率的区分与联系．2．本节课的难点是求解事务发生的频率和概率．3．本节课的易错点是混淆频率与概率的概念，列举试验结果时出现遗漏.1．下列现象中，不是随机现象的是()A．在一条马路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．放射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品B[当a为整数时，a＋1确定为整数，是必定现象，其余3个均为随机现象．]2．在200件产品中，有192件一级品、8件二级品，则下列事务：①“在这200件产品中随意选出9件，全部是一级品”；②“在这200件产品中随意选出9件，全部是二级品”；③“在这200件产品中随意选出9件，不全是一级品”；④“在这200件产品中随意选出9件，其中不是一级品的件数小于10”．其中________是必定事务；________是不行能事务；________是随机事务．④②①③[事务①③，可能发生也可能不发生；对于事务②，由于200件产品中只有8件二级品，故不行能选出9件二级品，是不行能事务；对于事务④，选出的9件产品中不是一级品的件数必定小于10，是必定事务．]3．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\