高中数学复习 均值不等式及不等式综合（解析版）

专均值不等式及不等式综合目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：公式直接用 1题型二：公式成立条件 3题型三：对勾型凑配 6题型四：“1”的代换：基础代换型 7题型五：“1”的代换：有和有积无常数型 9题型六：“1”的代换：有和有积有常数型 10题型七：分母构造型：分母和定无条件型 12题型八：分母构造型：分离型型 14题型九：分母构造型：一个分母构造型 16题型十：分母构造型：两个分母构造型 17题型十一：分离常数构造型 19题型十二：换元构造型 21题型十三：分母拆解凑配型 23题型十四：万能“K”型 26题型十五：均值不等式应用比大小 27题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型 30题型十七：因式分解型 32题型十八：三元型不等式 34题型一：公式直接用基本不等式基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.基本不等式的变形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；1．（22-23高三·北京·阶段练习）若，且，则在下列四个选项中，最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】（1）先判断，可得，所以，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，可得答案.（2）也可以令，取特殊值进行验证排除.【详解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；∵，即，排除B.故选：C.方法二：因为且，可取，.则：，，因为.故选：C.2．（22-23高三·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.【详解】因为，显然有，故A正确；而，所以，故B正确；又，所以，故C正确；不妨令则，故D错误.故选：D.3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设，，且，则的最小值为（

）A．18 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵∴，（当且仅当，取“=”）故选：C.4．（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确．【详解】因为，所以，则，则A选项错误；因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确；当时，，则C选项错误；因为，由B选项可知，所以，则D选项错误.故选：B5．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为【答案】【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解.【详解】因为且，则，解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，则，即的最大值为故答案为：题型二：公式成立条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误.【详解】A：当时，，故A错误；B：，当且仅当，即时取等号，故B正确；C：当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误；D：，当且仅当，时取等号，又，故D错误；故选：B.2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解.【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立，若时，，则，即“”是“”的必要不充分条件，而无法推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：.3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．对任意，均成立.【答案】A【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，当时，，所以B选项错误.C选项，当时，，所以C选项错误.D选项，当时，，不成立，所以D选项错误.故选：A4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则【答案】ABC【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则，当且仅当时，即当时，等号成立，A对；对于B选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，B对；对于C选项，若且，则，当且仅当时，即当时，等号成立，C对；对于D选项，若，取，则，D错.故选：ABC.5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（

）A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8【答案】ACD【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，对于函数，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确.B选项，，当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.C选项，对于函数，，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确.D选项，由基本不等式得，所以，当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：ACD6．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．当时，B．若，则函数的最小值等于C．若，则的取值范围是D．的最大值是【答案】ACD【分析】利用基本不等式知识即可判断，需注意“一正二定三相等”.【详解】当时，重要不等式成立，故A正确；选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B错误；由于，当且仅当时等号成立.因此，即的取值范围是，故正确；由于，根据均值不等式得，当且仅当，即时等号成立，即有最大值为，故D正确.故选：ACD.题型三：对勾型凑配1.对勾型结构：1.对勾型结构：容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，2.对勾添加常数型对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.故选：B.2．（23-24高三·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（

）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故选:D3．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则的最大值为（

）A．5 B． C．1 D．【答案】C【分析】令之后用基本不等式求函数的最值.【详解】令当且仅当即时取得.故选：C4．（23-24高三·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【详解】由，则，当且仅当时等号成立，故最小值为.故选：C5．（23-24高三·广东佛山·模拟）函数，的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】利用配凑法结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以函数，的最小值为.故选：C.题型四：“1”的代换：基础代换型“1”的代换“1”的代换.利用常数代换法。多称之为“1”的代换1．（2022高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案.【分析】因为且，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2.故选：A.2．（23-24高三·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9.故选：C3．（23-24高三·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】B【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得.【详解】因，，故由，当且仅当时，等号成立.由解得：即当且仅当时，取最小值为4.故选：B.4．（22-23高一下·湖南邵阳·阶段练习）设，，若，则的最小值为（

）A． B．4 C．9 D．【答案】D【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：D5．（22-23高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y为正实数，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】结合基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，，，当且仅当时等号成立.故选：B题型五：“1”的代换：有和有积无常数型有和有积无常数有和有积无常数形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，，由得，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：A2．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（

）A． B．10 C．9 D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由可得，，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为9，故选:C.3．（2022·四川乐山·一模）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A4．（21-22高三·山西太原·阶段练习）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【详解】根据题意，，∴，当且仅当且时等号成立，∴的最小值为，故选：D．5．（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题干等式变形得出，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为且，，所以，则，当且仅当时，即当，时，等号成立.因此，的最小值是.故选：C.题型六：“1”的代换：有和有积有常数型有和有积有常数有和有积有常数形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：1．（23-24高三·广西·模拟）已知，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可.【详解】，则有，可得，即4，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为4.故选：B2．（23-24高三·甘肃·模拟）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式将等式转化为关于的不等式即可求解.【详解】，，即.，又因为a，b为正数，所以.，即，当且仅当等号成立，故的取值范围是.故选：C.3．（23-24高三·江苏·模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】注意到不等式，所以可将条件等式转换为关于的一元二次不等式，从而即可得解.【详解】注意到，等号成立当且仅当，从而，因为，是正实数，所以解得或（舍去），即的最小值是4，等号成立当且仅当.故选：C.4．（23-24高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（

）A．30 B．32 C．34 D．36【答案】C【分析】由条件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代换可求得的最小值，可得的值，进而得解.【详解】根据题意，∵，当且仅当时等号成立，令，有，解得，即，；，，当且仅当，即，时等号成立，；故选：C.5．（23-24高三·福建莆田·模拟）已知，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值.【详解】由，得，又，，即，，则，即，解得，当且仅当，即，时，等号成立，所以，故选：C.题型七：分母构造型：分母和定无条件型无条件分母和定型无条件分母和定型型，满足（定值），则可以构造1．（2020高三·全国·专题练习）的最小值为（

）A．2 B．16 C．8 D．12【答案】B【分析】先构造，再利用均值不等式求最值即可.【详解】解：∵，∴，当且仅当，即，时“=”成立，故的最小值为16.故选：B.【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了构造均值不等式求最值，属基础题.2．（21-22高三·福建莆田·期末）当时，的最小值为（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用，借助基本不等式计算即可.【详解】因为，所以,,因为，所以，，当且仅当时，即时，取得最小值.故选：B.3．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D．4．（22-23高三·江苏南通·模拟）函数（）的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件.【详解】由，可得，，仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：B5．（23-24高三·四川成都·期中）若，则的最小值为（

）A．12 B． C． D．【答案】D【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】因为，故，则，故，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，故选：D题型八：分母构造型：分离型型对勾分离常数型（换元型）对勾分离常数型（换元型）型，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型1．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.【详解】令，所以，设，，函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，因为，，所以函数在时，最大值为，要想不等式在区间上有解，只需，故选：C2．（23-24高三·海南海口·阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】，令，故，，当，即时，在上单调递增，满足要求，当，即时，在上单调递增，满足要求，当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，故，解得，综上，实数的取值范围是.故选：A3．（2020高三·河北石家庄·阶段练习）已知，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．7【答案】A【分析】化简

为，利用均值不等式求解即可.【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立，所以

的最大值为故选：A4．（20-21高三·辽宁大连·模拟）“”是“关于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意知，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，的最小值为，当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.故选：A.5．（20-21高三·浙江绍兴·期中）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A题型九：分母构造型：一个分母构造型单分母单分母形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。1．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知非负实数满足，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为非负实数满足，显然，则，所以，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故选：B2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.【详解】因为，可得，且，，可知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1.故选：B.3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数，，由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B4．（23-24高三·浙江·模拟）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.【详解】由得，其中，，所以，当且仅当，即，则，时，等号成立，故的最小值为9.故选：D5．（23-24高三·广东肇庆·模拟）已知，，，则的最小值为（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可.【详解】因为，，所以，，当且仅当，即，时，有最小值.故选：C.题型十：分母构造型：两个分母构造型双分母双分母形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，根据“1”的代换化简得出.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选：C．2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．【答案】C【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．【详解】因为，所以，则当且仅当，即时，等号成立．故选：C．3．（23-24高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是.【详解】易知，所以可得；当且仅当，即时，等号成立；依题意需满足，所以.故选：D4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，注意取值条件.【详解】非负实数，满足，则，则，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的最小值为.故选：D5．（23-24高三·湖北·阶段练习）若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】利用乘“1”法即可求解.【详解】可变形为，所以，当且仅当即，时取等号，故选：C题型十一：分离常数构造型对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解分离常数技巧：1．（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】因为，所以，则．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是．故选：A.2．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数满足，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：D3．（23-24高三·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得.【详解】由于，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C.4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解.【详解】，，，，当且仅当，且，即时等号成立，的最小值为.故选：A5．（22-23高一下·云南·阶段练习）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】整理得出，由已知变形可得，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为，，则，因为，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.题型十二：换元构造型若已知若已知（定值），型，则可通过线性换元，令，反解出代入条件等式中，换元为简单的条件不等式1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B2．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果.【详解】设，则且，解得.所以，因为，所以，当时取等号，即且，解得.故选：B.3．（21-22高三·河南洛阳·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算【详解】，令，，则，，，当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值．故选：B4．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.【详解】，令，，则，，，当且仅当且，即，时，等号成立，所以，故有最小值.故选：D.5．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知正数x，y满足，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令，，则，即，∴，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.题型十三：分母拆解凑配型凑配拆解型凑配拆解型形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，则有，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】方程有两个不等的实数根，，，即，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．12 D．10【答案】B【分析】利用得出，结合基本不等式求解.【详解】因为，所以，而，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B3．（19-20高三上·陕西榆林·阶段练习）已知的值域为，当正数满足时，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据值域计算，变换，利用均值不等式得到答案.【详解】，当时，函数有最小值，故；即，，当，即，时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：A5．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】先将化为，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.【详解】因为，均为正实数，且，得，所以，又，当且仅当即时取等号，所以.故选：B.题型十四：万能“K”型一般情况下的“万能K法”一般情况下的“万能K法”设K法的三个步骤：⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。求谁设谁，构造方程用均值1．（22-23高三上·江苏南京·模拟）已知正实数，满足，则的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【详解】因为，所以,所以，即所以，解得，当且仅当，解得或时等号成立，所以当时有最大值为9.故选:D.2.（2022·全国·高一课时练习）已知为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，可得，则有，解得，当且仅当，取到最小值.故选：B.3.（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知正数满足，则的最大值是.【答案】【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案.【详解】令，因为，，所以.则，所以，当且仅当即时等号成立.所以，即，解得，所以的最大值为.故答案为：.4.（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由题意可得，化简利用基本不等式可得，从而可求出的最小值.【详解】解：，，，当且仅当时等号成立，，解得，的最小值为故选：C题型十五：均值不等式应用比大小几个重要不等式几个重要不等式（1）_（）；（2）（）；（3）2（）；（4）__或（）；（5）1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可.【详解】设，则在上单调递减，所以，所以，，，，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可.2．（2023·河南洛阳·一模）下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较与，再运用构造函数研究其单调性可比较与.【详解】∵，，∴，所以.∵∴比较与的大小，即比较与的大小.令，则.令，则.所以在上单调递减，所以当时，，所以，所以在上单调递减.又因为，所以，即.所以，即.综上所述，.故选：B.【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.3．（22-23高三·江苏常州·模拟）若且，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先将与常数进行比较，然后通过与比较大小，再通过基本不等式进行放缩，最后通过放缩【详解】，可得：，，可得：且由基本不等式，可得：又，可得：，且，可得：，即故选：A4．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【详解】分别对，，两边取对数，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故选：D．5．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断出，，然后根据作差法结合基本不等式比较.【详解】由题意，，，，由换底公式，，，由于，根据基本不等式，，故，即，于是.故选：A题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型恒成立：恒成立：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；函数最值，符合均值不等式条件的，可以构造均值不等式放缩求最值1．（22-23高三·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.【详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以，因为为正实数，所以由得，即，所以，当且仅当，且，即时，等号成立，所以，即，因为对满足的所有正实数a，b都成立，所以，即，整理得，解得或，由为正数得，所以正数的最小值为.故选：B.2．（23-24高三·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.【详解】不等式恒成立，可转化为恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且，得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得，所以的最小值为，即，则，所以实数的最大值为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值.3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案.【详解】解：因为,为正数，所以，所以，则有，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值为1，所以，即的最大值为1.故选：D.【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解.4．（22-23高三上·河南郑州·模拟）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.【详解】依题意，．又，而，当且仅当，即，时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为故选：题型十七：因式分解型如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常见的因式分解：1.（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最小值是．【答案】10【解析】将已知等式化为，所求式子化为，利用基本不等式即可