2025北师数学六下第一单元《圆锥的体积》教学分析

圆锥的体积学习目标1.通过具体情境观察、实物感知等活动，感受物体体积的大小，发展空间观念。2.经历“猜想与验证”探索圆锥体积计算方法的过程，掌握圆锥体积的计算方法，能正确计算圆锥的体积，能运用圆锥体积计算方法解决一些简单的实际问题。编写说明圆柱的体积的计算方法是探索圆锥体积的基础。在探索圆柱体积计算方法的基础上，教科书再次引导学生经历“猜想与验证”的探索过程，从而理解、掌握圆锥体积的计算方法。教科书先创设了“一堆圆锥形小麦”的简单情境，引导学生结合情境来体会圆锥体积的实际含义。·这堆小麦的体积是多少呢？想一想，如何得到圆锥的体积？这是学生经历猜想圆锥体积公式的思考过程。这个猜想有一定难度，因此要提供圆柱和圆锥的直观图（如教科书所示），引发学生聚焦圆锥的体积和它同底等高的圆柱的体积的关系，产生合理的猜想。·按照下面的方法做一做，你有什么发现？这是验证“猜想”的过程，验证的方法是“倒沙”实验，通过这个实验发现圆锥的体积和它同底等高的圆柱体积之间的数量关系。教科书中呈现了用做实验来“验证”的方法，即用一个空心圆锥装满沙子倒入等底等高的圆柱中，看几次能倒满来验证，从而推导出圆锥体积的计算方法。·如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，你能写出圆锥体积的计算公式吗？这是让学生自己完成圆锥体积公式的抽象化、形式化的过程。在探索的基础上，引导学生用字母表示体积计算公式。·如果小麦堆的底面积半径为2m，高为1.5m。小麦堆的体积是多少立方米？在探索得出计算方法的基础上运用圆锥体积公式解决情境中提出的实际问题，计算出小麦堆的体积。教学建议教学时，结合“一堆圆锥形小麦”的简单情境，让学生说说什么是圆锥的体积，并提出“怎样求圆锥的体积”的问题。·这堆小麦的体积是多少呢？想一想，如何得到圆锥的体积？如何计算圆锥的体积？教师先让学生提出自己的猜想，并说说自己是怎样想的。学生猜想有困难时，教师可以呈现圆柱和圆锥的直观图（如教科书所示），引导学生想圆锥的体积和它同底等高的圆柱的体积的关系，从而提出合理的猜想。学生可能会想到“圆锥的体积大概是和它等底等高的圆柱体积的几分之一”，也可能会进一步猜想二分之一、三分之一等，只要比较合理，教师都应给予肯定。·按照下面的方法做一做，你有什么发现？在提出猜想的基础上，教师要创造条件让尽可能多的学生参与实验，亲身体验，并组织学生展开交流。教师还可以引导学生用几个“高相等底不等”“底相等高不等”“底和高均不等”等几组圆柱和圆锥做对比实验，促进学生对圆柱和圆锥之间关系的理解。总结圆锥体积的计算方法时，还要注意数学思想方法的总结。·如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，你能写出圆锥体积的计算公式吗？引导学生自己尝试写出圆锥体积的计算公式：。·如果小麦堆的底面积半径为2m，高为1.5m。小麦堆的体积是多少立方米？引导学生应用计算方法解决情境中“小麦堆的体积是多少”的实际问题，教师要关注学生是否漏乘“”。练一练练一练一共6道题，其中第1~5题是配合问题串以及圆锥计算方法应用的练习；第6题是综合练习。第1题让学生通过观察和计算，进一步理解圆锥体积和圆柱体积之间的关系，加深理解。第2题侧重运用圆锥体积的计算方法直接进行计算。第3~5题是圆柱体积计算的简单应用。第6题是捏橡皮泥的实践活动，帮助学生进一步理解圆柱与圆锥之间的关系。第1题本题设计了4个不同的圆柱，让学生通过观察和计算，判断“圆锥的体积与哪个圆柱的体积相等”，进一步理解圆锥体积和圆柱体积之间的关系。练习时，关键是学生独立思考后，引导学生交流是怎么想的，第1个和第4个学生容易判断，而第2、第3个学生不容易判断，特别是第2个，学生很容易发生混淆，认为“圆锥和圆柱的高相等，圆锥的底面直径是圆柱底面直径的3倍，所以体积相等”。教师可以引导学生通过计算说明，“圆锥的底面直径是圆柱底面直径的3倍，圆锥的底面积是圆柱底面积的9倍，所以圆锥的体积与第2个圆柱的体积不相等”。正确答案是第3个圆柱，即圆锥和圆柱的底面积相等，而圆锥的高是圆柱的3倍。第2题本题是运用圆锥体积公式的基本练习，要注意的是第（1）小题是已知底面积和高，第（2）小题是已知半径和高，第（3）小题是已知直径和高，教学时要注意提高学生的识图能力，引导学生根据不同的已知条件分别计算。练习时，可以先让学生独立练习，教师根据学生的练习反馈情况进行必要的指导。答案：（1）；（2）；（3）。第3题答案：。第4题本题是运用有关知识解决实际问题。第（1）小题：求帐篷的占地面积就是求圆锥底面的面积。答案：。第（2）小题：求帐篷的体积实质是求圆锥的体积。答案：。第5题本题是运用圆锥体积的知识解决实际问题，先要根据周长算出底面的半径，再逐一解决两个问题。可以让学生独立计算。答案：，，4.71×700=3297(kg)。第6题本题为实践活动，目的是通过捏橡皮泥的活动，帮助学生进一步理解圆柱与圆锥之间的关系，初步体会“等积变形”。第（1）小题，因为体积不变，底面积也不变，所以圆锥的高应是圆柱的3倍，圆锥的高应是15cm。第（2）小题，因为体积不变，高不变，所以圆锥的底面面积应是圆柱的3倍，圆锥的底面面积是。练习时，可以先让学生说一说，再实际操作，然后再比较、分析。这样，有了实际的感知和体验，能促进学生对知识的理解，促进学生空间观念的发展。孩子，我的解释你能明白吗——“圆锥的体积”教学案例执教：刘千（北京市上地实验小学）教学内容本册教科书第11页“圆锥的体积”。课前思考“圆锥的体积”一课，教师教学用书上对教学目标的叙述非常明确：结合具体情境和实践活动，了解圆锥体积与容积的含义，经历“类比猜想—验证说明”的探索过程，掌握圆锥体积的计算方法。教学目标中特别提出的“类比猜想”，在小学数学教学中有过不少的渗透，刚刚学完的圆柱体积计算方法的探索也经历了“类比猜想要验证说明”的过程，让学生体会到从特殊到一般的认识规律，从而得出一般性结论。对“圆锥的体积”再一次经历的“类比猜想”中，什么是合适的类比对象呢？我想教师们一定会毫不迟疑地回答——圆柱。那么，学生真的认为圆锥体积就应该是等底等高圆柱体积的吗？事实上并不是！课堂写真学生疑惑一：圆柱是由长方形绕一边旋转而成，圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转而成，若三角形是长方形的一半，那么旋转后的圆锥是否该是圆柱体积的一半呢？可是书上说圆锥体积是等底等高圆柱体积的。学生疑惑二：圆锥和三角形比较接近，三角形的面积是在等底等高平行四边形面积的基础上除以2得到的，那么圆锥的体积会不会也是在圆柱体积的基础上除以2得到的呢？学生疑惑三：从圆柱体的中心挖出一个圆锥，剩余部分是否能拼成另一个圆锥？如果能，就该是的关系。真没想到，学生会有这么多不同的思考！如果我们一厢情愿地让学生类比圆柱，简单地通过实验让学生去发现等底等高的圆锥体积和圆柱体积之间1:3的关系，那么学生真正的猜想何以展现，又如何能给予他们更为有效的引导呢？因此，我不急于得到圆锥的公式，更希望通过猜想与实验的过程，培养学生的想象力、创造力，引导学生调整自己认识上的一些不足，体会数学的魅力和探索的乐趣。猜想过后，是开放的操作与实验过程。课堂上，倒米的、切橡皮泥的、剪纸的、小组讨论研究的，学生忙得不亦乐乎——有疑惑三的学生借助圆柱形大蜡烛进行实验。在把圆柱一步一步地削成圆锥的过程中，他们发现，由于圆锥底部是“一个点”，即圆柱底部削去的部分较多，那么，削去的体积一定比剩下的圆锥体积大，于是推翻了自己认为圆锥体积是等底等高圆柱体积的想法。但有着疑惑一、疑惑二的学生虽然通过其他同学的实验发现了的关系，但始终没能想明白，自己的猜想问题出在哪里。于是，我这样点拨学生：将圆锥和三角形进行类比猜想的同学想法很有个性，但我们必须注意的问题是“旋转”和“平移”有着很大的不同，我们可以试着从平面几何中，同心圆面积的变化来深入思考——平面上，假设同心圆中内圆半径为1，外圆半径为2，那么，半径长度的比是1:2，半径只增加了1倍；但是，内圆面积为×，外圆面积为×，内圆与外圆面积比是1:4，面积却增加了3倍，即环形面积是内圆面积的3倍。这时，如果以这个同心圆的一条直径做旋转，同心圆环形扫过的区域一定比内圆扫过的区域大得多（图1）。图1当学生理解了同心圆面积的这一变化时，我们再来假设，如果一个长方形进行如图2（1）所示的旋转，出现了如此变化——形成了圆柱。那么，切掉这个长方形的一半，再旋转，就形成了如图2（2）所示的等底等高的圆锥体。图2而事实上，在长方形“旋转”时每一个点留下的痕迹是不同的，如图3（1），灰色区域留下的“痕迹”最少，可以用数字“1”来表示；白色区域留下的痕迹最大，可以用数字“3”来表示。那么切掉一半的话（图3（2）），我们会发现，留下的三角形在旋转时痕迹较少，而剪掉的三角形在旋转时却会留下很大的痕迹，因此，剪掉部分经过旋转所形成的图形的体积一定比剩下的体积大。图3学生听后不由得鼓起了掌。虽然我无法让学生真正理解为什么是的关系，但我却能让学生体会到他们的猜想是有价值的，他们选择的类比对象也是易于理解的，只是因掌握的知识所限，暂时无法准确地解决问题。“类比是一个伟大的引路人。”数学学习通常都是在类比、归纳等方法的基础上，获得对有关问题的初步结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的。我们要让学生充分地经历“类比猜想—验证说明”的过程。但类比的对象不应是我们规定的，我们要真正学会尊重学生，给予学生猜想的空间，再通过推理等方法获得进一步证明，他们一定会有更多的想法暴露出来，给我们带来更多的惊喜。也许学生的证明并不严密，但只要能够从不同角度作出自圆其说的说明，那么学生的想象力、创造力就能获得一定程度的发展。（上文发表于《新世纪小学数学》2010年第3期，以下案例问题和案例研讨为收入本书时编者所加。）课后解读数学教学要引导学生经历探索知识的过程。在上述案例中，教师充分引导学生经历猜想圆锥体积公式、操作验证猜想、解释说明的过程，有利于学生的知识建构、活动经验的积累和思维的发展。尽管有圆柱体积计算方法为基础，但立体图形的体积变化的想象相对比较困难，所以对学生来说，要形成“圆锥体积计算方法”的猜想并把原因弄明白也是比较困难的。上述案例中，在教师的充分引导下，学生在形成猜想中提出了很多想法和疑惑，这些“猜想”体现了学生自己的独立的思考，而且也都有一定的合理的联系，对学生的想法首先值得肯定。我们的教学中要提倡这样让学生充分表达自己想法的教学行为。在形成很多不同的猜想后，刘老师并不急于统一学生的想法，形成所谓的“共同的猜想”，而是提供充分的操作和实验的材料，鼓励学生用倒米、切橡皮泥、剪纸等不同的方法去验证或说明自己的猜想。在操作中，学生有了很多直观体验，并大多能得出结论。这是教学的关键环节，关键要引导学生理清思路、正确操作或实验，并有条理地用实验或操作的结果来说明自己的想法，进一步提出自己的疑惑。在学生实验或操作的基础上提出疑惑后，可以像刘老师那样，从数学的角度，进一步创造性地使用“用圆环面积说明，再用长方形旋转说明”等方式帮助学生进一步理解。案例研讨1.在猜想环节，上述案例中学生的三个疑惑你遇到过吗？课堂上如何充分暴露学生