2023届高考数学一轮复习-第3讲-第1课时-两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3讲简单的三角恒等变换考向预测核心素养三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查.数学运算、逻辑推理[学生用书P102])一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±β，α，β均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，2α均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).3．三角函数公式的关系常用结论1．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式的常用变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4．辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).二、教材衍化1．(人A必修第一册P219例4(1)改编)sin15°sin45°－cos15°cos45°＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2) D.－eq\f(\r(3),2)解析：选C.sin15°sin45°－cos15°cos45°＝－(cos15°·cos45°－sin15°sin45°)＝－cos(15°＋45°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2).2．(人A必修第一册P218例3改编)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,7) B.7C.－eq\f(1,7) D.－7解析：选A.因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＜0.因为sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(－\f(3,4)＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).3．(人A必修第一册P229习题5.5T12改编)sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值为()A．0 B.－eq\r(2)C.2 D.eq\r(2)解析：选B.sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\f(π,12)－\f(\r(3),2)cos\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\r(2).4．(人A必修第一册P229习题5.5T5改编)若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，则tanβ＝________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,7)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏1．(多选)(公式记忆混乱致误)下列各式中，正确的是()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)coseq\f(π,4)B．coseq\f(5π,12)＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(π,3)－coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(6),4)D．coseq\f(π,12)＝coseq\f(π,3)－coseq\f(π,4)解析：选ABC.因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋coseq\f(π,4)·sineq\f(π,3)＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)coseq\f(π,4)，所以A正确；因为coseq\f(5π,12)＝－coseq\f(7π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(π,3)－coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)，所以B正确；因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(6),4)，所以C正确；因为coseq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4)))≠coseq\f(π,3)－coseq\f(π,4)，所以D不正确．故选ABC.2．(不会合理配角致误)若tanα＝3，tan(α－β)＝2，则tanβ＝________．解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tan（α－β）,1＋tanαtan（α－β）)＝eq\f(3－2,1＋3×2)＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,7)3．(忽略角的范围致误)已知在△ABC中，sinA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，则cosC＝________．解析：因为cosB＝eq\f(5,13)＜eq\f(\r(2),2)，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))且sinB＝eq\f(12,13).因为sinA＝eq\f(3,5)＜eq\f(\r(2),2)，所以A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).若A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，因为B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则A＋B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，与A＋B＋C＝π矛盾，所以A∉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，故A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则cosA＝eq\f(4,5)，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(16,65).答案：eq\f(16,65)第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式[学生用书P104])考点一两角和与差公式的直接应用(自主练透)复习指导：理解两角和与差公式的推导过程，会直接利用公式进行三角变换．1．已知角α的终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2) D.－eq\f(\r(3),2)解析：选A.由三角函数的定义，得sinα＝cos47°，cosα＝sin47°，则sin(α－13°)＝sinαcos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝eq\f(1,2).2．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为()A．－eq\f(2,11) B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2) D.－eq\f(11,2)解析：选A.因为sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).因为tan(π－β)＝eq\f(1,2)＝－tanβ，所以tanβ＝－eq\f(1,2)，则tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).3．若sin(2α－β)＝eq\f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq\f(1,2)，则sin2αcosβ＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析：选B.由sin(2α－β)＝eq\f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq\f(1,2)，可得sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(1,6)，①sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝eq\f(1,2)，②由①＋②得2sin2αcosβ＝eq\f(2,3)，所以sin2αcosβ＝eq\f(1,3).故选B.4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\r(3)cosα，tanβ＝eq\f(\r(3),3)，则tan(α＋β)＝________．解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα＝eq\r(3)cosα，所以－sinα＝eq\r(3)cosα，故tanα＝－eq\r(3)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\r(3)＋\f(\r(3),3),1＋\r(3)×\f(\r(3),3))＝eq\f(－\f(2\r(3),3),2)＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．考点二三角函数公式的逆用与变形应用(综合研析)复习指导：能运用三角函数公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．(1)eq\r(3)cos15°－4sin215°cos15°＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.1 D.eq\r(2)(2)若α＋β＝－eq\f(3π,4)，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________．(3)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．【解析】(1)eq\r(3)cos15°－4sin215°cos15°＝eq\r(3)cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝eq\r(3)cos15°－2sin15°·sin30°＝eq\r(3)cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝eq\r(2).(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝2.(3)因为sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②所以①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝－eq\f(1,2)，所以sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).【答案】(1)D(2)2(3)－eq\f(1,2)(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．|跟踪训练|1．(1－tan215°)cos215°的值为()A.eq\f(1－\r(3),2) B.1C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,2)解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).2．(2022·陕西省模拟)已知0＜α＜β＜eq\f(π,2)，且cos(α－β)＝eq\f(63,65)，sinβ＝eq\f(12,13)，则sinα＝()A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C.－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)解析：选D.因为0＜α＜β＜eq\f(π,2)，cos(α－β)＝eq\f(63,65)，sinβ＝eq\f(12,13)，所以α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，sin(α－β)＝－eq\r(1－cos2（α－β）)＝－eq\f(16,65)，cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(5,13).所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝－eq\f(16,65)×eq\f(5,13)＋eq\f(63,65)×eq\f(12,13)＝eq\f(676,845)＝eq\f(4,5).3．(2021·新高考卷Ⅰ)若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝()A．－eq\f(6,5) B.－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(6,5)解析：选C.通解(求值代入法)：因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(2,\r(5))，,cosθ＝－\f(1,\r(5))))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝－\f(2,\r(5))，,cosθ＝\f(1,\r(5))，))所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝eq\f(4,5)－eq\f(2,5)＝eq\f(2,5).故选C.优解一(弦化切法)：因为tanθ＝－2，所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4－2,1＋4)＝eq\f(2,5).故选C.优解二(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，所以sinθ＝－2cosθ.则eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ·(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(4cos2θ－2cos2θ,4cos2θ＋cos2θ)＝eq\f(4－2,1＋4)＝eq\f(2,5).故选C.4．已知eq\f(sinα·cosα,1＋3cos2α)＝eq\f(1,4)，且tan(α＋β)＝eq\f(1,3)，则tanα的值为________，tanβ的值为________．解析：因为sin2α＋cos2α＝1，所以eq\f(sinα·cosα,1＋3cos2α)＝eq\f(sinα·cosα,sin2α＋4cos2α)＝eq\f(1,4)，利用tanα＝eq\f(sinα,cosα)可得，eq\f(tanα,tan2α＋4)＝eq\f(1,4)，即tan2α－4tanα＋4＝0，解得tanα＝2.所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tan（α＋β）－tanα,1＋tanαtan（α＋β）)＝eq\f(\f(1,3)－2,1＋\f(1,3)×2)＝－1.答案：2－1考点三三角公式的灵活应用(多维探究)复习指导：三角公式的灵活应用的实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．角度1三角函数公式中变“角”(2022·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．【解析】由题意知，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)<0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因为β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(7,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(4,5).【答案】－eq\f(4,5)角度2三角函数公式中变“名”已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝________．【解析】由题意可得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1,10)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin2θ＝－eq\f(4,5)，即sin2θ＝eq\f(4,5).因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)>0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以0<θ<eq\f(π,4)，2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝eq\f(3,5)，由两角差的正弦公式，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sin2θcoseq\f(π,3)－cos2θsineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10).【答案】eq\f(4－3\r(3),10)三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒]转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．|跟踪训练|1．(多选)(2022·河北省省级联测)设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，若eq\f(1＋cosα＋sinα,1－cosα＋sinα)＝taneq\f(β,2)，则有()A．sinα＝sinβ B.cosα＝－cosβC．sinα＝cosβ D.sin2eq\f(α,2)＋sin2eq\f(β,2)＝1解析：选ABD.eq\f(1＋cosα＋sinα,1－cosα＋sinα)＝taneq\f(β,2)⇒eq\f(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2),2sin2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＝taneq\f(β,2)⇒eq\f(2cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))),2sin\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))))＝eq\f(sin\f(β,2),cos\f(β,2)).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，因此有eq\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))＝eq\f(sin\f(β,2),cos\f(β,2))，又因为β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以eq\f(β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以coseq\f(α,2)coseq\f(β,2)－sineq\f(α,2)sineq\f(β,2)＝0，即coseq\f(α＋β,2)＝0，因为eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，eq\f(β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以eq\f(α＋β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，即eq\f(α＋β,2)＝eq\f(π,2)，因此α＋β＝π，所以有sinα＝sin(π－β)＝sinβ，cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，sin2eq\f(α,2)＋sin2eq\f(β,2)＝sin2eq\f(α,2)＋sin2eq\f(π－α,2)＝sin2eq\f(α,2)＋cos2eq\f(α,2)＝1.2．已知0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,4)))＝________；eq\f(sin2α＋sin2α,cos2α＋cos2α)＝________．解析：由题意得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,4)))＝tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝7.eq\f(sin2α＋sin2α,cos2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,2cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,2－tan2α)＝eq\f(\f(9,16)＋\f(6,4),2－\f(9,16))＝eq\f(33,23).答案：7eq\f(33,23)[学生用书P407(单独成册)])[A基础达标]1．sin110°cos40°－cos70°sin40°＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2) D.－eq\f(\r(3),2)解析：选A.sin110°cos40°－cos70°sin40°＝sin70°cos40°－cos70°sin40°＝sin(70°－40°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．(2022·福建五校第二次联考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(4,5)，则sin2α＝()A.eq\f(1,5) B.－eq\f(1,5)C.eq\f(7,25) D.－eq\f(7,25)解析：选C.因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(4,5)，所以eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)＝eq\f(4,5)，所以cosα＋sinα＝eq\f(4\r(2),5)，两边同时平方得1＋sin2α＝eq\f(32,25)，得sin2α＝eq\f(7,25).3．(2021·高考全国卷甲)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，则tanα＝()A.eq\f(\r(15),15) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(15),3)解析：选A.因为tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(\f(2sinα,cosα),1－\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，所以eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)＝eq\f(cosα,2－sinα)，解得sinα＝eq\f(1,4).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\f(\r(15),4)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(15),15).4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()A.eq\f(\r(3),4) B.－eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,4) D.±eq\f(\r(3),4)解析：选A.因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，所以cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\f(1,4)＝eq\f(\r(3),4).5．(多选)下列各式中，值为eq\f(1,2)的是()A．cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12) B.eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)C．2sin195°cos195° D.eq\r(\f(1＋cos\f(π,6),2))解析：选BC.选项A，cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，错误；选项B，eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)·eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)tan45°＝eq\f(1,2)，正确；选项C，2sin195°cos195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，正确；选项D，eq\r(\f(1＋cos\f(π,6),2))＝eq\r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝eq\f(\r(2＋\r(3)),2)，错误．故选BC.6．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝eq\f(3,5)，所以sinβ＝－eq\f(3,5).又β是第三象限角，因此有cosβ＝－eq\f(4,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝－sinβcoseq\f(π,4)－cosβsineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)7．(2022·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________．解析：因为tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝eq\f(tan（α＋2β）－tanβ,1＋tan（α＋2β）tanβ)＝eq\f(2－（－3）,1＋2×（－3）)＝－1；tanα＝tan(α＋β－β)＝eq\f(－1－（－3）,1＋（－1）×（－3）)＝eq\f(1,2).答案：－1eq\f(1,2)8．已知cosα＝－eq\f(\r(5),5)，tanβ＝eq\f(1,3)，π＜α＜eq\f(3π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，则α－β的值为________．解析：方法一：由cosα＝－eq\f(\r(5),5)，π＜α＜eq\f(3π,2)，得sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，tanα＝2.又tanβ＝eq\f(1,3)，于是tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋2×\f(1,3))＝1.由π＜α＜eq\f(3π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，得eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(3π,2)，因此α－β＝eq\f(5π,4).方法二：由cosα＝－eq\f(\r(5),5)，π＜α＜eq\f(3π,2)，得sinα＝－eq\f(2\r(5),5).由tanβ＝eq\f(1,3)，0＜β＜eq\f(π,2)，得sinβ＝eq\f(\r(10),10)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))×eq\f(3\r(10),10)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))×eq\f(\r(10),10)＝－eq\f(\r(2),2).由π＜α＜eq\f(3π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，得eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(3π,2)，因此α－β＝eq\f(5π,4).答案：eq\f(5π,4)9．已知A，B均为钝角，且sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，求A＋B的值．解：因为A，B均为钝角，且sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，所以cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosB＝－eq\r(1－sin2B)＝－eq\f(3\r(10),10)，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又因为eq\f(π,2)＜A＜π，eq\f(π,2)＜B＜π，所以π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝eq\f(7π,4).10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π))的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得sinα＝－eq\f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5).(2)由角α的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝－eq\f(4,5)，由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，得cos(α＋β)＝±eq\f(12,13).由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－eq\f(56,65)或cosβ＝eq\f(16,65).[B综合应用]11．(2022·河北五校联考)已知x，y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,8)解析：选B.由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sinxcosy＋cosxsiny＝2sinxcosy－2cosxsiny，则tanx＝3tany，所以tan(x－y)＝eq\f(tanx－tany,1＋tanxtany)＝eq\f(2tany,1＋3tan2y)＝eq\f(2,\f(1,tany)＋3tany)≤eq\f(\r(3),3)，当且仅当tany＝eq\f(\r(3),3)时等号成立，由于f(x)＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，x，y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则x－y的最大值为eq\f(π,6).12．(多选)下列四个选项中，化简正确的是()A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝eq\f(1,2)D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝eq\f(1,2)解析：选BCD.对于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)，C正确．对于D，原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝eq\f(1,2)，D正确．13．(2022·宁波宁海中学二模)已知tan(α＋45°)＝2020，则tanα＝________，eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝________．解析：因为tan(α＋45°)＝2020，所以eq\f(tanα＋tan45°,1－tanαtan45°)＝2020，所以eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝2020，解得tanα＝eq\f(2019,20