第一章 一元二次方程 单元小结

第一章一元二次方程九年级(上册)苏科版单元小结知识点一、一元二次方程的基本概念1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数，最高次数为2的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)知识归纳3.一元二次方程的项数和系数：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)二次项：ax2

二次项系数：a一次项：bx一次项系数：b常数项：c4.注意点：(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．

注：四个要求缺一不可，是我们判定一元二次方程的依据！一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0一元二次方程的解法类型归纳注：先观察一元二次方程的形式，再确定用哪个一元二次方程，磨刀不误砍柴工！知识点二、解一元二次方程的方法1.直接开平方法直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝

；当b＜0时，方程没有实数根．2.配方法(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；③配方，方程两边同时加上

，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．一次项系数一半的平方3.公式法(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝

.用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②确定a，b，c的值；③求b2－4ac的值；④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．4.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程变形为右边是0的形式；(2)将方程左边分解因式；(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．知识点三、一元二次方程在生活中的应用考点1、一元二次方程的定义；考点2、一元二次方程根的应用；考点3、一元二次方程的解法；考点4、一元二次方程根的判别式的应用；考点5、一元二次方程根与系数的关系；考点6、一元二次方程的应用。考点归纳例1若关于x的一元二次方程是(m-3)x2+mx-1=0，则m的取值范围是（）A.m≠3B.m=3C.m≥3D.m≠0解析：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-3≠0，即m≠3，故选A.A考点一一元二次方程的定义针对训练1.方程3x2-2x-3=x2-3+2x的二次项系数是

，一次项系数是

，常数项是

.2-40点睛：将方程进行移项，转化为一元二次方程的一般式，即可得到各系数。例2

若关于x的一元二次方程（m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m=

.【易错提示】求出m值有两个2和-2,由于原方程是一元二次方程，所以2不符合，应引起注意.-2考点二一元二次方程根的应用解析：根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-4=0，解得m=±2的值.这里应填-2.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.针对训练2.一元二次方程x2+px-3=0的一个根为1，则p的值为

.2解析：将x=1代入方程得：1+p-3=0，解得p=2.解析

(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．考点三一元二次方程的解法【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯例3(1)用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-2)2=9B.(x+4)2=9C.(x+2)2=9D.(x-4)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（）

A．13B．15C．18D．13或18AA针对训练3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A.16B.12C.16或12D.24A解：先解出x2-7x+12=0的解，得到x1=3，x2=4，∵菱形的一条对角线长为6,∴边AB的长为4∴菱形ABCD的周长为16故选A.4.用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0.提示：用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(x＋m)2＝n的形式，当n≥0时，直接开平方求得方程的根．考点四一元二次方程的根的判别式的应用例4

已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.解析根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得,故选A.Δ5.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.2x2+x=0B.3x2-5x-2=0C.2x2-5x+2=0D.5x2-4x+3=06.（开放题）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是

（写出一个即可）．D-1针对训练考点五一元二次方程的根与系数的关系例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25解析根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3.m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.【重要变形】7.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A

针对训练例6

某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.

(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？市场销售问题考点六一元二次方程的应用解析本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.单件利润销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售432x-2032-2(x-24)150其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.解：（1）32-(x-24)×2=80-2x.（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.解得

x1=25,x2=35.由题意x≤28,∴x=25,即售价应当为25元.【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.128例7某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？[提示]增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握增长率是指增长数与基准数的比．平均变化率问题解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依题意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有(1＋x)3＝(1＋8)3＝729台电脑被感染．由于729>700，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．例8如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.几何问题解：设水渠的宽度为xm，根据题意，得:(92-2x)(60-x)=6×885.整理，得：x2–106x+105=0.解得：x1=1;x2=105(不合题意，舍去).答：水渠应挖1米宽.1、下列方程中,一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0

B.

x2=0C.3x2+2y-

=0

D.

x2+

-5=0【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.当堂练习2、解方程x2-2x-1=0.【解】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方得:x-1=±,x=1±,所以x1=1+,x2=1-.3、已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是(

)A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解【解析】选B.

一元二次方程①的判别式的值为Δ=b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.4、关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,

则a的值是(

)A.1

B.-1

C.1或-1

D.2【解析】选B.由题意:x1+x2=,x1x2=,因为x1-x1x2+x2=1-a,所以-=1-a,即=1-a,解得a1=1,a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以a=-1.5、用公式法解下列一元二次方程：解:

原方程即为，6、解下列一元二次方程：（1）（x－5)(3x－2)=10;(2)(3x－4)2=(4x－3)2.

(2)(3x－4)2=(4x－3)2.(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.将方程的左边分解因式，得〔(3x－4)+(4x－3)〕〔(3x－4)－(4x－3)〕=0,

即(7x－7)(-x－1)=0.∴7x－7=0,或-x－1=0.∴x1=1,x2=-17、方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知,△=即m>0m-1<0∴0<m<18、某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=t2+t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.(1)甲运动4s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?【解】(1)当t=4时,l=×42+×4=14(cm).答:甲运动4s后的路程是14cm.(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得:+4m=21,解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时