北京大学清华大学历年强基计划招生考试数学真题及答案解析

北京大学2020年强基计划招生考试数学试题

一、选择题共20小题;在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号

填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.

1.正实数x,y,z,满足x^yNz和x+y<2(z+o)),则®+三的最小值等于()

37

(A)-(B)-(C)1(D)前三个答案都不对

48

2.在(2019x2020)2⑼的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,

则最多可选因数个数为()

(A)16(B)31(C)32(D)前三个答案都不对

3.整数列瓜}(同满足为=以=4,且对任意mN2有吊-4向产(2)=2计1,则22侬的

个位数字是()

(A)8(B)4(C)2(D)前三个答案都不对

4.设a,b,c,d是方程{+2{+3/+4工+5=()的4个复根，则

a-\b-\c-\0数的值为(

-----+------+------+)

〃+2/7+2c+2d+2

(A)-4(B)-3(C)3(D)前三个答案都不对

5.设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线弓点

D,AD>BD,则三角形BCD的面积为()

6五一4也-363>/2-2>/3〃一人依山心…-…

(A)——(B)——-——(C)——-——(D)前二个答案都不对

161616

6.设x,y,z均不为不，其中〃为整数，已知

411(7+2—同,411(3+2—y),411(工+)，一2)成等差数列，则依然成等差数列的是()

(A)siiir,siny,sinz(B)cos^,cos>j,cosz

(C)tanx,tany,tanz(D)前三个选项都不对

7.方和19x+93y=4A>，的整数解个数为()

(A)4(B)8(C)16(D)

8.从圆f+y2=4上的点向椭圆C:5+)，2=1引切线，两个切点间的线段称为切点弦、则椭

圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为()

(A)-(B)-(C)-(D)前三个选项都不对

234

9.使得5x+12jH«a(x+y)对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为()

(A)8(B)9(C)10(D)前三个答案都不对

10..设P为单位立方体ABCO—4耳上的一点，则P\+PC.的最小值为()

(A)J2+夜(B)12+20(C)2--(D)前三个答案都不对

2

11.数列{a'}”.满足q=1,。2=9且对任意〃21布〃“+2=4。向一3。”一20,其

()

(A)28(B)35(C)47(D)前三个答案都不对

x2v2

12.设直线)，=3工+〃7与椭圆一+—=1交于A.B两点,0为坐标原点，则三角形OAB面积

2516

的最大值为()

(A)8(B)10(C)12(D)前三个答案都不对

13.正整数〃称为理想的,若存在正整数YAK1使得C：T，C：，C产构成等差数列，其

中C：=，/〃;为组合数，则不超过2020的理想数个数为()

k!(〃一攵)！

(A)40(B)41(C)42(D)前三个答案都不对

14.在^ABC中，NA=150。，D,,D2,...,D2O2O依次为边BC上的点，且

-1)，‘

BDI=D1D2=D2D3=...=Z>20I9D2000—%000j设

/BAR=a,,ZD,AZZ=4，…/。划94。2。，。=«2o2o，则=%二%即火⑶的值为

sina2sina4sina2O2O

)

1(B)—(C)—!=(D)前三个答案都不对

loio20202V21

15.函数J3+2>/5COS文。cos?4+J5-2\/5COS4+COS20+4siif9的最大值为()

(A)V2+V3(B)2V2+5/3"(C)V2+2V3(D)前三个答案都不对

16.方程Jx+5-4>/r^+Jx+2-2Vm=1的实根个数为()

(A)1(B)2(C)3(D)前三个答案都不对

17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知

BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S皿和SABF分别为$CFD和

..ABE的面积，则S.cR)：S『BE的值等于()

(A)8:15(B)2:3(C)11:23(D)前三个答案都不对

18.设均为不超过1Q0的正整数,则有有理根的多项式/(x)=V+px+乡的个数为

()

(A)99(B)I33(C)I5O(D)前三个答案都不对

19.满足对任意nNl有。的=2"-3可且严格递增的数列｛4｝面的个数为()

(A)0(B)l(C)无穷多个(D)前三个答案都不对

20.设函数/(乂丁⑶=^^+二一+二一，其中x,y,z均为正实数，则有()

x+yy+zz+x

A../■既有最大值也有最小值BJ有最大值但无最小值

CJ有最小值但无最大值D.前三个答案都不对

北京大学2020年强基计划招生考试数学试题

一、选择题共20小题;在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号

填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.

1.正实数x,y,z,满足x之yNz和x+y<2(z+(o),则@+三的最小值等于

37

(A)-(B)-(C)1(D)前三个答案都不对

48

【解析】因为x+y<2(w+z)，且z2,x+丁””

则

wz卬x+y-2wwxw1x1y-x

—+—>—+:-----=—+-------+—=—+—+VV-

xyx2yx2yy22y2xy

N二+L=y=二+2+==二+二之加」

2y2xy2y2x2yy22

当且仅当工=也)，，>=叫x+y=2(w+z)时，等号成立，选D

2.在(2019x2020『⑼的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘枳都不是平方数,

则最多可选因数个数为

(A)I6(B)31(C)32(D)前三个答案都不对

【解析】S^(2O19x2O2O)202'=24042X52021xlOl2021X3202'X673202,,

可以选取最小质数235.101,673,那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一

个，

不放选22，再进行组合，再5个因数里面分别选取2个,3个,4个,5个则一共有32个，则最多可

以选取32个，故选C

3.整数列{/}(，叫满足a,=l,a2=4,且对任意m22有*-=2〃—，则a2O2O的个位

数字是

(A)8(B)4(C)2(D)前三个答案都不对

【解析】因为=2°T，则-”2=2"

因此：2。：—2%。向=匕「2%%+2,则ZqaaM/Zqi+a"j"*

­、，7…,2a„+a„2a„.+.2a.+a.

因为：ai=a,a^+2,则%=14故一&———=—————=—!——-=4

-4川%生

则q+1:4。“一2%，欲求个位数字，则需要让。”模10.

其结果为1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,•••

从生开始周期为24,则〃2020的个位数字是8,所以选A

4.设a,b,c,d是方程/+2/+3/+4工+5=0的4个复根，则

ci—1b—\c-\d—\jw,..r-o

----+-----+-----+-----数的值为

a+2b+2c+2d+2

(A)-4(B)-3(C)3(D)前三个答案都不对

【解析】由题意可得

s=a+〃+c+d=-2,

p=ab+ac+adbe+bd+cd=3

q=cibc+abd+acd+bed=-4

r=abed=5

.a-\b—\c-1d-\

设n=+++

ma+2/?+2c+2d+2

则加=4-3------+------+------+-------

、。+2匕+2c+2d+2

只需要一!一十1I

a+2b+2c+2d+2

则

1111_Z(〃+2)(c+2)(d+2)_q+32+12s+4〃16

^+2+~b+2+7+2+~d+2~(o+2)3+2)(c+2)(d+2)-r+16+2”4p+8s~~9

164

故〃=4一，二一一,所以选A

33

5.设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线与点

D,AD>BD,则三角形BCD的面积为

6五-3c40-363&-2G以一人田山

(A)-----------------(B)-----------------(C)-----------------(D)前二个答案都不对

161616

【解析】如图所示，其中OE=OB=L,CO=昱、CE=也

222

从而可得型二型，^0D=—^]0D=—

OCCE44

故S.BCD=3近；:Q，所以选C

16

6.设x,y,z均不为+14，其中女为整数，已知

I2)

$m()，+2-力,5抽(%+2—丁),5m(犬+)，一2)成等差数列，则依然成等差数列的是

(A)siiu,siny,sinz(B)cos^,cosj,cosz

(C)tanx,tany,tanz(D)前三个选项都不对

【解析】因为2sin(x+z-y)=sin(y+z-x)+sin(x+y—z)=2sinycos(x-z)

贝ijsin(x+z)cosy-cos(x+z)siny=sinycos(x-z)

则sin(x+z)cosy=siny[cos(x+z)+cos(x-z)]=2sinycosxcosz

则tanx+tanz=2tany,所以选C

7.方和19x+93y=4xy的整数解个数为

(A)4(B)8(C)16(D)前三个选项都不对

【解析】因为：19x+93y=4"，，M(4x-93)(4y-19)=93xl9=3xl9x31

因为：4%-93三3(mod4),4>>-19=l(mod4)

,4x-93=3,19,31,1767,-1,-57,-93,-589

则《

4)，—19=・?

所以有8组，所以选B

2

2

8.从圆f+丁=4上的点向椭圆C：y+y=l引切线，两个切点间的线段称为切点弦.则椭

圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为

47T7T

(A)-(B)-(C)-(D)前三个选项都不对

234

【解析】如图所示，设点A(2cosa2sin。)

则BC直线方程为cos<9x+2sin<9-y=l

由于.+£=14在点(祀os6,加in。)的切线方程为也户+学2=1

则a=\,b=—,

2

由此8$夕汇+25后")=1为椭圆的cos〃j+2sin，・y=1切线系方程

2

由椭圆d+4y=1的面积可得7rab=p所以选A

9.使得5x+12j^对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为

(A)8(B)9(C)10(D)前三个答案都不对

［解析］5x+l2y［xy=5x+12^/TLV•—<(5+6m)x+—y,

人u/62

令5+6〃？=—,m=—

m3

则5/+12j^<9(/+y),则”+12^^《9,则。29,所以选B

io..设P为单位立方体ABCD-AB©/上的一点，则孥+PC1的最小值为

(A)42+白(B)V2+272(。2-孚①)前三个答案都不对

【解析】最小值为0,所以选D

11.数列{《,}“.满足4=1,。2=9且对任意布an+2=4alt+i-3an-20,其

(A)28(B)35(C)47(D)前三个答案都不对

【解析】因为4+2=4%「3%-20,则可+2-。田一1()=3(。向-4-1())

故4川-。〃=10-2x3”,则〃23时，数列为单调递减数列

可求得见=13,%=5,当〃25时，alt<0,则S〃的最大值为怎=28,所以选A

x2v2

12.设直线)，=3x+〃?与椭圆=+—=1交于A.B两点Q为坐标原点，则三角形OAB面积

的最大值为

(A)8(B)10(C)12(D)前三个答案都不对

【解析】联立方程可得可得24lx2+150//IV+25/H2-400=0

则

AB二厢.,_司二版J。'鲁茨,d=^,S=gAB"=3j-2(241——2)wiO

故面积的最大值为1(),所以选B

13.正整数〃注3称为理想的,若存在正整数1W女工〃一1使得C,>,C：,C”构成等差数列淇

中C：二,「"，、为组合数，则不超过2020的理想数个数为

%!(〃_4)!

(A)40(B)41(C)42(D)前三个答案都不对

【解析】由题意可得C：T，C：，C：M构成等差数列

则2C：=C*-1+/,化简可得可得/_(必+1)〃+-2=0

整理以k为未知量的方程方程方程4*一4〃攵+〃2一〃-2=0,则+2

2

则n+2为完全平方数，则〃+2=〃/,则442m23

n-xln+2m2-m-2(加一2)(〃z+l)

若女=一-——=----------=------八——因为相一2,根+1奇偶性相反

222

故对于任意44>/??>3都满足题意

同理同理k=〃+可力="十，-2=+,因为6+2,m一1奇偶性相反

222

故对于任意44>m>3都满足题意

综上：满足题意得有42个，所以选C

14.在ZiABC中，NA=I5()。，D,,D2,--,D2O2O依次为边BC上的点，且

BD|=DR=22=.•二。2019。2000=。20000，设

/八.八,一，八Sina】sina,:•••sin

/BAD1=a],ND]AD、=%,ZD2()I9AD,O2O=a^20,则二——J~----：~必的值为

sina2sina4sina2O2O

(A)-------(B)-------(C)—(D)前三个答案都不对

101020202而

【解析】不妨设不妨设Z4D.C=4，BD,=m

inAD,mAD,因此：幽二里史.，同理：*=领咆

则nl：-----=―L,------=——L

。]

sinsinBsina:sin/72sin%sin四sintz,sin/?4

sin8・sina”2i/nsinB_202//nsinB_BC-sinB_CE_1

因此:,所以选D

sin/2020AC~2021AC-2021AC-2021AC-4042

15.函数J3+2\/5COS0+COS20+>/5-2GCOS0+COS2O+dsin?0的最大值为

(A)V2+V3(B)20+6,(C)0+26(D)前三个答案都不对

【解析】已知当夕=生时，/(-|=3+>/3>V2+V3

2⑴

因为/(g)=6+cos0+,5-2x/^cosl+cos?。+4sin?。、

下面证明/(。)(&+2百=及+不一cose)J^二诟cos6+cos2e+4sin2。

两访平方即证即证4sin2。+2A/2COS0<2瓜

因为4sin沿+20cos844sin，+2\/2cos0=2几sin(夕+°)W2#

两个等号不同时成立，所以4sin2e+2"x)s9<2«,所以选D

16.方程而三不忘T+=1的实根个数为

(A)1(B)2(C)3(D)前三个答案都不对

【解析】由题意“网JI7T-2|+|J7TT-4=I

当1«&斤(2时，上式恒为1,所以选D

17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知

BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S•cv-1mL/和S八橱DLi分别为/CFD和

_ABE的面积，则SCFD:S,、BE的值等于0

(A)8:15(B)2:3(C)ll:23(D)前三个答案都大对

【解析】如图所示，延长CF=CM

则根据比例可得BE//MD

E

则需=

G因为G为AD的中点，因此

14

5

AO=OG2-5BEMD=OE

22Q

则OE=—BE不妨设SABF=5则SAOE==4，因此S、cFD=4x-=-因此

53

scro:SWE=8:15斯以选A

18.设〃国均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式++q的个数为

(A)99(B)133(C)150(D)前三个答案都不对

【解析】因为/(另=X5+px+q有有理根，则有理根必小于0

...m口/.m5pni„

设/二---，且(，几〃A)=1,则mil——z------+q=0

nITn

则qn5=m5+pmn4，显然〃|〃z,因为(zn,〃)=1,则〃=1,故q=+mp

因为4="P+nip<100,故1W机W2

当〃z=l时，q=\-\-p<100,所以lWqW99,共99组

当m=2时，夕=32+2〃《100,所以共34组

综上所述：满足条件的共133组，故选BB

19.满足对任意n>1有。,川=2"-3〃”且严格递增的数列｛2｝向的个数为

(A)0(B)l(。无穷多个(D)前三个答案都不对

【解析】因为-=2〃—34，则翳=—黑+；

则4弋+,一|).(一3)”

则,,.a,-1——1=——5a--

2向5212畤T

22

当“二一时，满足严格递增，当4。一时，会出现正负交替，不满足，所以选B

55

20.设函数/(元)，,2)=^^+^^+二一,其中X,)"均为正实数，则有()

x+yy+zz+x

AJ既有最大值也有最小值BJ有最大值但无最小值

CJ有最小值但无最大值D.前三个答案都不对

■小fEdxyzx+zy+xz+y.

【解析】因为s=-----+，一+-----<---------+—-----+-----:—=2

x+yy+zz+xx+y+zy+z+xz+x+y

当x=O,z=l,yf”时，s-2,故无最大值

h口x>zxyz.

而且s=------+—+------>----------+——-——+-----------=1

x+yy+zz+xx+y+zx+y+z犬+y+z

当x=O,y=l,zf+o。时，5—>1,故无最小值，所以选D

清华大学2020年强基计划数学试题解析

1.己知实数x,y满足.V2+y2<1,贝I]x2+-y2的最大值为（）

后屈仄

A.1B.—C.-------D.<2

23

答案.B.

简析1.由AM-GM不等式，得

x2—y2+(5/5+2)—?=-----yX2—y2

V5+2

.上式当x=,-----=^,)，二•时取等号,

V10-4V5V10+4V5

即原式的最大值为—

2

2.设a,b,c为正实数，若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则()

A.max{«,Z7,c)>—(a^-b+c)

4

B.max{c?,/?,c)>—(a+b+c)

C.min{a,Z?,c}W—(a+b+c)

4

答案.BCD.

简析.依题意，有b12>4ac.

由齐次性不妨设a+b+c=\.

(1)首先证明：min(6/,Z?,c)<—(a+b+c).

4

由对称性不妨设«>c.

则b2>4ac>4c2=>b>2c.

故i=a+b+c>c+2c-c=4c^>c<—.

4

当6Z=C=—,/?=—时，符合题意.

42

即命题得证.

又注意到则选项CD均成立.

43

4

⑵其次证明：max{a,Z?,c}>—(a+b+c).

4

若此一,则命题得证.

9

41

当b=c=—,a=—时，符合题意.

99

45

若b<—,则a+c=\-b>—.

99

2

又注意到b>4acf则

若〃€佶,+8),则命题得证.

(1>54

若ae0,-，此时c>一一a>-,则命题得证.

I9；99

14

又注意到一>一，则选项A不成立.

29

3.己知平面向量a,b,c满足|a|<2,|b|<l,|a-2b-cKa+2b|z则对所有可能的

c,|c|的()

A.最大值为4夜

B.最大值为2n

C.最小值为0

D.最小值为A/2

答案.AC.

简析.当alb时，有|a—2b|=|a+2bl.

令c=0,得|c|=0.

由三角不等式，得

|a+2b|>|a-2b-c|>|c|-|a-2b1nle-a-2b|+|a+2bl.

再由Cauchy不等式，得

|c|2<(|a-2b|+|a+2b|)2<2(|a-2b|2+|a+2b|2)=4|a|2+16|b|2<32=>|c|<4V2.

当aJLb,|a|=2|b|=2,且c=a+2b时取等号.

综上，|c|的最小值为0,最大值为472.

4.在AABC中，AC=1,BC=6,AB=2,设M为45中点，现将AABC沿

CM折起，使得四面体B-ACM的体积为则折起后AB的长度可能为()

A.1B.A/2C.在D.2

答案.BC.

简析.设点B在底面的肘影为点D,则

JVJ3^/ic.*rj34]23

注意到BD<B,因此满足题意的点B有两个.

2

⑴二面角B-MC-A的平面角为钝角.

由勾股定理，得DM7BM2-BD2=BcD=ylBC?-BD?=叵.

33

在M)MC中，由余弦定理，得

cos/DMC=DM'MCS々Me=15。。.

2DMMC2

则ZAMD=180°-ZAMC-ZDMC=150°.在中，由余弦定理，得

AD2=MA2+MD2-2-MA-MDcos\50°=-.

3

再由勾股定理，得ABuxlAlf+Blf=瓜

(2)二面角B—MC—A的平面角为锐角.

同理，得AB=y/2.

综上，AB可以等于6或JL

X2V2

5.已知P为椭圆一+乙=1上的动点，且4(1,1),2(1,0),则|PA|+|PQ|的()

43

A.最大值为4+J5

B.最大值为4+J5

C.最小值为4—6

D.最小值为4-75

答案.BD.

简析.设R(7,0),则|PA|十|PQ|=4+|PA|—|PR|.

注意到-|A/?|<|PA|-|P/?|<|AR\,且|4幻二石.

则|「A|+|PQ|£|4-石,4+石］.

且当P为射线AR与椭圆的交点时，IPAI+IPQI取到最大值4+不；当P为射

线RA与椭圆的交点时，IPAI+IR2I取到最小值4一百.

2

6.已知分别双曲线—-/=1的左右顶点，1为该双曲线上不同于的任

4

意一点，设/JAB=a,〃BA=BNAB的面积为S,则()

A.tan«tan/7为定值

aB

B.tan—tan—为M定值

22

C.S-tan(«+P)为定值

D.S-cot(cr+/?)为定值

答案.AC.

简析.不妨设点/在第一象限.

记e为双曲线的离心率，kIAykIH分别表示直线IAJB的斜率，则

e=yj\+kJA-kU{=y]l-tanatanfl=ntanatan/二一；

考虑点1无限趋于点B,则q.

224

此时lan—tan——>0.

22

从而tan4tan2不可能为定值.

22

设则

/c、tanez+tanB4'>y]_16y_4

tan(cr+/)=---------------=-2

1-tanatan/35、x+2x-2j5(4-x)5y'

Q

注意到S=2.y,则S・tan(a+/)=—?.

5

又S-cot(a+/7)=-浮会随着y的取值不断变化

从而S-col(a+〃)不可能为定值.

7.设正四棱雉的侧棱与底面所成角为相邻两侧面所成角为4，则()

ccos2a

A.COSp=----；-------

cos"a-2

ccos2a-1

B.COS/>=——------

cos-a+1

C.tan—=sina

D.cot—=sina

答案.AD.

简析.为方便计算，设AB=2,PM=4.

则3M=应，30=20,尸3=3顶.

故sina二迪ma」

33

作BN±PC交PC于点N,连接DN,则0=4BND.

在"BC中，有

BC2

5,二*出=-PCBN=>BN=—

~4~23

在ABND中，由余弦定理，得

0BN2+DN2-BD21门cos2acos2a-l

cosp-----------------------------------=>cosp-=---------,consp-f=---------

2BNDN17cos2cr-2cos2cr+l

再利用万能公式，得

1-tan2—

_______2=

1722&2

1+tan2—

2

8.设复数z„z2在复平面内对应的点分别为z„z2,o为坐标原点，若

㈤=1,5Z；+Z；—2Z]Z2=0,则'OZj的面积为（）

A.1

B.73

C.2

D.2G

答案.A.

简析.注意到

则

}$

故

SAOZZI-（㈤忆卜sinarg五=1.

2Vz27

9.在非正MBC中，AC=BC,O,尸分别为AABC的外心和内心，点D在边BC

上，且ODLBP则（）

A.OP>DP

B.OP<DP

C.OP//AC

D.B,O,P,D四点共圆

答案.D.

简析.角C可以是锐角，也可以是针角.因此选项A,B,C均不正确.

注意到/MOP=NPBN=NPBD,则B,O,P,D四点共圆.

10.使得/?sinl>l+5cosl成立的最小正整数n等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

答案.C.

简析.注意到->1,则

3

.冗、”兀7.

nsm—>l+5cos—=>〃>-7=>4.

336

乂则/?>5.

下面证明当〃=5时，原不等式成立，即

5sin1>1+5cos1<^>sin1

利用导数易证函数不等式

sinx>^.x,0<x<-

714

7TTF

注意到则

44

事实上，有

而这是显然的！综.匕正整数〃的最小值等于5.

注.亦可考虑如下处理.

构造函数f(x)=5sinx-5cosx,xe

则/(x)在区间[^0,Ij内单调递增.

4

注意到l«57.3°>53°^arcsin-,则

(4、

/(I)>/^arcsin—<=>5sinl-5cosl>1.

即当〃二5时，原不等式成立.

[1.1।

—X——y~2-y=1

93，

11.已知实数x,y,z满足^y3-^z2-z=\,贝ij)

11।

—z3----x2—X-1

[93

A.(x,y,z)只有1组

B.(x,y,z)有4组

C.x,y,z均为有理数

D.g汨取

答案.AD.

简析.易知x,y,z均为正实数.

若x<y,则-x2+X+1<-y2+y+1=>z<x.

33

故z<y,贝ij+z+l+)，+i=),<不，矛盾!

若x>y,同理可导出矛盾！

则x=y,即x=y=z.

注意到(f+l)3—/=3'+3t+l,得

显然x,y,z为相等的无理数.

2121

12.设实数内,看,,叫满足0«七＜1。,2,,，21）,则的最大值为（）

A.110

B.120

C.220

D.240

答案.C.

简析.采用调整法.对于每个确定的将其余固定，则原式关于X,-

是线性函数.注意到线性函数只会在端点处取到最大值，因此我们仅需考虑七取。或1

的情形.

不妨设玉=々=…=为=0,为+1=xl+2==x2i=\,则

ZZk-^|=2r(21-r)<220.

i=li=l

上式当且仅当r=10或11时取到等号.

注.已知非负实数内,工2，均不超过1,记P=2・却-4

/=|>1

⑴当n为偶数时，有P的最大值为

(2)当〃为奇数时，有P的最大值为r-I.

当为=占二•••"=0,xM+1=x/J+1=-=xM=1时取等号・

————+1——+2

222

13.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，口所有顶点都是格点的

多边形称为格点多边形.若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则

这个格点多边形的面积为()

A.10

B.11

C.12

D.13

答案.C.

14.甲，乙，丙三位同学讨论一道数学竞赛题.甲说：“我做错了”，乙说：“甲做对了”，丙

说：“我做错了”.老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们只有一个人做

对了，只有一个人说错了”.则根据以上信息可以推断出()

A.甲做对了

B.乙做对了

C.丙做对了

D.无法确定谁做对了

答案.D.

20G

15.设复数z满足|3z-7i|=3,则三二上一的()

z-1+i

o749

A.最大值为；B.最大值为一C.最小值为一D.最小值为一

3333

答案.AD.

简析.依题意，有

Z2-2Z+2|(-14-i).(z-l-i)|..

=z=z-1-1.

z-l+i-----------|z-l+i|

注意到

3

(7)

则复数z在复平面上表示以0,-为圆心,1为半径的圆周.

I3J

8

故|z-l-i|e-

33

1G.在AABC中，八=90。,八8=1,八C=J5,点P满足上-+2-十一J

\PA\\PB\\PC\\

则0

A.ZAPC=120°B,ZAPB=120℃.\PB\=2\PA\D.\PC\=2\PB\

答案.ABCD.

简析.注意到

PAPRPC

++=0=/APB=/BPC=/CPA=120°.

\PA\\PH\|PC|

又/PAB=60。—/PBA=NPBC.

则MPBS\BPC.

HAPPBAB1

故===—.

BPPCBC2

注.利用余弦定理或旋转全等，得PA+PB+PC=@.

cin/7

17.设a、。为锐角，且cos(a+/?)=-——则tana的最大值为()

sinp

叵

A.

4

B.正

3

c.1

D.夜

答案.A.

简析1.由积化和差公式，得

..小sin(«+2/?)+sin(-cr).sin(«+2/?),1

sina-sin0c°s(a+/7)=——---------------------=>sma=-------------<

233

上式当6?=arcsin-,/?=---arcsin-时取等号.

3423

从而Vana的最大值为—

4

简析2.注意到

s'”"=cosacos一sinasin夕=tana=----8s尸_sin0cosp

si"sin£+—2sin2^+cos2P

sinp

再由AM-GM不等式，得

,sinBCQSBYJ2

tana<―/二---=——

272sin2/7cos2P4

6

上式当/?=arctan时取等号.

从而tana的最大值为—

4

18.设袋中装有编号从0到9的10个球，随机从中抽取5个球，然后排成一行，构成的

数(0在首位时看成四位数)能被396整除的概率是()

111

A.——B.——C.——D.——

240280315360

选C

19.已知函数/(x)=ev4-f/(x-l)+/7在区间［1,3］上存在零点，则a2+b2的最小值

为0

Q，

A.—B.eC.—D.e"

22

答案.D.

,

简析.设函数f(x)的零点为tf则a(t-\)+b=-c.

由Cauchy不等式,得

e2f

e2f<f«(r-l)+/?l]2<(fz2+/72)•[(z-1)2+1]=>tz2+Z;2>

产一2f+2

构造函数

e2r

gQ)=,1</<3

t2-2t+2

求其一阶导数，得

2e2z.(z2-3r+3)

g'«)=>0

(z2-2r+2)2

即g«）在区间［1,3］递增.

故a2+b2的最小值为g（l）=e2.

20.设数列｛an｝的前〃项和为S“，若数列｛《｝满足：对任意〃£内，存在

机使得S“二q”，则称｛an｝为T数列.下列命题中正确的有（）

A.若日〃；2'则｛4｝为T数列

B.若。“二〃。（其中a为常数），则｛。“｝为T数列

C.若｛2｝,｛1｝均为T数列，则atl=bfl+cn为等差数列

D.若｛an｝为等差数列,则存在两个T数列也｝,匕｝,使得%=bn+c”

答案.ABD.

简析.对于选项A,取）n=n+\即可.

对于选项B,取〃2=〃（〃+1）即可.

2

对于选项C,取bn为选项A中的数列，%三0（〃三2）,则也｝，七｝均为了数

列，但｛4｝不是等差数列.

对于选项D,取d=（2-〃）4，c〃=（〃—l）（4+d）即可.

注.T数列在2015年清华领军计划中曾出现过.

21.已知函数/"）="