人教A版高中数学必修第二册6.2.4 向量的数量积第1课时课时评价作业（五）含答案

A级基础巩固1.多选题下列说法中不正确的有()A.若a≠0,则对任意b≠0,有a·b≠0B.若a·b=0,则a,b中至少有一个为0C.|a·b|表示向量a·b的长度D.若a,b都是非零向量,且|a+b|=|a-b|,则a⊥b解析:选项A,B都是不正确的,不但零向量与任意向量的数量积为0,互相垂直的两个非零向量的数量积也为0.因为a·b是数量,|a·b|表示其绝对值,选项C不正确.选项D是正确的.答案:ABC2.(2023·全国乙卷,文)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=()A.5B.3C.25D.5解析:正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,所以EB·EA=-1,EB⊥AD,EA⊥BC,BC·AD=2×2=4,则EC·ED=(EB+BC)·(EA+AD)=EB·EA+EB·AD+EA·BC+BC·AD=-1+0+0+4=3.答案:B3.(2024·广东佛山模拟)对于任意非零向量a,b,c,若a,b在c上的投影向量互为相反向量,下列结论一定成立的是()A.(a-b)∥c B.(a+b)∥cC.(a-b)⊥c D.(a+b)⊥c解析:a在c上的投影向量为a·c·c|c||c|,b在c上的投影向量为b·c·c|c||c|,因为a答案:D4.若e1,e2是单位向量,且e1·e2=-12,则e1与e2的夹角等于120°解析:设e1,e2的夹角为θ.由已知得|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=1×1×cosθ=-12,因此θ=120°5.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,求:(1)AD·BC;(2)AB·CD;(3)AB·DA.解:(1)因为AD与BC共线且同向,所以AD·BC=3×3×cos0°=9.(2)因为AB与CD共线且反向,所以AB·CD=4×4×cos180°=-16.(3)因为AB与DA的夹角为120°,所以AB·DA=4×3×cos120°=-6.B级能力提升6.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于()A.8 B.-8 C.8或-8 D.6解析:因为a·b=|a||b|cosθ=2×5×cosθ=-6,所以cosθ=-35.因为θ∈[0,π],所以sinθ=45,所以|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×45答案:A7.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且AB·AC=12,则该三角形的面积等于1解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为2a,于是AB·AC=a·2a·22=a2=12,从而a=22,于是S△ABC=12×228.已知|a|=6,e为单位向量,当它们之间的夹角θ分别等于60°、90°、120°时,求出a在e方向上的投影向量.解:a在e方向上的投影向量为|a|cosθe.当θ=60°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos60°e=3e;当θ=90°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos90°e=0;当θ=120°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos120°·e=-3e.C级挑战创新9.多选题已知a,b都是单位向量,则下列结论中一定正确的是()A.a·b=1 B.a2=b2C.a∥b⇒a=b或a=-b D.a·b=0解析:单位向量是指模为1的向量,对方向没有要求,因此夹角也是未知的,故选项A,D不一定正确,易知选项B,C正确.答案:BC10.(2024·广东广州期末)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a-b在b方向上的投影向量为()A.-a B.-b C.