高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义2.1坐标法(2知识点+2题型+巩固训练)(学生版+解析)

2.1坐标法课程标准学习目标1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式、3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性重点:两点间的距离公式和中点坐标公式难点:坐标法在解决几何问题中的运用知识点01数轴上的基本公式如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则(1)向量AB的坐标为x2-x1;(2)|AB|=|AB|=|x2-x1|;(3)x=x1【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上，已知A3，B−1，则AB=；【即学即练2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（

）A．4,−6 B．−4,−6 C．6,−4 D．−6,−4知识点02平面直角坐标系中的基本公式已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则(1)AB=(x2-x1,y2-y1);(2)|AB|=|AB=(3)x=x1+【即学即练3】（22-23高一下·北京·期中）已知点A1,1，B−1,5，则线段AB中点C的坐标为【即学即练4】（20-21高二上·上海·课后作业）已知△ABC的顶点A(1,2)和重心G(3,4)，则BC难点：含参问题示例1：（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点P(a,−b),【题型1：两点间的距离公式】例1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上A(−2),变式1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P到A(−9)的距离是它到B变式2．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上，A(−1),B(变式3．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d．（1）若AC=5（2）若|BD（3）若AC=−3AD，求证：变式4．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标（1）x2=−5，（2）x2=−1，变式5．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则|ABA．-3 B．3 C．6 D．-6变式6．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，|AB|=5，【方法技巧与总结】对两点间距离公式的几点说明（1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=（（2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.（3）若B点为原点，则AB=|OA|=x（4）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1|(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1|【题型2：中点坐标公式的应用】例2.（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(−2)，则A．17 B．1 C．-1 D．-17变式1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以O0,0，A1,1，A．−3,1 B．4,1 C．−2,1 D．2,−1变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知A−1,2，BA．1,−1 B．−2,3 C．2,−3 D．1变式3．（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段AB的端点A3,4及中点O0,3，则点A．32,72 B．−3,2 C．变式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知A=(3,−2)，B=(−1,2)，则线段A．(1,2) B．(2,0) C．(12,2)变式5．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b=.变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P3,−2，Q1,6，R变式7．（20-21高一·全国·课后作业）若A−92,−7，B(2,6)是平行四边形ABCD的两个顶点，AC变式8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点坐标分别为A【方法技巧与总结】中点公式的两个应用（1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量.（2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点.一、单选题1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点A(8,10),A．(2,7) B．(4,14) C．(2,14) D．(4,7)2．（2020高三·全国·专题练习）点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点A．(1，6) B．(6，1)C．(1，−6) D．(−1，6)3．（19-20高二·全国·课后作业）已知线段AB的中点为坐标原点，且A(x,2),A．5 B．−1 C．1 D．−54．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(−a)，且A．-1 B．-7 C．4 D．-45．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(−1)，则向量A．4 B．-4 C．±4 D．2二、多选题6．（20-21高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（

）A．MN的坐标=NM的坐标 B．C．PN的坐标=−4 D．MP的坐标=107．（17-18高二·全国·课后作业）（多选题）对于x2A．可看作点x,0与点1,2B．可看作点x,0与点−1,−2C．可看作点x,0与点−1,2D．可看作点x,−1与点−1,1三、填空题8．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点P−4,6，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，|AB9．（19-20高二·全国·课后作业）已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则△ABC中AB边上的中线长|CM|=，四、解答题10．（21-22高二·全国·课后作业）已知A(3,1),B(−2,2)11．（21-22高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为x1和x2的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为(1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明d((2)设A和B两点的坐标分别为−3和2，分别找出（1）中不等式等号不成立和等号不不成立时点C的范围．2.1坐标法课程标准学习目标1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式、3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性重点:两点间的距离公式和中点坐标公式难点:坐标法在解决几何问题中的运用知识点01数轴上的基本公式如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则(1)向量AB的坐标为x2-x1;(2)|AB|=|AB|=|x2-x1|;(3)x=x1【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上，已知A3，B−1，则AB=；【答案】41【分析】利用数轴上的距离公式和中点公式，即得解【详解】由题意，AB=|−1−3|=4，AB的中点的坐标为故答案为：4，1【即学即练2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（

）A．4,−6 B．−4,−6 C．6,−4 D．−6,−4【答案】A【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标.【详解】因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，所以点M的坐标为(4，-6).知识点02平面直角坐标系中的基本公式已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则(1)AB=(x2-x1,y2-y1);(2)|AB|=|AB=(3)x=x1+【即学即练3】（22-23高一下·北京·期中）已知点A1,1，B−1,5，则线段AB中点C的坐标为【答案】(0,3)【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.【详解】点A1,1，B−1,5，所以线段AB中点C的坐标为故答案为：(0,3)【即学即练4】（20-21高二上·上海·课后作业）已知△ABC的顶点A(1,2)和重心G(3,4)，则BC【答案】(4,5)【分析】根据中点坐标公式以及重心坐标公式求得结果.【详解】设B(x再由中点坐标公式得BC上的中点坐标是(故答案为：(4,5)【点睛】本题考查中点坐标公式以及重心坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.难点：含参问题示例1：（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点P(a,−b),【答案】−14【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果.【详解】由题意知a+b+12=3a−故答案为：−14【题型1：两点间的距离公式】例1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上A(−2),【答案】12;(4)【分析】根据数轴上表示的点的几何意义直接求得答案.【详解】数轴上A(−2),B(10)它们的中点坐标为10+(−2)2变式1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P到A(−9)的距离是它到B【答案】−5或3【分析】设点P(x)【详解】由题意，设点P故|即(解得：x=−5或故点P的坐标为−5或3变式2．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上，A(−1),B(【答案】2【分析】根据数轴上两点数量的坐标表示，即可求解.【详解】因为数轴上A(−1),B(所以AB=解得：x=2变式3．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d．（1）若AC=5（2）若|BD（3）若AC=−3AD，求证：【答案】（1）c=1；（2）d=4或【分析】（1）由AC=5，根据向量的坐标运算，得到c（2）由|BD|=6，得到（3）由AC=c+4，AD=d+4，AC=−3【详解】由题意，数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d，（1）因为AC=5，所以c−(−4)=5，解得（2）因为|BD|=6，所以|d−(−2)|=6，即d+2=6或d（3）因为AC=c+4，AD所以c+4=−3(d+4)所以3CD所以−4AC所以3CD【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.变式4．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标（1）x2=−5，（2）x2=−1，【答案】（1）x1=−8；（2）x【分析】（1）由向量BA的坐标为x1（2）由|AB【详解】由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x（1）由向量BA的坐标为x1−(−5)=−3，所以（2）由|AB|=−1−x1【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.变式5．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则|ABA．-3 B．3 C．6 D．-6【答案】C【分析】根据数轴上向量的坐标表示，求得向量的坐标，即可求解.【详解】由题意，−1−(−4)=3．故选:B．【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.变式6．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，|AB|=5，【答案】-4或0或6或10【分析】设A，C的坐标分别为xA，x【详解】由题意，设A，C的坐标分别为xA，x则|AB|=3−xA=5或|AB∴|AC|=x或|AC|=x解得xC=0或xC=10或故答案为：-4或0或6或10【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.【方法技巧与总结】对两点间距离公式的几点说明（1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=（（2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.（3）若B点为原点，则AB=|OA|=x（4）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1|(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1|【题型2：中点坐标公式的应用】例2.（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(−2)，则A．17 B．1 C．-1 D．-17【答案】C【分析】先求得OA的坐标为3，向量OB的坐标为−2，进而可求解3OA【详解】由题意，可得OA的坐标为3，向量OB的坐标为−2，所以向量3OA+4OB故选:B．【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.变式1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以O0,0，A1,1，A．−3,1 B．4,1 C．−2,1 D．2,−1【答案】A【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.【详解】设第四个顶点为Cx当OA是对角线时，则有0+12当OB是对角线时，则有0+32当OC是对角线时，则有0+x变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知A−1,2，BA．1,−1 B．−2,3 C．2,−3 D．1【答案】A【分析】利用中点坐标公式即可求解.【详解】由A−1,2，B利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标(−1+32,.变式3．（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段AB的端点A3,4及中点O0,3，则点A．32,72 B．−3,2 C．【答案】C【分析】利用中点坐标公式计算即可.【详解】设B(x,y)，AB的端点A3,4及中点O0,3，则0=.变式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知A=(3,−2)，B=(−1,2)，则线段A．(1,2) B．(2,0) C．(12,2)【答案】A【解析】利用中点坐标公式即可求解.【详解】由A=(3,−2)，B则线段AB中点的坐标为(1,0).变式5．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b=.【答案】0【分析】由中心对称的含义即得.【详解】∵点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，∴b+4=2×2，即b=0.故答案为：0.变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P3,−2，Q1,6，R【答案】(−2,−6)【分析】利用中点坐标公式即可求解.【详解】设A(x1,y因为△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P3,−2，Q1,6由中点坐标公式可得，x1+x2=6x1故顶点A的坐标为(−2,−6).故答案为：(−2,−6).变式7．（20-21高一·全国·课后作业）若A−92,−7，B(2,6)是平行四边形ABCD的两个顶点，AC【答案】212,10/10.5,10【分析】利用E为AC,【详解】由题意，E为AC,BD由中点坐标公式：−922+a2故答案为：212,10变式8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点坐标分别为A【答案】(1,4)【分析】根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可.【详解】设D(x,y)根据平行四边形的对角线互相评分，可得−1+52=3+所以D点的坐标是(1,4)．【方法技巧与总结】中点公式的两个应用（1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量.（2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点.一、单选题1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点A(8,10),A．(2,7) B．(4,14) C．(2,14) D．(4,7)【答案】A【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为8−42,10+4.2．（2020高三·全国·专题练习）点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点A．(1，6) B．(6，1)C．(1，−6) D．(−1，6)【答案】A【解析】设M(x,y)，则由中点坐标公式可得3+x2【详解】设M(x,y)，则3+x2=1∴点M(−1，6).3．（19-20高二·全国·课后作业）已知线段AB的中点为坐标原点，且A(x,2),A．5 B．−1 C．1 D．−5【答案】A【分析】直接根据中点坐标公式可得x=−3,【详解】∵0=x+32,0=.【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题.4．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(−a)，且A．-1 B．-7 C．4 D．-4【答案】C【分析】根据数轴上的向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量AB的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，即−a−3=4，解得故选:B．【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示，其中解答中熟记数轴上的向量的表示方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.5．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(−1)，则向量A．4 B．-4 C．±4 D．2【答案】C【分析】根据向量的运算AB=【详解】由题意，根据向量的运算AB=所以向量AB的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即−1−3=−4．故选:B．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及数轴上向量的坐标表示，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、多选题6．（20-21高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（

）A．MN的坐标=NM的坐标 B．C．PN的坐标=−4 D．MP的坐标=10【答案】CC【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误.【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故MN坐标≠NM数轴上两点间的距离一定是非负的，|MPPN的坐标=−6−(−2)=−4，C正确；MP的坐标=−2−8=−10，D不正确.C.7．（17-18高二·全国·课后作业）（多选题）对于x2A．可看作点x,0与点1,2B．可看作点x,0与点−1,−2C．可看作点x,0与点−1,2D．可看作点x,−1与点−1,1【答案】CCD【分析】化简x2+2x【详解】由题意，可得x2+2x可看作点(x,0)与点(−1,−2)的距离，可看作点(x,0)与点(−1,2)的距离，可看作点故答案为：BCD.【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.三、填空题8．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点P−4,6，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，|AB【答案】4【分析】设Aa,0，【详解】设Aa,0，∵P为AB中点，∴−4