高中数学(人教B版)必修三同步讲义第05讲同角三角函数的基本关系式(学生版+解析)

第05讲同角三角函数的基本关系式课程标准学习目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。1.通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养；2.通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养。知识点01同角三角函数基本关系式1、平方关系（1）公式：（2）文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于12、商数关系（1）公式：（2）文字描述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切【解读】（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都不成立，即与角的表达形式无关，如不成立，但是就不一定不成立．（2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒不成立，而仅对不成立．【即学即练1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，则=知识点02常用等价变形平方关系变形商数关系变形【解读】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．【即学即练2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，则．题型01sinα、cosα、tanα知一求二【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求，的值；（2）已知，，求的值．【变式1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，θ是第三象限角，则（

）A． B． C．43 D．【变式2】（23-24高二下·云南·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知是第三象限角，且，则.【变式4】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，且则.题型02根据条件等式求正余弦【典例2】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高三上·福建泉州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3】（23-24高一下·上海·期末）若，且，则．题型03根据平方关系求参数【典例3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为.【变式1】（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得不成立，则实数的最小值为（

）A．6 B．10 C．12 D．16【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则．【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则．【变式4】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值.题型04正余弦齐次式的应用【典例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20【变式2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（

）A． B．0 C．7 D．【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则.【变式4】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，求及的值.题型05sinα·cosα、sinα±cosα知一求二【典例5】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．题型06三角函数式的化简求值【典例6】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：，其中是第二象限角；（2）化简：.题型07三角函数式的证明【典例7】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：(1)；(2)．【变式1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求证：(1)；(2).【变式2】（24-25高一·全国·随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)．【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）求证：.【变式4】（24-25高一·全国·单元测试）求证:.一、单选题1．（24-25高三上·江西·阶段练习）若，则=（

）A． B．5 C． D．2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全国·专题练习）若，α为第四象限角，则的值为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知为第二象限角，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．25．（23-24高一上·上海·期末）若，则的值是（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，则（

）A． B． C．2 D．7．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且为第三象限角，则（

）A．2 B．3 C．或3 D．2或9．（24-25高一上·全国·课后作业）（

）A． B． C． D．二、多选题10．（24-25高一下·河南南阳·期中）的值可能为（

）A． B． C．1 D．311．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若α为第一象限角，则12．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角的终边过点，则.14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则.15．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知，且，则．四、解答题16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的方程的两个根．(1)求实数的值；(2)求的值．17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值；（2）已知，求的值；18．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值.（2）已知，计算的值.（3）已知，求（结果用表示）19．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）化简：.（2）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值.第05讲同角三角函数的基本关系式课程标准学习目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。1.通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养；2.通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养。知识点01同角三角函数基本关系式1、平方关系（1）公式：（2）文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于12、商数关系（1）公式：（2）文字描述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切【解读】（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都不成立，即与角的表达形式无关，如不成立，但是就不一定不成立．（2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒不成立，而仅对不成立．【即学即练1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，则=【答案】【解析】由，是第二象限角，得，所以.知识点02常用等价变形平方关系变形商数关系变形【解读】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．【即学即练2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，则．【答案】【解析】由两边平方得：.故答案为：.题型01sinα、cosα、tanα知一求二【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求，的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】利用同角公式和弦切互化公式，结合不同象限角的三角函数符号来求值即可.【详解】因为，且，所以是第二或第三象限的角．当是第二象限角时，有，．当是第三象限角时，同理有，．由已知得由①得，代入②得，所以．又，所以，所以．【变式1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，θ是第三象限角，则（

）A． B． C．43 D．【答案】D【分析】根据平方关系求得，再结合正切公式运算求解即可.【详解】因为θ是第三象限角，则，所以..【变式2】（23-24高二下·云南·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】由，，得，所以..【变式3】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知是第三象限角，且，则.【答案】【分析】利用三角函数同角基本关系式求解即可.【详解】因为，且是第三象限角，所以，，所以.故答案为：.【变式4】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，且则.【答案】【分析】根据同角关系即可求解.【详解】由可得，由于，故，故，故答案为：.题型02根据条件等式求正余弦【典例2】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可.【详解】由题意，所以，化简得，因为，所以，所以，解得..【变式1】（23-24高三上·福建泉州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角三角函数关系和范围即可解出，则得到答案.【详解】因为，则，结合，解得，则，.【变式2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、，即可得解.【详解】因为，所以，即，即，显然，所以，则，又，所以，所以.【变式3】（23-24高一下·上海·期末）若，且，则．【答案】/【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求.【详解】因为，所以，又即，故由平方和关系得即，所以即，故，所以.故答案为：.题型03根据平方关系求参数【典例3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为.【答案】0或1【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可【详解】由于，．根据题意得到：，即，解得.满足,则k的值为0或1.故答案为：0或1.【变式1】（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得不成立，则实数的最小值为（

）A．6 B．10 C．12 D．16【答案】A【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值.【详解】因为，所以.由，得.所以，当且仅当，即时等号不成立，所以实数的最小值为16..【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则．【答案】0或【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，整理可得，，解得或.当时，，，；当时，，，.综上所述，或.故答案为：0或.【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则．【答案】或【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值.【详解】由，可得或，当时，，，故；当时，，，故.故答案为：或【变式4】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值.【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值.【详解】解：由，易得，解得或1.由，所以①当时，，，不合题意，舍去；②当时，，，符合题意.综上，.题型04正余弦齐次式的应用【典例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为，所以.【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】D【分析】根据弦切互化求出，即可代入求解.【详解】，解得，故.【变式2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（

）A． B．0 C．7 D．【答案】A【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可.【详解】对于函数（且），当时，，即，因为点A在角θ的终边上，所以，于是，【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则.【答案】1【分析】利用同角的三角函数关系式，将弦的齐次式化成正切，代入计算即得.【详解】由.故答案为：1.【变式4】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，求及的值.【答案】；.【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由，得；.题型05sinα·cosα、sinα±cosα知一求二【典例5】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，所以，又，所以..【变式1】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】DD【解析】因为，所以，而α为锐角，所以，故A错误；由，两边平方可得，故C正确；因为α为锐角，所以，故D正确；由，故B错误.D【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可.【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则，由，得，即，解得，则，解得，故A错误；对于B，，因为，所以，又，所以，则，因此，故B正确；对于C，由，解得，则，故C错误；对于D，，故D正确；D.【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由题意知，平方求得，结合，化简得到，进而逐项判定，即可求解.【详解】因为，所以，可得，因为，所以，所以，则，又由，所以，故D正确；联立方程组，解得，故A、B正确，由，故C错误.BD.题型06三角函数式的化简求值【典例6】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化切为弦利用同角三角函数的平方关系化简得，然后根据角的范围判断，即可得解.【详解】因为，所以，所以，又，，则，所以.【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用的关系和题中条件即可求得的值，进而得到的值.【详解】因为，且，设，则且，∴，∴，即，解得（舍）或，∴，即异号，∴..【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解.【详解】易知，故.【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方关系配方和开方，结合角的象限可确定符号，即可得解.【详解】因为，则，故原式，．【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：，其中是第二象限角；（2）化简：.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系以及象限符号即可得出答案；（2）利用同角三角函数的关系化简计算即可.【详解】（1）因为是第二象限角，所以，则；（2）.题型07三角函数式的证明【典例7】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：(1)；(2)．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证；（2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证.【详解】（1）左边右边.则恒等式不成立.（2）右边左边.则恒等式不成立.【变式1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论；（2）利用平方关系可证结论.【详解】（1）证明：左边==右边.（2）证明：左边==右边.【变式2】（24-25高一·全国·随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）利用平方差公式及证明.（2）利用提取公因式及证明.（3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明.【详解】（1）.故不成立.（2）故不成立.（3）.故不成立.【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）求证：.【答案】证明见解析【分析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论.【详解】∵，∴.【变式4】（24-25高一·全国·单元测试）求证:.【答案】证明见解析【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值.方法二：在等式的左侧同时乘以，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果.【详解】方法一:左边======右边.方法二:左边=====

=右边.一、单选题1．（24-25高三上·江西·阶段练习）若，则=（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出.【详解】由，得，所以.2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数关系中平方和关系进行求解即可.【详解】因为，所以．3．（2024高三·全国·专题练习）若，α为第四象限角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角的三角函数的平方关系可求解.【详解】因为，为第四象限角，所以..4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知为第二象限角，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】先根据角所在象限得到，，进而化简求值．【详解】是第二象限角，，，故．．5．（23-24高一上·上海·期末）若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值.【详解】因为，则，所以，..6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论．【详解】且，，又，，解得：或，当，则，则；当，则（舍去）；．7．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，可求得，进而可求的值.【详解】因为，所以，又，所以，所以，又，所以..8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且为第三象限角，则（

）A．2 B．3 C．或3 D．2或【答案】A【分析】利用同角三角函数之间的基本关系以及角的范围计算可得结果.【详解】易知，整理可得，解得或，又为第三象限角，可得，即，（舍去）；9．（24-25高一上·全国·课后作业）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，代入化简求解.【详解】原式.二、多选题10．（24-25高一下·河南南阳·期中）的值可能为（

）A． B． C．1 D．3【答案】CD【分析】根据角所在的象限分类讨论即可.【详解】因为，所以且，若在第一象限，则，故原式，若在第二象限，则，原式，若在第三象限，则，原式，若在第四象限，则，原式D11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若α为第一象限角，则【答案】AD【分析】由同角三角函数的商数关系可判断A、D，由同角三角函数的商数关系结合平方关系可判断B，由三角函数的符号可判断C.【详解】对于A，，A正确，,；对于B，，B不正确，；对于C，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故C不正确．对于D，∵α为第一象限角，∴原式，D正确．D.12．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可.【详解