高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义1.4第一章：空间向量与立体几何(单元测试)(学生版+解析)

第一章：空间向量与立体几何（试卷满分170分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高二上·北京·月考）若，，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·广东茂名·月考）设点，，，若，则点的坐标为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·广东珠海·开学考试）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·河南·月考）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·浙江金华·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．7．（23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A．1 B． C． D．8．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（

）A．点关于原点O的对称点的坐标为B．点关于y轴的对称点的坐标为C．点关于平面对称的点的坐标是D．点到平面的距离为110．（23-24高二上·重庆黔江·月考）下列命题是真命题的有（）A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则11．（23-24高二上·山东枣庄·月考）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（

）A．当时，的最小值为B．当时，有且仅有一个点P满足C．当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等D．当时，线段AP扫过的图形面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为13．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知点，，，则到的距离为.14．（23-24高二上·广东江门·月考）已知，，则最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24二上·山西临汾·月考）已知，且.(1)求；(2)求向量与夹角的大小.16．（23-24高二上·四川泸县·月考）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．(1)设向量，，，用、、表示向量、；(2)求证：、、三点共线．17．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．(1)求证：；(2)当，且时，求点P的坐标．18．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面．(1)求；(2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值．19．（23-24高二上·北京顺义·月考）如图，平面，，，，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若点E到平面的距离为，求三棱锥的体积.第一章：空间向量与立体几何（试卷满分170分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高二上·北京·月考）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可知，根据向量减法的坐标运算法则可得，即.2．（23-24高二下·广东茂名·月考）设点，，，若，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，且，因为，可得，解得，即点..3．（23-24高二下·广东珠海·开学考试）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，由向量共面定理，知共面，同时及共面，易得选项A、B、D错误；因为不共面，结合上面的结论，所以不共面，故可作为空间的一个基底.．4．（23-24高二上·河南·月考）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知,由得,因为点C，D分别是母线的中点，所以，则.5．（23-24高二上·浙江金华·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于平面的方程为，所以平面的法向量，在平面上任取一点，则，点到平面距离.6．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且，对于A，由，得，点不共面，A不是；对于B，由，得，点不共面，B不是；对于C，由，得，点不共面，C不是；对于D，由，得，点共面，D是.7．（23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得,显然不共面，，又，，因此，所以则异面直线与所成角的余弦值为.8．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，所以的最小值为点到平面的距离，由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，则，，由等体积法得，，所以，所以的最小值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（

）A．点关于原点O的对称点的坐标为B．点关于y轴的对称点的坐标为C．点关于平面对称的点的坐标是D．点到平面的距离为1【答案】ABD【解析】对于A，点关于原点O的对称点的坐标为，故A正确；对于B，点关于y轴的对称点的坐标为，故B正确；对于C，点关于平面对称的点的坐标是，故C错误；对于D，点到平面的距离为，故D正确.BD.10．（23-24高二上·重庆黔江·月考）下列命题是真命题的有（）A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则【答案】CD【解析】对于A选项，因能构成空间的一个基底，故不能平移到同一个平面内，即A，B，M，N不共面，A项错误；对于B选项，因，即，故l与m垂直，B项正确；对于C选项，要使l⊥α,须使与共线，不妨设，则得：，显然该方程组无解，故C项错误；对于D选项，因是平面内的两个向量，是平面α的法向量，故解得：则有：，故D项正确.D.11．（23-24高二上·山东枣庄·月考）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（

）A．当时，的最小值为B．当时，有且仅有一个点P满足C．当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等D．当时，线段AP扫过的图形面积为【答案】AC【解析】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，则，，，，则，∴.选项A：当时，点为线段上的点，将平面和平面沿展开为同一个平面，如图：连接，则的最小值为，故A正确；选项B：当时，，，，则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误；选项C：当时，，则，，，，则在上的投影为，则点P到直线的距离；平面的一个法向量为，，则点P到平面的距离为，当点P到直线的距离与到平面的距离相等时，，∵，∴方程有一个解，则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；D选项：当时，，可知点在以和为半径的上，线段是以为旋转轴的圆锥的母线，所以线段扫过的图形面积为，故D错误．C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为【答案】【解析】由投影向量的定义可知，，13．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知点，，，则到的距离为.【答案】/【解析】因为，，所以所以,所以点到的距离.14．（23-24高二上·广东江门·月考）已知，，则最大值为【答案】【解析】，当时，，由，所以，当且仅当，即时等号不成立，故，当时，，故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24二上·山西临汾·月考）已知，且.(1)求；(2)求向量与夹角的大小.【答案】(1)；(2)【解析】（1），，；（2）由（1）可得，，向量与垂直，即向量与夹角的大小为.16．（23-24高二上·四川泸县·月考）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．(1)设向量，，，用、、表示向量、；(2)求证：、、三点共线．【答案】(1)，；(2)证明见解析【解析】（1）因为，则，所以，又因为，则，所以；（2）因为，且，所以，即、、三点共线．17．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．(1)求证：；(2)当，且时，求点P的坐标．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）由点，点，得，由向量为直线l的方向向量，得，于是，而，消去得，所以.（2）由（1）知，而，则，又，显然，由，得，解得，所以点P的坐标是.18．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面．(1)求；(2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)2；(2)【解析】（1）由题意得：连接交于点，过做，交于点，如图所示：由于平面，平面，所以平面，又平面．平面，所以平面平面，平面平面，平面平面，所以，故，由于，所以，则，所以四边形为正方形，所以，在中，，所以，所以，；（2）在和中，由可得：，满足，所以，又．又有交于点，所以平面，满足两两垂直，故以为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是有．设平面的法向量为，由，取，又，故所求角的正弦值为．19．（23-24高二上·北京顺义·月考）如图，平面，，，，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若点E到平面的距离为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面，