高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义1.3第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习(12题型)(学生版+解析)

第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习题型一空间向量的有关概念理解1．（23-24高二上·贵州黔西·月考）（多选）下列说法，错误的为（

）A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同B．若向量满足，且与同向，则C．若两个非零向量与满足，则为相反向量D．的充要条件是与重合，与重合2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）以下关于向量的说法正确的有（

）A．若空间向量，，满足，则B．若空间向量，，满足，则C．若空间向量，满足，，则D．若空间向量，满足，，则3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如图所示，在三棱柱中，与是向量，与是向量(用“相等”“相反”填空).4．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量．(2)试写出的相反向量．题型二空间向量的线性运算1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山西运城·月考）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于

（

）

A． B． C． D．4．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A． B．C． D．题型三空间向量的线性表示1．（23-24高二上·四川德阳·期中）在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（

）A． B．C． D．3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（

）A． B． C． D．题型四空间向量基本定理及应用1．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·山东临沂·月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）给出下列命题，其中正确命题有（

）A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底C．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面D．已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底题型五空间向量的共线问题1．（23-24高二上·江西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（

）A． B． C．10 D．132．（23-24高二上·辽宁·月考）已知向量，，且，那么实数（）A．3 B． C．9 D．3．（23-24高二上·福建泉州·月考）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．题型六空间向量的共面问题1．（23-24高二上·贵州遵义·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（

）A．共面 B．不一定共面C．无法判断是否共面 D．不共面3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（23-24高二上·湖北·开学考试）（多选）下列命题中正确的是（

）A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．设，，是三个空间向量，则D．若与共面，与共面，则任意，与共面题型七空间向量的数量积问题1．（23-24高二下·江苏连云港·月考）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量，(1)求向量，，的坐标；(2)求与所成角的余弦值.4．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求：(1)的长；(2)与夹角的余弦值．题型八空间向量的对称问题1．（23-24高二上·广东东莞·月考）点关于点的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·宁夏银川·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（

）A．点P关于坐标原点对称点的坐标为B．点P在x轴上的射影点的坐标为C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为题型九利用空间向量证明平行垂直1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点．(1)设，请以向量表示；(2)求证：平面平面．2．（23-24高二上·山东·月考）如图，在长方体中，，，分别的中点．

(1)求证：平面；(2)判断与平面是否垂直，并说明理由．3．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.(1)证明：直线∥平面；(2)证明：.4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.求证：(1)平面；(2)平面⊥平面.题型十利用空间向量计算空间角1．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．2．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为．3．（23-24高二下·江苏盐城·月考）（多选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（

）A．点A到平面的距离为1B．与平面所成角的正弦值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知，分别是正方体的棱和的中点，求：(1)与所成角的大小；(2)与平面所成角的正弦值；(3)二面角的余弦值．题型十一利用空间向量计算空间距离1．（23-24高二上·河北·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北·月考）如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．(1)证明：平面PAB；(2)求直线CE与平面PAB间的距离．题型十二利用空间向量探究动点存在1．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．(1)求证：平面；(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．2．（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点(1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由；(2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值.3．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）如图，在长方体中，E，M分别是，的中点，，.(1)若在线段上存在一点，使∥平面，试确定N的位置；(2)在（1）的条件下，试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点．(1)求证：上存在一点，使得与总垂直；(2)当平面时，求的值；(3)当时，求平面与平面所成角的大小．第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习题型一空间向量的有关概念理解1．（23-24高二上·贵州黔西·月考）（多选）下列说法，错误的为（

）A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同B．若向量满足，且与同向，则C．若两个非零向量与满足，则为相反向量D．的充要条件是与重合，与重合【答案】ABD【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，故相等向量的起点和终点不必相同，对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误；向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误；由相反向量的定义可知C正确.BD.2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）以下关于向量的说法正确的有（

）A．若空间向量，，满足，则B．若空间向量，，满足，则C．若空间向量，满足，，则D．若空间向量，满足，，则【答案】CD【解析】A：若，显然满足，但是不满足，因此本选项不正确；B：两个空间向量相等，它们的模显然相等，因此本选项正确；C：若，且三向量不共面时，不一定不成立，因此本选项不正确；D：由相等向量的定义可知，如果，，一定有，因此本选项正确，D3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如图所示，在三棱柱中，与是向量，与是向量(用“相等”“相反”填空).【答案】相等；相反【解析】在三棱柱中，四边形是平行四边形，则，即与是相等向量；四边形是平行四边形，，即与是互为相反向量.故答案为：相等；相反4．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．(1)试写出与相等的所有向量．(2)试写出的相反向量．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意，与相等有；（2）由题意，的相反向量有.题型二空间向量的线性运算1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，因为E为棱BC的中点，所以,2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延长交于，如图，则是中点，，，．3．（23-24高二上·山西运城·月考）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于

（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】∵M，G分别是BC，CD的中点，∴，．∴．4．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，；对于B，；对于C，；对于D，..题型三空间向量的线性表示1．（23-24高二上·四川德阳·期中）在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，，故选:D.2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】连接，是的中点，，，.3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】..4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为,所以..题型四空间向量基本定理及应用1．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】因为向量，，不共面，所以可以作为空间向量的一组基，而其它三组向量都共面，.2．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】不存在，使得，所以不共面，是空间的另一个基底，A正确．因为，所以共面，不是空间的另一个基底，B错误．不存在，使得，所以不共面，是空间的另一个基底，C正确．因为，所以共面，不是空间的另一个基底，D错误．C.3．（23-24高二上·山东临沂·月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为向量，，不能构成空间的一个基底，所以、、共面，故存在实数、使得，即，因为是空间的一个基底，则，解得..4．（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）给出下列命题，其中正确命题有（

）A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底C．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面D．已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底【答案】ABCD【解析】选项A中，根据空间向量的基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基，所以A正确；选项B中，根据空间的基底的概念，可得B正确；选项C中，由不能构成空间的一组基底，可得共面，又由过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确；选项D中，由是空间的一组基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间的另一组基底，所以D正确.BCD题型五空间向量的共线问题1．（23-24高二上·江西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（

）A． B． C．10 D．13【答案】C【解析】因为，且三点共线，所以存在实数，使得，解得．.2．（23-24高二上·辽宁·月考）已知向量，，且，那么实数（）A．3 B． C．9 D．【答案】A【解析】，则，即，解得，故.3．（23-24高二上·福建泉州·月考）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由，，得，因为A，C，D三点共线，所以，则存在唯一实数，使得，则，解得..4．（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．【答案】证明见解析【解析】连接，，∵，，∴，∴，又，∴，，三点共线．题型六空间向量的共面问题1．（23-24高二上·贵州遵义·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】对于因为，故三个向量共面；对于

假设，，共面，则，使得，故有，方程组无解，故假设不不成立，即，，不共面；对于,，故三个向量共面；对于，故三个向量共面，故选：2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（

）A．共面 B．不一定共面C．无法判断是否共面 D．不共面【答案】A【解析】,则，所以，则，故四点共面.3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因为三向量共面，设，所以，即，解得，.4．（23-24高二上·湖北·开学考试）（多选）下列命题中正确的是（

）A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．设，，是三个空间向量，则D．若与共面，与共面，则任意，与共面【答案】DD【解析】对于选项A：例如非零向量，，是三棱锥三条侧棱所在的向量，显然满足与共面，与共面，与共面，但向量，，不共面，故A错误；对于选项B：因为向量可以平移，但直线不能平移，可知：若向量，，共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；对于选项C：根据数量积的分配律可知：，故C正确；对于选项D：对任意，可知与、共面，若、与共面，所以与共面，故D正确；D.题型七空间向量的数量积问题1．（23-24高二下·江苏连云港·月考）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，，所以，所以，．2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，二面角等于，即，所以，，所以，，因此，..3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量，(1)求向量，，的坐标；(2)求与所成角的余弦值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为向量，所以，解得：，，则，，又因为，则，解得，所以（2）由（1）知，所以，，则，，，即与所成角的余弦值4．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求：(1)的长；(2)与夹角的余弦值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）设，，，由题意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的长为，（2）∵，∴，∴，，∴，即与夹角的余弦值为．题型八空间向量的对称问题1．（23-24高二上·广东东莞·月考）点关于点的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点关于点的对称点的坐标为，则可得解得,所以对称点得坐标为..2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】点关于z轴对称时，z不变，x与y变为相反数，所以点关于z轴的对称点的坐标为..3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为，可得点关于平面的对称点的坐标为.故选：B．4．（23-24高二上·宁夏银川·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（

）A．点P关于坐标原点对称点的坐标为B．点P在x轴上的射影点的坐标为C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为【答案】D【解析】点关于原点的对称点为.故选项A正确；点在x轴上的射影即为过点作x轴的垂线所得垂足，其坐标为.故选项B正确；点关于Oyz平面的对称点与点横标互为相反数，纵坐标与竖坐标保持不变.故选项C错误；点在平面Oyz上的射影即为过点作平面Oyz的垂线所得垂足，其坐标为.故选项D正确..题型九利用空间向量证明平行垂直1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点．(1)设，请以向量表示；(2)求证：平面平面．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）.（2）∵∴，又∵，∴，即，∵底面菱形中，，且，平面.所以平面．又平面．∴平面平面．2．（23-24高二上·山东·月考）如图，在长方体中，，，分别的中点．

(1)求证：平面；(2)判断与平面是否垂直，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)不垂直，理由见解析.【解析】（1）在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，分别的中点，得，，显然平面的一个法向量，则，于是，有平面，而平面，所以平面.（2）由（1）知，，则有，而，于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面，所以与平面不垂直.3．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.(1)证明：直线∥平面；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系，不妨设，则，可得，可知，则∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）设，则，可得，由（1）可知：，因为，所以.4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.求证：(1)平面；(2)平面⊥平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，，，∴，，，，，，.，，即，又⊂平面，平面，∴平面.（2），，∴，即又平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面⊥平面.题型十利用空间向量计算空间角1．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，则异面直线与所成角的余弦值为..2．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为．【答案】【解析】因为点在底面的射影为中点H，则平面，又因为四边形为正方形，以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为平面，平面，则，因为，，则，则、、、，所以，易知平面的一个法向量为，，因此，直线与平面所成角的正弦值为．故答案为：.3．（23-24高二下·江苏盐城·月考）（多选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（

）A．点A到平面的距离为1B．与平面所成角的正弦值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为【答案】AC【解析】首先由题目条件知，，故，同时注意到，故，.由于，而在平面内，所以，而，和都在平面内且相交于，故垂直于平面，从而点到平面的距离为，故A正确；由于垂直于平面，平行于，故垂直于平面，而和在平面内，所以，.而和都在平面内，故与平面的夹角等于与的夹角，又由于，而在平面内，所以，从而有，故B错误；由于平行于，故直线与所成角等于直线与所成角.又因为，而在平面内，所以，这就说明，故C正确；已证两两垂直.如图，以为原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系：则有，而，，，故.从而，，，设，分别为平面和的法向量，则，，令，解得，故可取，.注意到和分别是平面和向二面角内部朝向的法向量，故钝二面角的余弦值为，故D错误.C.4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知，分别是正方体的棱和的中点，求：(1)与所成角的大小；(2)与平面所成角的正弦值；(3)二面角的余弦值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，因为，，所以，，，由，又因为，故向量与夹角为，因此与所成角的大小为．（2）由（1）知，，，易知是平面的一个法向量，设与平面所成角为，故，故与平面所成角的正弦值为.（3）设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，故.易知平面，故平面的一个法向量为，则，又因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为.题型十一利用空间向量计算空间距离1．（23-24高二上·河北·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以到直线的距离为．2．（23-24高二上·湖北·月考）如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，因为，所以，，，因为，所以，因此，所以点到直线的距离为，3．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意易知直线面，所以到面的距离即为直线到平面的距离.建立如图所示坐标系，则：，，，，,所以设面的法向量，则：，即取，则，所以所以到面的距离.4．（23-24高二上·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．(1)证明：平面PAB；(2)求直线CE与平面PAB间的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）记的中点为，连接，因为，所以底面ABCD为直角梯形，又底面ABCD的面积为，，所以，得，所以，所以且，所以为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，因为O，E分别为AD，PD的中点，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面PAB.（2）因为是以AD为斜边的等腰直角三角形，，所以，，由（1）可知，，所以又因为平面平面ABCD，所以，故两两垂直，以所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，则，则，设为平面的法向量，则，令得，所以点C到平面的距离为，由（1）知，平面PAB，所以直线CE与平面PAB间的距离即为.题型十二利用空间向量探究动点存在1．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．(1)求证：平面；(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，【解析】（1）依题意，所以，所以、是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是