北京市东城区2024-2025学年高三（上）期末数学试题（含答案）

北京市东城区2024-2025学年高三（上）期末数学试题本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A） （B）（C） （D）（2）在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（A）（B）（C）（D）（3）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（A） （B）（C） （D）（4）近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（本题取）（A）秒 （B）秒（C）秒 （D）秒（5）设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（A）， （B），（C），（D）， （6）已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是（A） （B）（C） （D）（8）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点.已知一个圆经过，，三点，则该圆经过的整点共有（A）个 （B）个（C）个 （D）个（9）如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（A） （B） （C） （D）（10）已知.用表示中的最大值，设.若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（11）函数的定义域为.（12）在的展开式中，的系数为.（用数字作答）（13）写出一个焦点在轴上且离心率为的双曲线的标准方程：.（14）大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中，对于，数列，，是公差为的等差数列，且也是等差数列.已知，，，则_________；的前9项和等于_______.（15）已知非空数集,满足：（=1\*romani），有；（=2\*romanii），，有；（=3\*romaniii）且，有，则称是的“理想子集”.给出下列四个结论：=1\*GB3①若,则是的“理想子集”；=2\*GB3②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；=3\*GB3③若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；=4\*GB3④若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”.其中所有正确结论的序号是______________．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在△ABC中，为钝角，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求．条件①：；条件②：；条件③：△ABC的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，侧面与底面垂直，△为正三角形，底面为菱形，，，分别为棱，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．（18）（本小题13分）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组、中年组和老年组.随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：青少年组中年组老年组愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意第一款402080202020第二款303060403010第三款501080201030假设顾客购买的意愿相互独立.用频率来估计概率.（Ⅰ）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；（Ⅱ）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差，，的大小关系．（19）（本小题15分）设函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的极值点个数；（Ⅲ）若时，，求的取值范围．（20）（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，且焦距为2.为第一象限内上的动点，过点作斜率为的直线分别与交于点（均异于点），直线与轴交于点，点为线段的中点，直线与轴交于点．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）当时,求点横坐标．

（21）（本小题15分）已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有.定义数列,其中，.当时，称数列具有性质.（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质；=1\*GB3①4，3，2，1；=2\*GB3②1，2，3，5，4.（Ⅱ）已知数列具有性质，求的最小值；（Ⅲ）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）D （3）A （4）B（5）B（6）C （7）B （8）D （9）A（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（

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） （12）（13）（答案不唯一）（14）12,140（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④ 三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理得又因为，所以因为，所以因为，所以．………………7分（Ⅱ）若选条件=1\*GB3①：因为，所以．因为，所以.所以．此时，为钝角，符合题意．……13分若选条件=3\*GB3③：因为△ABC的面积为，所以.由（=1\*ROMANI）知，所以.由余弦定理得，即.所以.因为为钝角，所以.此时，为钝角，符合题意．…13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取的中点，连接.在中，因为分别为的中点，所以且.因为为的中点，底面为菱形，所以且.所以且.所以四边形为平行四边形.所以.又因为，，所以平面.………………6分（Ⅱ）连接,.因为为正三角形，所以.因为侧面与底面垂直，侧面底面,平面，所以底面.所以.由题知为正三角形，为的中点,所以.建立如图所示的空间直角坐标系.设，则．于是，，，，，，.所以,.设是平面的法向量，则即令，则，.于是．因为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.…………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据题中数据，在200人中愿意购买第一款新品的人数为，所以该名顾客愿意购买第一款新品的概率可估计为.………4分（Ⅱ）由题设，的所有可能值为0，1，2，3.根据题中数据，得青少年组的人数为.随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为.中年组的人数为.随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为.老年组的人数为.随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为，此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为.所以可估计为，可估计为，可估计为，可估计为.的分布列为：0123所以.………10分（Ⅲ）.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）的定义域为，.，．所以曲线在点处的切线方程为，即．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．令，．由知，在区间上单调递减，又，则存在唯一，使得．当变化时，的情况如下：↗极大值↘由上表可知，的极值点个数为1.………………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且时，.若，则，符合题意；若，则由知.当，且时，，因此，与题设矛盾.综上，的取值范围为．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题意得解得，．所以的方程为．………………5分（Ⅱ）设，，，，.则直线，.由得.所以，故．由得.所以，故．因为为线段中点，所以，故直线．令，则，所以．设直线与轴交于点，因为，，，共线，所以.解得．所以.因为，所以．综上，点的横坐标为．………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）=1\*GB3①4，3，2，1不具有性质；=2\*GB3②1，2，3，5，4具