2024-2025学年高中数学课下能力提升十八古典概型新人教A版必修3

PAGE1-课下实力提升(十八)一、题组对点训练对点练一基本领件的列举问题1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事务A包含的基本领件数是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选D事务A包含的基本领件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．故选D.2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的基本领件；(2)求出这个试验的基本领件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事务包含的基本领件．解：(1)这个试验的基本领件为(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)．(2)基本领件的总数为6.(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本领件：(2,0)，(2,1)．对点练二简洁古典概型的计算3．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；②每个事务出现的可能性相等；③每个基本领件出现的可能性相等；④基本领件的总数为n，随机事务A若包含k个基本领件，则P(A)＝eq\f(k,n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④解析：选B依据古典概型的特征与公式进行推断，①③④正确，②不正确，故选B.4．下列试验中，属于古典概型的是()A．种下一粒种子，视察它是否发芽B．从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中随意抽一根，测量其直径dC．抛掷一枚硬币，视察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C依据古典概型的特点推断，只有C项满意：①试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；②每个基本领件出现的可能性相同．5．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)解析：选A从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又因为全部基本领件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构成三角形的基本领件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P＝eq\f(1,4).6．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为()A.eq\f(3,10) B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：选C从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为eq\f(1,2).7．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中随意取出两球，求下列事务的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．解：设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝eq\f(8,15).对点练三较困难的古典概型的计算8．(2024·天津高考)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的全部结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).二、综合过关训练1．下列是古典概型的是()A．随意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件时B．求随意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本领件时C．从甲地到乙地共n条路途，求某人正好选中最短路途的概率D．抛掷一枚匀称硬币首次出现正面为止解析：选CA项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本领件是无限的，故B不是；C项满意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本领件可能会是无限个，故D不是．2．(2024·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选D法一：设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列全部可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的状况)共有12种，故所求概率为eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).法二：两位男同学与两位女同学随机排成一列，因为男同学人数与女同学人数相等，所以两女同学相邻与不相邻的排法种数相同，所以两女同学相邻与不相邻的概率均为eq\f(1,2).3.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传闻中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：选D从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满意题意的取法有两种：4,6和2,8，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选D.4．袋中共有6个除了颜色外其他完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选B记红球为A，白球分别为B1，B2，黑球分别为C1，C2，C3，记事务M为“取出的两球一白一黑”，则基本领件有：(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15个．其中事务M包含的基本领件有：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，共6个．依据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).5．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的全部选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc,2名都是女同学的选法为：ab，ac，bc，故所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7．某商场实行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，登记编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．解：设“中三等奖”为事务A，“中奖”为事务B，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．则中奖概率为P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).8．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，