2024-2025学年北京房山区高三（上）期末数学试卷（含答案）

第1页/共10页2025北京房山高三（上）期末数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知全集，集合，则（

）A． B．C． D．2．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i3．已知，，，且，，则（

）A． B．C． D．4．在的展开式中，的系数为（

）A．15 B．-15 C．5 D．-55．下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．6．在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．37．已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥合的体积等于（

）A． B． C．2 D．19．已知实数，满足，，给出下列三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．② C．①③ D．②③10．已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（

）A．5 B．7 C．9 D．10第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11．函数的定义域为.12．在中，，，，则；若为边上一点，且，则.13．已知双曲线（）的渐近线方程为，则，的一组值依次为.14．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为.15．已知函数，，给出下列四个结论：①当时，方程有且只有一个实数根；②当时，对任意，或；③当时，对任意，；④存在，对任意，.其中正确结论的序号是.解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知函数，且=0， 且的最小值为（1）求的值；（2）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值.

17．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下：1店2店3店4店5店6店7店8店新能源汽车销售量108162320182211燃油汽车销售量1411131921252326(1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；(2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望；(3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明）18．已知三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形，.，为的中点.(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（ⅰ）求证：平面；（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19．已知椭圆（）过点，离心率为，一条直线与椭圆父于，两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点.(1)求椭圆的方程；(2)若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.20．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围；(3)求证：存在实数，使方程有正实根.21．已知和都是无穷数列.若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系.(1)分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系，直接写出结论；①，，；②，，.(2)设，，，试判断数列与是否具有关系.如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由；(3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与具有关系，且，，…，中至少有100个正数，求的取值范围.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910DACBCDABDB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）（12）（13）（答案不唯一，只需满足）（14）（15）①=2\*GB3②③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，且的最小值为，所以，所以.因为，所以.（Ⅱ）因为，所以.所以当，即时，取得最大值.（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）根据题中数据，8个门店中12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的共有2个，所以从该市众多门店中随机抽取个，该门店月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率可以估计为.（Ⅱ）的所有可能取值为：，则所以的分布列为0123所以.（Ⅲ）.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）连接，设，连接.因为侧面为菱形，所以为的中点.因为为的中点，所以为的中位线.所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）选择条件=1\*GB3①：.（i）因为侧面为菱形，所以.又，所以.又因为正方形，所以.所以，即.又因为，且平面，所以平面.（ii）取中点，连接，因为，所以为等边三角形.所以.所以.又因为平面，所以，.如图建立空间直角坐标系，则，，，.因此，，.设平面的法向量为，则即令，则，，因此.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅱ）选择条件=2\*GB3②:.（i）因为菱形，所以.又，，且平面，所以平面.又平面，所以.又因为正方形，所以.又因为，且平面，所以平面.（ii）下同选择条件=1\*GB3①（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意可得，，所以.所以.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）直线过定点.当直线的斜率存在时，设直线的方程为（显然），由得．则，即．设，，则，．由，得，．所以．设直线的方程为．带入整理得，所以直线过定点．当直线的斜率不存在时，显然直线过点.综上直线过定点.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，则.，所以.所以曲线在点处的切线方程为即.（Ⅱ）由得,当时，所以，所以，所以在上单调递增，所以所以符合题意；当时，令，得,因为，所以所以，所以，的变化情况如下表：极小值所以，与恒成立矛盾，所以不符合题意；综上所述，实数的取值范围是.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，存在极小值，记，则，所以在上单调递增，,取，此时，，所以存在，使，即方程有正实根.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）=1\*GB3①否；=2\*GB3②是.（Ⅱ）由题意知，所以．所以数列与具有关系．设的最小值为，则．因为，所以．若，则当时，．则，这与“对任意的