小学数学疑难难题

1.【题目】甲乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C

同时出发绕水池的边沿顺时针方向行走.甲的速度是每分钟50米，乙的速度是每

分钟46米，那么甲乙第一次在同一边上行走，是发生在出发后的第多少分钟？

第一次在同一边上行走了多少分钟？

【解答】要使两人在同一边行走，甲乙相距必须小于一条边，并且甲要迈过顶点。

甲追乙1600+4=400米，至少需要400+(50—46)=100分钟，

此时甲行了50X100=5000米，50004-400=12条边……200米。

因此还要行200+50=4分钟，出发后100+4=104分钟在同一边上行走。

此时甲乙相距400X2—104X(50-46)=384米，乙行完这条边还有16米，

因此第一次在同一边上走了16:46=8/23分钟。

2.【题目】甲乙两地相距35千米，小张，小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自

行车，小张先步行，小李先乘车，同时出发.小张步行的速度是每小时5千米，小李

步行的速度是每小时4千米两人乘车的速度都是每小时20千米.那么两人从甲

地到乙地最短需要时间多少小时？

【解答】如图，假设小李先乘车到丙地再步行，小张步行到丙地再乘车，要使两

人时间最短，那么必须满足同时到达。那么有从甲地到丙地两人的时间差相当于

两人从丙地到乙地的时间差，

从甲地到丙地，车和小张的速度比是20：5=4：1,时间比是1：4；

从丙地到乙地，小李和车的速度比是4：20=1：5,时间比是

5：1；

由于时间差相同，那么相差[3,4]=12份的时间。

那么有从甲地到丙地，车和小张的时间比是4：16

还有从丙地到乙地，小李和车的时间比是15：3

行完全程车行了7份的时间，那么每份的时间是35+20+7=1/4小时

每人行完全程用了19份的时间，那么共用去19X1/4=19/4小时。

3.【题目】现有速度固定的甲、乙两车。如果甲车以现在速度的2倍追乙车，5

小时能追上；如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时能追上，那么甲以现

在的速度去追乙车，几小时能追上乙车？

【解答】根据牛吃草问题的工程解法并且这题的速度的倍数的特殊性来解答。

因为2x2—3=1,所以”(1/5X2-1/3)=15小时。

4.TBTCTD；蓝甲虫沿ATDTCTB.9：30红甲虫爬到AB间距离A点10米的E

点后继续向前爬去，10：15到BC间的F点，再经C向前爬去.蓝甲虫爬到AD间

距离D点5米的G点休息了一会儿再往前爬去.当两个甲虫在CD上的H点相遇时,

凑巧四边形EFHG的面积是正方形面积的一半.求蓝甲虫在G点休息了多长的时

间？

【解答】

要满足面积是一平，由于F、G不在同一水平线上，H、E在同一竖直线上，EH垂

直正方形的边AB。

那么有红甲虫比蓝甲虫多行(17—10)X2=14米。

每米需要30X0=3分钟,所以蓝甲虫休息了14x3=42分钟。

5.【题目】甲、乙两地公路长74千米，8：15一辆汽车从甲地到乙地，半个小时

后，又有一辆同样速度的汽车从甲地开往乙地.王叔叔8：25从乙地骑摩托车出

发去甲地，在差5分不到9点时，他遇到了第一辆汽车，9：16遇到第二辆汽车,

王叔叔骑摩托车的速度是多少？

【解答】

汽车和摩托车的速度比是(51-30)：(40-31)=7：3,

摩托车行完需要404-3/7+30=370/3分钟。

摩托车小时行74^370/3x60=36千米

6.【题目】红光农场原定9时来车接601班同学去劳动，为了争取时间，8时同

学们就从学校步行向农场出发，在途中遇到准时来接他们的汽车，于是乘车去农

场，这样比原定时间早到12分钟。汽车每小时行48千米，同学们步行的速度是

每小时几千米？

【解答】

学生步行的路程，汽车需要12+2=6分钟,

说明是在9：00前.6分钟接到学生，即8：54分，说明学生行了54分钟。

汽车的速度是步行的54-6=9倍，步行的速度是每小时行48:9=16/3千米。

7.【题目】一条公路，由甲乙两个筑路队合修要12天完成。现在由甲队修3天

后，再由乙队修1天，共修这条公路的3/20,如果这条公路由甲队单独修要多少

天完成？

【解答】

把甲队修3天乙队修1天，看作合修1天甲队又修2天。

那么甲队2天修了3/20-1/12=1/15

所以甲队单独修需要2-1/15=30天

8.题目】一批任务，师徒二人合作了30天完成，合作时，徒弟中途休息5天，

然后又合作完成全部任务。结果师傅做的是徒弟的二倍。师傅每天比徒弟多做2

个，求全部任务是多少？

【解答】

师傅和徒弟的工作效率的比是(30—5)：(304-2)=5：3

徒弟每天做2彳(5-3)X3=3个，徒弟做了3义(30-5)=75个

全部任务就是75x(1+2)=225个。

9.【题目】一件工程，甲独做50小时完成，乙独做30小时完成，现在甲先做1

小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时，……,两人如此交

替工作，完成任务共需多少小时？

【解答】

由丁单独做甲50小时，乙30小口寸，所以交替做的天数要超过30小时。

工作1+2+3+…+6+7+8=36小时

完成了(1+3+5+7)X1/50+12+4+6+8)X1/30=74/75,

还剩下1-74/75=1/75,此时是甲做,需要1/75+1/50=2/3小时,

因此共需要36小时40分钟

10.【题目】一项工程，如果甲队独做，正好在方案规定的时间内完成，如果乙队

独做，那么要超过方案规定的时间10天才能完成，如果甲乙两队先合作6天。

然后让乙队单独做，那么正好在方案规定的时间完成。完成这项工程方案用多少

天？

【解答】

甲队做6天相当于乙队做1C天，单独做甲队比乙队少做10天，

甲队需要10：U0-6Jx6=15大，即方案用的天数15大

11.【题目】甲乙两名工人加工数量相等的一批零件，甲先花去2.5小时改装机器

才开始工作，因此前4小时后甲比乙少做400个零件，又同时工作4小时后，甲

总共加工的零件反而比乙多4200个，求甲乙每小时各做多少零件？

【解答】

甲4小时比乙多做4200+400=4600个,

甲2.5小时做4600+小0=5000个，

甲每小时做50004-2.5=20C0个,

乙每小时做(2000x1.5+400)：4=850个

12.【题目】一件工程甲独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了假设干

天后，在由已接着甲单独做完余下的局部，这样前后共用了16天，甲做了多少

天？

【解答】

假设16天都是乙做的，就会差1—16/18=1/9没有完成，

甲参加一天，就会多做1/12—1/18=1/36,

所以甲做了1/9+1/36=4天

13.【题目】甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用一台皮带

输送机和12个工人，需要5小时候才能把甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送

机和28个工人，需3小时才能把乙仓库搬空；丙仓库有两台皮带输送机，如果

要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名工人？〔皮带输送机的成效相同，

每个工人每小时的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往外搬运化肥。〕

【解答】与大家分享四种解法。

解法一：假设每个工人每小时做1份，甲仓库需要工人搬了12X5=60份，乙仓

库工人搬了28X3=84份，相差的84-00=24份,就是皮带运送机5-3=2小

时搬的。说明皮带运送机每小时送244-2=12份，息共有(12+12)X5=120

份，两台皮带运送机2小时运送2X12X2=48份，工人2小时运送120—48=72

份,那么工人每小时运送72+2=36份,即配备36个工人。

解法二：假设每个工人每小时做1份，甲仓库需要工人搬了12X5=60份，乙仓

库工人搬了28X3=84份，相差的84—60=24份，就是皮带运送机5—3=2小

时搬的。说明皮带运送机每小时送24+2=12份，因仓库如果2台皮带运送机需

要5小时，多出的5—2=3小时的运送量，需要配备12X3=36个工人。

解法三：比拟甲乙两个仓库，相差28—12=16个工人，工作效率相差1/3—1/5

=2/15,每个工人每小时做2/15+16=1/120。综合甲乙两个仓库2皮带运送机

和28+12=40个工人每小时运送1/3+1/5=8/15,比规定的多了8/15-1/2=

1/30,那么需要减少1/30+1/120=4个工人，即需要配备40—4=36个工人。

解法四：甲乙两个仓库工作效率的比是3：5,那么甲仓库每小时相当于(28—12)

-(5-3)乂3=24个工人做的。一个皮带运送机就相当于24-12=12个工人送

的。那么每个仓库2台运送机可以运送5小时，多出的3小时需要配备3x12=36

个工人。

14.【题目】加工一个零件，甲、乙、丙所需时间分别是6分钟、7分钟、8分钟。

现在有3650个零件要加工，如果规定3人用同样的时间完成任务，各应加工多

少个？

【解答】

工作效率的比是1/6：1/7：1/8=28：24：21,

完成任务时，甲做28/73,乙做24/73,丙做21/73。

甲加工了3650X28/73=1400个，

乙加工了36加X24/73=1200个，

丙加工了3650x21/73=1050个。

15.【题目】货场上有一堆沙，如果用3辆卡车来运4天就可以运完。如果用4

辆马车来运5天可以运完，如果用20辆小板车来运6天可以运完。现在用2辆

卡车、3辆马车、七辆小板车共同运了2天，余下的改用小板车云且要在2天内

运完，那么每天要用多少辆小板车？

【解答】与大家分享两种解法。

解法一：份数法

假设小板车每大运1份，共有20X6=120份。

每辆卡车每天运120+3+4=10份，每辆马车每天运1204-44-5=6份。

2天搬完，每天搬120・2=60份，需要小板车60—2X10—3X6=22份。

剩下的就需要22—7—15辆小板车。

解法二：工程法

2辆卡车2天运了2X2+(3X4)=1/3,

3辆马车2天运了3X2彳(4X5)=3/10,

7辆小板车2天运了2X7+(20X6)=7/60,

剩下1-1/3-3/10-7/60=1/4,每天运1/4-r2=1/8,

需要1/8x20x6=15辆小板车。

16.【题目】两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边，分别按

箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇，在离D点16厘米的F

点第二次相遇，在离A点16厘米的G点第三次相遇，长方形的边AB长多少厘米？

【解答】如图2,每次相遇两虫都是合行1周，那么每次相遇乙虫行的路程相同。

蓝色路线和紫色路线比拟，CF比AB短16厘米，那么BE比CE短16厘米，可以

知道BE=32—16=16厘米。

根据长方形对边相等，可以知道DG—CE=32厘米。

比拟蓝色路线和红色路线，可以知道AB=DG=32厘米。

解法二：第三次相遇，用AG替换DF,可以知道乙每次相遇行长方形的长。第一

次相遇和第二次相遇比拟，AB+BE=BE+EC,即AB=EC=32厘米。

17.【题目】在一个周长40c米的圆形跑道上，甲乙两车同时从一点A沿相反方

向出发，甲车每小时行18千米，乙车每小时行72千米，当两辆车第一次相遇时,

甲车速度提高，每秒比原来多走1米，乙车那么每秒少走1米，仍各自按原方向

行进，以后每次两车相遇，两车的速度都如此变化，直到两车第18次相遇.那么

在此过程中，两车有没有恰在A点相遇过？如果有，说明理由并求出是哪几次相

遇？

【解答】甲车和乙车速度分别是5米/秒和20米/秒。由于速度和不变，那么把

总路程看作20+5=25份，甲行的路程和是25的倍数时，就相遇在A点。

甲行的路程的份数是5+6+7+8+…。

经检验，当相遇次数是16时，甲车行了(5+20)X16+2=200份，是25的倍

数。

18.【题目】梯形ABCD底边BC上一点E,角AED=90°,角C=45°。各边长度

已经标在了图上。求梯形ABCD的面积。

【解答】如下列图，过点

A作AF垂直BC,过点D

BF21C

作DG垂直BC。长方形AFGD的面积是20X15—300,DG长300：25—12,CG长

12,EG长21—12=9,EF长是25—9=16,BF的长也是16。那么梯形面积是(25

+16X2+21]X12+2=468。

19.【题目】ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，ABCDEFG表示1〜9中

不同的数字，ABCD+EFG=2005,那么ABCDXEFG的最大值和最小值的差是多少？

【解答】和的数字和除以9余数是7,那么加数的数字和除以9的余数是7。7

个数字的数字和在28〜42之间，那么数字和是34。9个数字中去掉的两个数字

的数字和是45—34=11。有四种情况：2+9=3+8=4+7=5+6o

A不能是2,只能是1。如果D+G=5,那么C+F=10,B+E=9,数字和不是34。

只有D+G=15,C+F=9,E+E=9才符合条件。

由于两数和一定，乘积的有最大值，那么两数尽量接近。所以E最大是7,B就

是2,I)就只能是6,G只能是9,去掉的两个数字是3和8。那么C=4,F=5。

由此当乘积最大时两数是1246和759,乘积最小时两数是1759和246。

那么乘积之差是

1246X759-1759X246

=(1000+246)X759-(1000+759)X246

=1000X759+246X759—1000X246-759X246

=1000X759-1000X246

=1000X(759-246)

=1000X513

=513000

20.【题目】有六个不同的自然数的倒数之和为1,且六个自然数恰好能分成三组

数，每组中两数成2倍关系，那么这六个数中的最大数最小是多少？

【解答】设这六个自然数分别是a,2a,b,2b,c,2c,那么有1/a+l/(2a)

+l/b+l/(2b)+l/c+l/(2c)=1,整理得l/a+l/b+l/c=2/3。设aVbV

c,那么aV4,因为1/4+1/5+1/6V2/3。

当a=2时，有l/b+l/c=l/6,b和c最接近的是10和15。

当a=3时,有l/b+l/c=l/3,那么b和c分别是4和12最接近。

因此这六个数中最大数2c=24

附：把分数拆分成1/n两个分数1/a与1/b的和的形式的公式。〔a-n〕〔b-n〕

=nXno

21.【交流题目】算式中填入数字，使等式成立有多少种可能。

【题目】A和B是三位数，且l/A+l/306=l/B,使得等式成立有多少种可能。

【解答】原式变形I/B-l/A=l/306,有(306-B)(306+A)=306X306。

设x=306—B,y=306+A,因为A和B是三位数，那么有1VXV206,406<y<

1305o

因为306X306处90000,x>90000-?1305^70,那么缩小x的取值范围为70Vx

<206o

因为306X306=2X2X3X3X3X3X17X17,在x的取值范围内可以取值为：

①17义2义3；②17X3X3；③17X2X2X3；

④3X3X3X3；⑤3X3X3X3X2；⑥3X3X3X2X2

那么a的结果是204,153,102,225,144,198,

且b的结果是612,306,153,850,272,561。

即这题有6种情况可以使等式成立。

附：此题利用一个拆分公式，在1/a—1/b=1/n时，那么〔n-a〕〔n+b〕=n

Xn

22.【交流题目】根据条件填出九宫格中的每个数据。

【解答】根据条件2,只有5,4,3才满足条件，可以确定“人〃=5,“迎〃和

“你〃不能确定。

当“迎〃=3时，"你〃=4。那么“大〃和“附〃是1或6。

如果“大〃是1,那么“欢〃是3,不符合条件；

如果“大”是6,那么"欢”是8,这样就剩下2,7,9填中间，但“校”比”中〃

大4,没有符合条件的数。

这样可推出，“迎〃=4,“你〃=3。

这时，如果“大〃是6,“附〃是1,那么“欢〃是7,剩下2,8,9填第二行，

“校〃比“中〃大4,没有符合条件的数。

那么“大〃是1,“附〃是6,“欢〃是2,第二行中的“校〃比”中〃小1,剩

下的数有7,8,9,那么最终有两种结果。

“人大附中欢送你":516897243,516978243

23.

5.在下面两个算式:

[解答]将__这两个式子改变

ABBC=I)xDDE.CBRA=DxFFG

成如下形式：

巾，相同的字母代表相同的数字,不同的字母

1000A+代为不同的数/，那么B+D+F-----；110B+C=DX

(110XD+E)

1000C+110B+A=DX(110XF+G)

两式相减得999X(A-C)=I)X[110X(D-F)+(E-G)]

必有E—G=D—F,两边除以111变形成9义(A-C)=DX(D-F),由于F#0,

那么D—FW9,再因为D>A且D>C,可知D>A-C,那么D是3的倍数。

当D=9时，99DX9=899A,△只能是1,那么口是9,不符合要求。

当D=6时，66DX6=399A,可ZX993不是6的倍数，也不符合要求。

当1)=3时，33DX3=100A,△001+3是三位数，那么△<?,那么只有△=?

时才可以。

即334X3=1002,

667X36.将图中左右相邻的两数相加.则除以12.将所=2001才满足条件,

行的余数有在它们卜彳j相应的圆圈内。依次

所以B逐行进行1二面的操作.最后得到最底端的一个+D+F=0+3+6=

数，对于第一行中不同的口然数次最底端的数

90共仃种取侑.分别是：

24.

【解答】用含有未知数的

式子代替进行计算。

第二行分别是1+x,x+5,0,4>

第三行分别是2x+6,x+5,4,

第四行分别是3x+lLx+9

第五行只能是4x+8

当x=l时，余数是0；当x=2时，余数是4；当x=3时，余数是8；然后周期

出现，那么最底层的数一共有3种取值，分别是0,4,8

25.【题目】由红点与蓝点组成的16行与16列的正方形点阵中，相邻同色两点

用与点同色的线段连结，相邻异色两点均用黄色的线段连结.共有133个红点，

其中32个点在方阵的边界上，2个点在方阵的角上.假设共有196条黄色线段,

试问应有条蓝色线段.

【解答】把每个条线段都看作有方向的，角上每个点可以画出2条线段，边上每

个点可以画出3条线段，中间每个点可以画出4条线段。

133个红点有2个在角上，32个在边上，有133—2—32=99个在中间，共可画

出的有向线段长度是2X2+32X3+99X4=496条，其中有196条连着蓝点，那

么有496—196=300条有向线段连着红点，即有300+2=150条红色线段。

总共有15X16X2=480条线段，那么蓝色线段有480—150—196=134条。

26.将战小的io个部数填制图中所求表格的io个

空格中・要求满足以下条件：

【解1）填入的数能被它所在列的第一个数整除：答】最小的十个

2）最后一行中每个数郴比它上面那一格中的数

合数大，分别是4,6,8,

那么，最后一行中5个数的和最小可能是

9,10,12,14,15,16,

73456

18。要使最后一行的

和尽量小，那么上百

一行的数就尽量大。

有几个数是很容易确定的。10和15分别填在5下面的两格；12和18分别填在6

下面的两格；14和16分别填在2下面的两格；剩下的6和9填在3下面的两格;

4和8填在4下面的两格。

所以最下面一行的五个数的和是16+9+8+15+18=66。

27.【交流题目】8.阁中右大、小两个jE方形.9或4个三”1形.

,1今8有个数月j次埼入图中I划圈.回冲卜

共有多少种填而内四.口目则绐山〃公.否则说叫」中小：

法？।）如果？厚个」I.方，修的“q个顶，.1处灯川勺敬；g

仙性利同.陇吉使7号个:“J彩顶点处数字之和

【解答】根本却力I等？女口果熊.共有种填法：（翻转、

旋转的情况，I狰一种）

）如果没“第一条的有他性理求.徒古便於£

思想：计算四2

个杉1^.点：处数•产之和排和1号，如果健:？共

<!种填法；（翻转、艇转的E；兄只身

个三角形的和

和，>C―----（~---（~

时，小正方形的数加了两次。并且小正方形四个数的2倍加上大正方形四个顶点

上的数，必定是4的倍数。

第一问：如果四个顶点是奇数，每个三角形的三个数是两个偶数一个奇数，其和

是奇数。可四个顶点：1+3+5+7=16,小正方形：2+4+6+8=20,三角形：

(20X2+16)+4=14。矛盾了。

如果四个顶点的数都是偶数，那么三角形的三个数是一个偶数两个奇数，其和是

偶数。可三角形三数之和是(20+16X2)4-4=13,因此矛盾了。

第二问：

⑴大正方形的四个顶点必须是两个奇数两个偶数，并且是4的倍数。

无论是一个奇数三个偶数还是三个奇数一个偶数，和都是奇数，小正方形的和2

倍是偶数，四个三角形的总和是奇数不是4的倍数。

大、小正方形都是两个奇数两个偶数，其和都是偶数，小正方形的2倍是4的倍

数，大正方形的四个数的和是4的倍数才能满足三角形的总和是4的倍数。

⑵大正方形相对的两数和相等。

因为每个三角形的数字和相等，去掉对着的两个三角形，剩下的两数和是顶点上

的，和就应该是相等的。

⑶大正方形四个顶点的数的和是12、16、20、24o

四个数最小是1+2+3+4=10,最大是5+6+7+8=26,在这范围内，4的倍数

有12、16、20、24o

⑷分类进行探讨：

①当四个数的和为12时，顶点的两数和为6,6=1+5=24-4,有一种情况满足

条件。

②当四个数的和为16时，顶点的两数和为8,8=1+7=2+6=3+5,那么有1、

7、2、6和2、6、3、5两种情况。

③当四个数的和为20时，顶点的两数和为10,10=2+8=3+7=4+6,那么有

3、7、2、8和3、7、4、6两种情况。

④当四个数的和为24时，顶点的两数和为12,12=8+4=7+5,有一种情况满

足条件。

因此一共有6种填法。

28.【交流题目】求满足下面各小题条件的整数a

【解答】第一题：a在最高位不能是0,a

在个位必「求满足卜而各他条件的整数比须是偶数，a4a的百位是偶数,

偶数个100I)8；疝&3〃4G2)9|疝加小4〃是8的倍数，那么看4a是8的

倍数，那么只有a=8时满足条件。

3)\i\a\a2a3ci4a

第二题：根据9的倍数的特征，各位数字

和是9的倍数，那么有5a+10是9的倍数，也说明a+2是9的倍数，那么a=7

满足条件。

第三题：根据11的倍数的特征，奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数,

那么有5a—10是11的倍数，也说明a—2是11的倍数，由于aVIO,那么a=2

满足条件。

29-2,5^^725x730x735x742x700*计购果褓

【解任有5个字，且十万:融也那么」答】要使末尾恰有5个零,

那么一个三位黑；质因数5和2的个数都不

能少于5个。

725里面包含2个质因数5,730里面包含1个质因数5,735里面包含1个质因

数5,那么最后一个三位数至少包含1个质因数5。

730里面包含1个质因数2,742里面包含1个质因数2,那么最后一个三位数至

少包含3个质因数2。

因为十万位数字是奇数，说明质因数2的个数只能是5个，那么最后一个三位数

包含3个质因数2,如果质因数5的个数是2个，那么这个三位数是8X25=20。

的倍数，显然不符合要求，那么质因数5的个数是1个，那么这个三位数是8X5

=40的奇数倍，那么最后一个三位数是760。

29.【题目】如果六位数2005□□能被105整除，那么它的最后两位数是；

如果将“2005〃改成其它四位数，可能会使得问题无解，这个是此题无解的四位

数最小是0

【解答】

第一问：假设这个数是200E99,它除以105后余数是49,所以口里面填99—49

=50o

第二问:因为100099・105的余数是34,那么最小的105的倍数是100065。这

时，每增加一个105,那么百位增加1,当末两位要向百位进位时，百位就增加2,

此时在百位只增加1,就满足条件了。当10065+105X7时,末两位刚好进位。

所以四位数最小是1000+7=1007。

30.--------

4.六位数工199W.能被52整除，那么x=_,

【解答】.

V—___;

因为52=13X4,那么六位数是4的倍数，末两位也是4的倍数，那么y是2或

6o

这个六位数也是13的倍数，根据7、11、13的倍数的特征，可以知道91()+丫一

100x-19=891+y-100x=13X(68~8x)+7+y+4x是13的倍数。

那么7+y+4x是13的倍数，当y=2时，x=l满足条件。

3L5.•悻做I俘互不相同的5位批㈱3、51

II»那么这个五位嬲快—，联

【分n析】根据5的倍数的特征确

龙;

定个位数字，根据7、11、13的数

的特和3的倍数的特征，结合最小与最大综合考虑。【解答】根据5的倍数的特

征，个位是0或者5o

第一问：要求最小值，我们不妨假设这个五位数是10AB5,A+B是3的倍数，AB5

一10是11和7的倍数，由于差的个位是5,那么77X5=385,AB5是395,3+9

=12是3的倍数，符合条件。那么这个数是10395。

第二问：要求最大值，我们不妨假设这个五位数是98CD5,C+D除以3余2,CD5

—98是11和7的倍数，由于差的个位是7,那么77X11=847,CD5是945,数

字9重复；或者77X1=77,CD5是175。1+7=8除以3余2,符合条件，五位

数是981750

如果假设这个五位数是98CD0,C+D除以3余1,CD0—98是11和77的倍数，

由于差的个位是2,那么77X6=462,CD0是560,可5+6=11除以3余2,不

满足条件。

因此最大的五位数98175。

32.

…6,在.六位双“12口匚112”中的方枢内各埴入•个

【解七.从八』e3.答】19X23—437，

数字，使此效能被19和23整除，那么方框中

则硒个加;依次之_、120000+437>274,商的个

位数字是口2+7=6,(12口口12

-437X6)+10的最后一位是9,那么商的十位是口9+7=7,所以六位数是

276X437=120612,那么两个数字依次是0和6。

7.1至9排成一成.请你在某两个数字之间剪开.

分别按顺时针和逆时针次

【分析】两个九位数是

序形成两个九位数。如果

9的倍要求这两个九位数之差能数，差也是9的倍

被396整除，那么应该在

数，考虑这两个九位数的

和之间剪开；

差是396+9一仰的倍数。两个九位数的奇数位数字和与偶数位数字和相差是一

样的，说明差就是11的倍数，那么只用根据4的倍数的特征分析差的最后两位

数字就行了。

【解答】要使两个九位数的差是4的倍数，其个位是偶数，那么剪开之处就应该

是奇偶相同,即有可能在4、6；5、7；7、3之间。

根据这三种情况进行计算：当在4、6之间时，差的最后两位是94-16=78,不

是4的倍数，那么差就不是4的倍数；

当在7、3之间时，差的最后两位是83—57=26,不是4的倍数，那么差就不是

4的倍数；

当在5、7之间时，差的最后两位是125—37=88,是4的倍数，所以该从5和7

之间剪开。

34.

8.仓阵里仃两只装仃杯子的箱子,各贴仃“总价

【分132.□△兀”、“七价123.0◊元”（口、△、°、析】132口△不可能

◊四个数，己所认不清•似是它们互不相同）。

是77已知其中TS装了77只/型杯子•另箱装了个杯子的。因为132

75只8型杯子.每只杯子的价格都是整数分。

是11那么,4、"型样「的单价分别是、元：的倍数，口△就同样

是11的倍数，两位数中11的倍数的两位数字是相同的，这样与题目条件矛盾。

因此132.口△是B型杯子的总价，123.O◊是A型杯子的总价。【解答】通过分

析可以知道,132.994-75=1.770.24,因为132.99—0.24=132.75,末尾两

位不同，那么B型杯子的单价是1.77元。

兀。

9.籽fl然数I、2、3、…依次写卜去连成•个多

位数“12345678910II12-w.当写到某个数N

时,所形成的多位数恰好第次能破45整除.

那么心；

35.

【分析】45=5X9,根据5的倍数的特征知个位是0或者5,再根据9的倍数的

特征可知数字和是9的倍数，并且每个数除以9的余数与这个数的数字和除以9

的余数相同。【解答】当个位数字是0时，N的最小值是9X9—1=80,当个位

数字是5时，N的最小值是4X9—1=35。

36.【题目】用数字1至9组成一个九位数，使得它从左数前ni位形成的数恰能

被m整除（m=1、2、…、9）,这个九位数是。

【解答】根据条件偶数位上是偶数，奇数位上是奇数，万位上是5,假设这个九

位数是abcd5efgh。根据4和8的倍数，d的值有2或6两种可能，g的值也是2

或6两种口」能。根据3和6的倍数，oj以知道d5e也是3的倍数，那么d5e可能

是258也可能是654。

分两种情况进行讨论：

⑴当中间三位是258时，可知g=6,b=4,原数变成a4c258f6h。根据8的倍数

可知，f为1或9。

①当f=l时，根据3的倍数，a和c没有可取的数。

②当f=9时，根据3的倍数，a和c只能取1或7。前七位利用倒除法那么需判

断a4cl是否是7的倍数，在1471和7411中没有7的倍数。

⑵当中间三位是654时，可知g=2,b=8,原数变成a8c654f2h。根据8的倍数

可知，f为3或7。

①当f=3时，根据3的倍数，a和c可能是1和9,也可能是7和9。前七位用

倒除法那么需判断a8c2是否是7的倍数，在1892,9812,7892,9872中没有7

的倍数，那么f不是3。

②当f=7时，根据3的倍数，a和c可能是1和3,也可能是1和9。前七位利

用倒除法，那么需判断a8c5是否是7的倍数，在1835,3815,1895,9815中只

有3815是7的倍数。

综上所述，这个九位数是381654729。

37.【题目】小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从

学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早1()分钟到达城门，当面包车

到达城门时,，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

【解答】小轿车1/6小时行了9千米，小轿车每小时行9:1/6=54千米，面包车

每小时行54—6=48千米，面包车到达城门时行了9:6=1.5小时，所以从学校到

城门的距离是48x1.5=72千米。

38.【题目】五个长方形，它们的长宽都是整数，并且5个长、5个宽恰好是1-10

这10个整数，现用这5个长方形拼成一个大正方形，大

正方形的面积的最小值为多少？

【解答】因为1X10+2X9+3X8+4X7+5X6=

110,那么最小值可能是11X11=121,因为11X11的

拼法可以如下，因此最小值是121

39.【题目1］现有四个自然数，它们的和是1111,如果要求这四个数的最大公

约数尽可能大，那么这四个数的最大公约数最大可能是多少。〔101〕

【解答】1111=11X101所以最大是101

【题目2】A、B两城相距6c千米，甲、乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲

比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距离B城12千米处与甲相遇，那

么甲的速度是多少。〔8千米/时〕

【解答】相遇的时间是12X2+4=6小时，速度是(60—12)+6=8千米/时

【题目3】10年前母亲的年龄是女儿的7倍，10年后母亲的年龄是女儿的2倍。

现在母亲的年龄是多少岁？〔38岁〕

【解答】画图解答一下。

【题目4］在一个正六边形的纸片内有60个点，以这60个点和六边形的6个顶

点为顶点的三角形，最多能剪出多少个？〔124个〕

【解答】每增加一个点就增加两个三角形，加上原来六边形的4个三角形，所以

是60X2+4=124

【题目5］林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，她前一半时间每秒跑5米，后

一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？〔55秒〕

【解答】全程的时间是450+(5+4)X2=100秒，前一半的时间450・2+5=

45秒，后一半就是100—45=55秒。

【题目6】抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机

要30分钟。现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正

好抽干。如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水抽干？〔45分钟〕

【解答】14-(1/18-1/30)=45分钟

40.【题目】•个K方形长1%山、宽18c川，如果把这个K方形分割成假设干个边

长为整数的小正方形，那么这些小正方形最少有多少

个？如何分割？118

【答案】最少有7个小正方形，如下列图：

5

41.【题目】甲乙两车同时从AB两地出发往_IrM---J----返于两地

之间，经48分钟相遇，相遇后又经12分钟J一~~■—5^甲被从A

地返回的乙追上，甲到达B地时被乙追上几次？

【解答】画个图就更清楚。

乙行12分钟的路程甲需要行48X2+12=108分钥，

乙的速度就是甲的108+12=9倍，

甲行1个单程，乙行9个单程，乙每次返回追上甲一次，共追上4次。

42.【题目】一支解放军队伍全长900米，排尾的通讯员骑摩托车从排尾赶到排头

将电报交给排头的首长，然后以原速的1/8回到排尾将命令传达给指挥官，这时

队伍共前进了900米，队伍匀速前进，当通讯员赶到排头时，解放军队伍已经行

走了多少米？这段时间通讯员共走了多少米？

【解答】设通讯员的速度是队伍速度的X倍。

9004-(x-1)+9004-(x/8+l)=900,解得x=4,

通讯员赶到排头时队伍已行了900—(4—1)=300米。

通讯员共走了600X44-8+300X4=1500米。

43.【题目】一只船从甲港到乙港往返一次共用6小时，去时顺水比回来时每小时

多行10千米，因此前3小时比后3小时多行25千米，这只船静水速度是多少千

米/时，水流速度呢？

【解答】

水流速度是10+2=5千米/时，

顺水时间是25+10=2.5小时，逆水时间是6-2.5=3.5小时,

逆水每小时行2.5X10-(3.5—2.5)=25千米,

静水每小时行25+5=30千米。

44.【题目】甲乙二人分别从A,B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。

如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲乙还从A,B两地同时出发相向而行,

那么相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲乙

还从A,B两地同时出发相向而行，那么相遇点E距C点5千米，问甲原来的速度

是多少？

【解答】

根据第一种假设，甲如果行到c点，甲需要再行10千米，乙需要再行4X5—10

=10千米，在同样的时间内，甲乙行的路程相等，说明甲乙此时的速度相等，也

就说明原来甲每小时比乙多行4千米。

根据第二种假设，乙行到C还要走5千米，甲就还要行3X5—5=10千米，相同

的时间，甲行的路程是乙的10・5=2倍，说明此时用的速度是乙的2倍，也就

是甲每小时多行3千米，就是乙的2倍。

可以得出乙每小时行是3+4=7千米，甲每小时行7+4=11千米。

45.【题目】客车和货车同时从A地出发反向行驶，5小时后客车到达甲地，货车

离乙地还有90千米，A地到甲地的距离与甲乙两地间的距离比是1:3,货车与客

车的速度比是5:3,甲乙两地间的距离是多少千米？

【解答】

客车行1份到甲地，货车就行5/3份距离乙地90千米，

这90千米就是3-1-5/3=1/3份，每份是904-1/3=270千米，

甲乙两地间的距离是270X3=810千米。

46.【题目】某校在400米环行跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运发动同时起

跑后乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度并保

持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再

次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么乙跑完全程所用的时间是多少分

钟？

【解答】

后来甲23-18=5分钟就超过乙一圈，又行50秒就多行50/604-5=1/6圈。

10000米是25圈，乙用23又5/6分钟行了25—1-1/6=23又5/6圈，乙每分钟

行1圈。

乙行完全程需要25分钟。

47.【题目】一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船

分别从甲乙两个码头同时出发向上游行使。两船的静水速度相同且始终保持不

变。客船出发时有一物品从船上掉入水中，10分钟后此物品距离客船5千米。客

船在行使20千米后折回向下游追赶此物，追上时恰好与货船相遇。求水流的速

度。

【解答】

船静水每小时行54-10/60=30千米，

客船从返回到与货船相遇的时间是50+(30X2)=5/6小时,

由于这个时候客船也追上了物品，客船逆水行20千米用了5/6小时，

逆水每小时行204-5/6=24千米，水流每小时30-24=6千米。

48.【题目】在同一路线上有ABCD四个人，每人的速度固定不变。A在12时追上

C,14时时与D迎面相遇，16时时与B迎面相遇。而B在17时时与C迎面相遇,

18时追上D,那么D在几时迎面遇到C。

【分析】把12时AB的距离看作单位1,四人速度分别用ABCD来表示。

A和B4小时相遇,速度和是1/4,B和C5小时相遇,速度和是1/5。

A2小时和D相遇，B6小时追上D,当2小时后，A和I)相遇时，B还需要6—2=

4小时追上D,还需要4-2=2小时和A相遇，说明A和B的速度和是B和D的

速度差的4+2=2倍，那么B和D的速度差是1/4+2=1/8。

12时A和C在同一个地方，A和I)的距离就是C和I)的距离。由于B和I)的速度

差是1/8,说明D的速度比B的速度少1/8,那么A和D的速度和就比A和B的

速度和少1/8,由于A和B的速度和是1/4,所以A和D的速度和是1/4-1/8=

1/8,由于A和I)是2小时相遇的，所以12点的时候，A和I)的距离是1/8X2=

1/4,即C和D的距离是1/4。

由于B和D的速度差是1/8,说明D的速度比B的速度少1/8,那么C和D的速

度和比B和C的速度和少1/8,由于B和C的速度和是1/5,所以C和D的速度

和是1/5-1/8=3/40。

有了C和D相距的路程和速度和以后，就可以计算出相遇时间是1/4+3/40=10/3

小时，即在15时20分的时候C和1)相遇。

【解答】把12时AB的距离看作单位1,四人速度分别用ABCD来表示。A+B

=1/4,B+C=l/5。2(A+D)+6(B-D)=4(A+B),得出B—D=l/2(A

+B)=1/2X1/4=178,12时C和D相距2X(1/4-1/8)=1/4,C+D=l/5-

1/8=3/40,需要的时间是1/4+3/40=10/3小时,即在15时20分的时候C和D

相遇。

49.【题目】船顺流航行速度是每小时8千米，逆流而上的速度是每时7