2025届湖南省娄底市涟源市部分学校高三上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省娄底市涟源市部分学校2025届高三上学期12月月考数学试题时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，，，则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因为，，，所以，解得，故选：A2.已知为虚数单位，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】依题意，，而，则，所以.故选：C3.已知集合且，，则的子集的个数为（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由题意可知，，则，所以的子集的个数为.故选：B4.若命题，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命题，为存在量词命题，则该命题的否定为，，故选：D．5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，定义域为，又，所以是奇函数，从而ACD错误，B正确.故选：B.6.函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象，由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点.设最小正周期为，则，所以，故.又，，且，可得，所以，.故选：A.7.已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】由题意得数列的前项依次为：，个，，个，，个，，个，，，当时，，当时，，所以使成立的的最小值为.故选：B.8.已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，且，，所以，因为，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以即.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（）A.这14天日促销量的众数是214B.这14天日促销量的中位数是196C.这14天日促销量的极差为195D.这14天日促销量的第80百分位数是243【答案】AC【解析】根据题意得蓝莓每日促销量从小到大排列得到数据为：，对于A，则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确；对于B，这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个数据的平均值，即，故B错误；对于C，这14天蓝莓每日促销量的极差是，故C正确；对于D，因为，所以这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数为第12个数据，即260，故D错误.故选：AC.10.已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.的最小值为3C.的最小值为D.圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则【答案】AC【解析】对于A，直线，即，由解得，所以定点坐标为，A正确，对于B，圆的圆心为，半径为，点与圆心的距离为，所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值，故B错误，对于C，设，则，当，即直线方程为时，取得最小值为，所以C正确，对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则圆心到直线的距离为，所以，整理得，所以D错误.故选：AC11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）A.若平面CEF，则点P的轨迹长度为B.若，则点P的轨迹长度为C.若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为D.若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为【答案】ACD【解析】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，所以，又E，F分别是棱的中点，所以，所以，平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，因为N，E分别是棱的中点，所以，且，所以四边形CDNE为平行四边形，所以，又平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，所以平面平面CEF，点P是正方形内的动点，且平面CEF，所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，由题意得A0,0,0，设，，所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，所以点P的轨迹长度为，故B错误：如图，将平面CEF翻折到与平面共面，连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，∵，且，所以点Q为EF的中点，所以，所以，即的最小值为，故C正确：如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，若P是棱的中点，则，所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，连接OP，设，则，连接OC，，所以，所以，解得，所以，点到平面的距离为，则球心到平面的距离为，则截面圆的半径为，所以截面的面积为，故D正确；故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最大值为_______．【答案】【解析】因为，所以，故.又因为，故，从而，这就得到.而当，时，有，且.所以的最大值为.故答案为：.13.在的展开式中，的系数为_________________．【答案】224【解析】因为通项公式为，当即时，，所以系数为224，故答案为：224.14.已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______．【答案】【解析】由题意可得：，，，，若，则，从各随机从中选一个，共有种情况；若，可分为三类：都取0，一种情况；中两个取0，一个取1，一个取，共有，中两个取1，两个取，共有，共计19种情况，所以的概率为：．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知内角，，所对的边分别是，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面积．解：（1）在中，，又，所以，由余弦定理得，又，则.（2）在中，，，由余弦定理，得，即，解得或．当，，时，可构成三角形，此时的面积为；当，，时，可构成三角形，此时面积为．16.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为为等边三角形，为的中点，所以．过作，垂足为，因为底面为直角梯形，，，，，所以，则，由得，所以因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又，平面，所以平面．（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，则，由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．17.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程：（2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率.解：（1）由椭圆的离心率为，得，解得，由椭圆过点，得，联立解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则，由消去得，显然，则，的面积，解得，所以直线的斜率.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，（ⅰ）求的极值；（ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围．解：（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即；（2）（ⅰ）因为的定义域为，且，令，解得；当时，；当时，；所以在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值；（ⅱ）解法一：由题意可得：，因为，所以，构建，，因为，所以在内单调递增，因为，不等式等价于，解得，所以的取值范围为.解法二：由题意可得：，即，构建，，因为，在内均单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以的取值范围为.19.已知数列满足，且对任意正整数都有.（1）写出，并求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；（3）设是数列的前项和，求证：.（1）解：因为对任意正整数都有，故，，令，可得，所以.当时，，当时，，符合上式，所以；（2）解：由（1）得，当为偶数时，当为奇数时，为偶数，.综上所述，；若为偶数，则为奇数，由，得，解得（舍去）或；若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解，不合题意，舍去.综上，所求的值为2.（3）证明：由现在我们来证明时，，令，求导得，所以在0,+∞上单调递增，所以，结合当时，，有，所以故湖南省娄底市涟源市部分学校2025届高三上学期12月月考数学试题时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，，，则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因为，，，所以，解得，故选：A2.已知为虚数单位，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】依题意，，而，则，所以.故选：C3.已知集合且，，则的子集的个数为（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由题意可知，，则，所以的子集的个数为.故选：B4.若命题，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命题，为存在量词命题，则该命题的否定为，，故选：D．5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，定义域为，又，所以是奇函数，从而ACD错误，B正确.故选：B.6.函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象，由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点.设最小正周期为，则，所以，故.又，，且，可得，所以，.故选：A.7.已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】由题意得数列的前项依次为：，个，，个，，个，，个，，，当时，，当时，，所以使成立的的最小值为.故选：B.8.已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，且，，所以，因为，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以即.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（）A.这14天日促销量的众数是214B.这14天日促销量的中位数是196C.这14天日促销量的极差为195D.这14天日促销量的第80百分位数是243【答案】AC【解析】根据题意得蓝莓每日促销量从小到大排列得到数据为：，对于A，则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确；对于B，这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个数据的平均值，即，故B错误；对于C，这14天蓝莓每日促销量的极差是，故C正确；对于D，因为，所以这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数为第12个数据，即260，故D错误.故选：AC.10.已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.的最小值为3C.的最小值为D.圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则【答案】AC【解析】对于A，直线，即，由解得，所以定点坐标为，A正确，对于B，圆的圆心为，半径为，点与圆心的距离为，所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值，故B错误，对于C，设，则，当，即直线方程为时，取得最小值为，所以C正确，对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则圆心到直线的距离为，所以，整理得，所以D错误.故选：AC11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）A.若平面CEF，则点P的轨迹长度为B.若，则点P的轨迹长度为C.若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为D.若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为【答案】ACD【解析】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，所以，又E，F分别是棱的中点，所以，所以，平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，因为N，E分别是棱的中点，所以，且，所以四边形CDNE为平行四边形，所以，又平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，所以平面平面CEF，点P是正方形内的动点，且平面CEF，所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，由题意得A0,0,0，设，，所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，所以点P的轨迹长度为，故B错误：如图，将平面CEF翻折到与平面共面，连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，∵，且，所以点Q为EF的中点，所以，所以，即的最小值为，故C正确：如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，若P是棱的中点，则，所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，连接OP，设，则，连接OC，，所以，所以，解得，所以，点到平面的距离为，则球心到平面的距离为，则截面圆的半径为，所以截面的面积为，故D正确；故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最大值为_______．【答案】【解析】因为，所以，故.又因为，故，从而，这就得到.而当，时，有，且.所以的最大值为.故答案为：.13.在的展开式中，的系数为_________________．【答案】224【解析】因为通项公式为，当即时，，所以系数为224，故答案为：224.14.已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______．【答案】【解析】由题意可得：，，，，若，则，从各随机从中选一个，共有种情况；若，可分为三类：都取0，一种情况；中两个取0，一个取1，一个取，共有，中两个取1，两个取，共有，共计19种情况，所以的概率为：．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知内角，，所对的边分别是，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面积．解：（1）在中，，又，所以，由余弦定理得，又，则.（2）在中，，，由余弦定理，得，即，解得或．当，，时，可构成三角形，此时的面积为；当，，时，可构成三角形，此时面积为．16.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为为等边三角形，为的中点，所以．过作，垂足为，因为底面为直角梯形，，，，，所以，则，由得，所以因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又，平面，所以平面．（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为m=x,y,z