2023-2024学年陕西省渭南市大荔县高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省渭南市大荔县2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，，则，.故选：A.2.已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得.故选：C.3.下列有关样本线性相关系数r的说法不正确的是（）A.相关系数可用来衡量与之间的线性相关程度 B.，且越接近0，相关程度越小C.，且越接近1，相关程度越大 D.，且越接近1，相关程度越大【答案】D【解析】相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以不正确的只有D.故选：D.4.给出下列命题：①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量，若，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.5.根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨，则，，，所以在吹东风的条件下下雨的概率为．故选：D．6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”,“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，“鳖臑”是由正方体的四个顶点构成的，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，则，，，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为．故选：B．8.若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，双曲线的一条渐近线是，则它与椭圆在第一象限的交点记为A，椭圆的左右焦点记为F1、F2，则根据正六边形的性质知是直角三角形，且设，所以.由椭圆的定义，得出，所以椭圆的离心率．故选:B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆和圆相交于A，两点，则下列说法正确的是（）A.B.直线方程为C.线段的长为D.到直线的距离与到直线的距离之比为【答案】ABC【解析】对于A项，因为两个圆相交，所以圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B项，因为圆和圆相交于A，两点，所以两圆方程相减得到，即，故B正确；对于C项，圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以，故C正确；对于D项，因为圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故D错误．故选：ABC．10.下列结论正确的是（）A.若随机变量，则B.已知随机变量X，Y满足,若，则，C.有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望D.离散型随机变量服从两点分布，且，则【答案】ABD【解析】对于A：因为，则正态曲线关于对称，所以，故A正确；对于B：因为，所以，，又，所以，所以，，即B正确；对于C：依题意的可能取值为、、、，则，，，，所以，故C错误；对于D：因为且，解得，故D正确；故选：ABD11.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是（）A.该几何体是四棱台B.该几何体是棱柱，平面是底面C.D.平面与平面的夹角为【答案】ABC【解析】因为四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B错误；由题意可知，，两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，所以，不垂直，故C错误；根据题意可知平面，所以为平面的一个法向量，，设为平面的法向量，则有则可取，则，所以平面与平面的夹角为，故D正确．故选：ABC12.已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】当时，直线与另一条渐近线平行，所以．当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，所以，则，，所以，则，．当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，则，所以，则，，所以，则，．综上，的离心率为或．故选:AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______.【答案】（答案不唯一）【解析】不妨令直线的一个方向向量为，则，所以可以取，则，此时直线的一个方向向量为（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）14.展开式中项的系数为______.【答案】240【解析】由二项式的展开式的通项为，当时，可得，所以展开式中的系数为.故答案为：.15.已知向量，，，，则与的夹角为______．【答案】【解析】因为，所以，则，即，又，，，所以，解得，所以，又，故.故答案为：.16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为,双曲线的两条渐近线与直线,以及双曲线的右支围成的图形(如图中阴影部分所示)绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，由，得，由，得，所以截面面积为，由题知，阴影部分绕y轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴，即，所以，即，∴，解得，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）已知直线经过点，在两坐标轴上的截距都不等于零，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程；（2）求以为圆心，且与圆相外切的圆的方程．解：（1）依题意，设直线的方程为，由该直线过点可得，解得，所以该直线的方程为，即．（2）设所求圆的方程为，因为两个圆的圆心距，又两个圆外切时满足，故，所以所求圆的方程为.18.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有部电话占线．试求随机变量的概率分布和它的期望．解：设该时刻有部电话占线，则可取，，，，，又，所以随机变量的概率分布列为：012340.090.30.370.20.04所以期望.19.已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积．解：（1）由题设知，所以，于是椭圆的方程为；（2）依题意，直线的方程为，设，联立，解得或，所以的面积.20.2023年12月大荔县某高中数学社团在宝塔文殊广场对人们的休闲方式进行了一次调查．共调查了124人，其中男性54人，女性70人．男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动；女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依题意建立列联表为性别看电视运动总计女432770男213354总计6460（2）计算．因为，所以有的把握判断休闲方式与性别有关．21.如图，在长方体，中，，点E在棱上移动．（1）证明：；（2）当E为的中点时，求点E到面的距离；解：（1）在长方体中，有平面，又平面，，又，四边形为正方形，又平面平面，平面（2）设点到面的距离为，在中，，，故，而．又，，．∴点E到面的距离为.（3）过作于，连、，由平面ABCD，且，可得，则，为二面角的平面角．设，则，在△中，，，在中，，在中，，在中，在中．．时，二面角的大小为．22.已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.（1）求动点的轨迹方程；（2）设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.解：（1）设，则直线斜率是，直线的斜率是，所以，化简整理得：，所以动点的轨迹方程是.（2）设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，显然，直线的方程为，即，直线的方程为，即，又双曲线渐近线方程为，显然直线与双曲线两支各交于一点，直线与双曲线右支交于两点，则有，且，于是，由消去化简整理得：，设点，则，解得，有，由消去化简整理得：，设点，则，解得，有，，，于是，设直线上任意一点，则，显然，因此，即，整理得，显然直线恒过定点，所以直线经过定点.陕西省渭南市大荔县2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，，则，.故选：A.2.已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得.故选：C.3.下列有关样本线性相关系数r的说法不正确的是（）A.相关系数可用来衡量与之间的线性相关程度 B.，且越接近0，相关程度越小C.，且越接近1，相关程度越大 D.，且越接近1，相关程度越大【答案】D【解析】相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以不正确的只有D.故选：D.4.给出下列命题：①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量，若，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.5.根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨，则，，，所以在吹东风的条件下下雨的概率为．故选：D．6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”,“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，“鳖臑”是由正方体的四个顶点构成的，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，则，，，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为．故选：B．8.若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，双曲线的一条渐近线是，则它与椭圆在第一象限的交点记为A，椭圆的左右焦点记为F1、F2，则根据正六边形的性质知是直角三角形，且设，所以.由椭圆的定义，得出，所以椭圆的离心率．故选:B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆和圆相交于A，两点，则下列说法正确的是（）A.B.直线方程为C.线段的长为D.到直线的距离与到直线的距离之比为【答案】ABC【解析】对于A项，因为两个圆相交，所以圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B项，因为圆和圆相交于A，两点，所以两圆方程相减得到，即，故B正确；对于C项，圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以，故C正确；对于D项，因为圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故D错误．故选：ABC．10.下列结论正确的是（）A.若随机变量，则B.已知随机变量X，Y满足,若，则，C.有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望D.离散型随机变量服从两点分布，且，则【答案】ABD【解析】对于A：因为，则正态曲线关于对称，所以，故A正确；对于B：因为，所以，，又，所以，所以，，即B正确；对于C：依题意的可能取值为、、、，则，，，，所以，故C错误；对于D：因为且，解得，故D正确；故选：ABD11.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是（）A.该几何体是四棱台B.该几何体是棱柱，平面是底面C.D.平面与平面的夹角为【答案】ABC【解析】因为四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B错误；由题意可知，，两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，所以，不垂直，故C错误；根据题意可知平面，所以为平面的一个法向量，，设为平面的法向量，则有则可取，则，所以平面与平面的夹角为，故D正确．故选：ABC12.已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】当时，直线与另一条渐近线平行，所以．当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，所以，则，，所以，则，．当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，则，所以，则，，所以，则，．综上，的离心率为或．故选:AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______.【答案】（答案不唯一）【解析】不妨令直线的一个方向向量为，则，所以可以取，则，此时直线的一个方向向量为（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）14.展开式中项的系数为______.【答案】240【解析】由二项式的展开式的通项为，当时，可得，所以展开式中的系数为.故答案为：.15.已知向量，，，，则与的夹角为______．【答案】【解析】因为，所以，则，即，又，，，所以，解得，所以，又，故.故答案为：.16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为,双曲线的两条渐近线与直线,以及双曲线的右支围成的图形(如图中阴影部分所示)绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，由，得，由，得，所以截面面积为，由题知，阴影部分绕y轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴，即，所以，即，∴，解得，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）已知直线经过点，在两坐标轴上的截距都不等于零，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程；（2）求以为圆心，且与圆相外切的圆的方程．解：（1）依题意，设直线的方程为，由该直线过点可得，解得，所以该直线的方程为，即．（2）设所求圆的方程为，因为两个圆的圆心距，又两个圆外切时满足，故，所以所求圆的方程为.18.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有部电话占线．试求随机变量的概率分布和它的期望．解：设该时刻有部电话占线，则可取，，，，，又，所以随机变量的概率分布列为：012340.090.30.370.20.04所以期望.19.已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2．（1）求