2025届东三省高三上学期12月调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1东三省2025届高三上学期12月调研测试数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．故选：C.2.若，则（）A. B.10 C.26 D.【答案】A【解析】由，得，则．故选：A3.设是两个不共线向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，由题意可设，对于A，由数量积的定义可得，故A错误；对于B，根据向量数量积的定义得，故B正确；对于C，设，则，由于可以为任意正数，故C错误；对于D，由数量积的定义可得，故D错误；故选：B.4.已知是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A、C，因为，所以，故A，C错误；对于B、D，由题意知，因为函数是增函数，所以，即，结合基本不等式，，因为是增函数，所以，故D正确，B错误；故选：D.5.已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为2，则该正三棱台的体积为（）A.52 B. C. D.【答案】C【解析】将正三棱台补成正三棱锥，则与平面所成角即为与平面所成角，设点在平面上的射影为，在平面上的射影为，则为的中心，为的中心，即为棱与底面所成的角，所以，由于，故，所以棱台的高，又上、下底面的面积分别为和，所以棱台的体积．故选：C.6.已知圆与圆有且仅有三条公切线，则取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切，，即，设，则，，即，，解得：，的取值范围为.故选：D.7设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以；因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；构造函数，则，令，则，显然在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，从而，故有，整理得，所以，故．故选：B8.已知函数没有极值点，则的最小值为（）A. B. C. D.e【答案】A【解析】因为，依题意在上没有变号零点，令，其中，若，则，则函数在上为减函数，当时，；当时，，所以，存在，使得，且当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，不合乎题意，所以，，从而，因为当时，，所以需满足在上恒成立，故需要有在上恒成立（等号不恒成立），设，令，得，所以函数的斜率为的切线方程为，即，所以只需要，所以只需要即可，令，则，故，当时，，当时，，所以，函数的单调递增区间为，递减区间为，所以当时取得唯一的极大值，即最大值，所以，所以．所以，的最小值为.故选：A.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.定义，其中表示不超过的最大整数，例如：，则下列说法正确的是（）A.是成立的充分不必要条件B.是周期函数C.D.是奇函数【答案】BC【解析】对于A，取，则，但，不满足，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，若，则，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以不是奇函数，故D错误．故选：BC.10.已知函数在时取得极大值，则（）A.函数在区间上单调递增B.函数的图象关于点中心对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上至少存在两个极值点【答案】BD【解析】因为函数在时取得极大值，所以，得，故，则，所以的图象关于点中心对称，B正确；令，则，显然当时取得极大值，所以函数在区间上不一定单调递增，A错误；当时，，所以函数的图象不一定关于直线对称，C错误；令，，得，则在区间上必有两个极值点和，故D正确．故选：BD11.已知点是圆上的动点，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.和两点之间距离的最小值小于B.当最大时，的面积是C.直线过定点D.的最小值是【答案】AD【解析】对于A，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以和两点之间距离的最小值为，故A正确；对于B，当与圆相切时取得最大值或者最小值，因为，所以，，故B错误；对于C，，，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，所以直线的方程为，将代入并整理得，所以直线过定点，故C错误；对于D，设，则，所以，所以当取最小值时最小，最小值为，故D正确；故选：AD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.记为等差数列的前项和，若，则_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由题意得，解得，则．故答案为：13.已知是第二象限角，，则_______．【答案】【解析】由是第二象限角，，所以也是第二象限角，因此可得，，所以．故答案为：14.在长方体中，是棱的中点，平面截一球面得圆，平面截该球面得一圆，已知圆和圆的半径分别为2和3，则该球的表面积为_______．【答案】【解析】如图，设球心为，球的半径为，由题意和球的性质得平面，平面，则，因平面，平面，则,又，故为平面和平面所成的角，在中，由可得，在中，易得，，所以，即得，解得，故球的表面积为．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在锐角中，内角的对边分别为．（1）求角；（2）若的面积为，求的周长．解：（1）因为，所以，因为，所以，因为是锐角三角形，所以，所以，则，因为为锐角，所以．（2）因为的面积为，所以，即，由余弦定理得，即，所以，即，故的周长为．16.设函数，其中是常数．（1）讨论的单调性；（2）若是函数的极值点，证明：函数的图象关于点成中心对称．（1）解：，令得，若，则，所以当或时单调递增，当时单调递减；若，则f'x≥0（当且仅当时取得等号），在R上单调递增；若，则，所以当或时单调递增，当时，单调递减．综上，若，则当时，单调递增，当时，单调递减；若，则在R上单调递增；若，则当时，单调递增，当时，单调递减．（2）证明：，依题意是方程的根，所以，解得，又当时，方程有两个不相等的根和，所以当时，f'x>0，当时，f所以是的极大值点，符合题意，故，所以，因为所以函数的图象关于点成中心对称．17.如图，在四棱锥中，平面，设平面和平面的交线为．（1）若，证明：平面平面；（2）若，平面与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值．（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：由（1）可知，因为，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，在平面内，垂直于直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，则，所以，显然平面的一个法向量为，依题意，解得，设与所成的角为，因为，又，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．18.已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．（1）求数列和的通项公式；（2）证明：；（3）求使得成立的最大整数．（1）解：因为，所以当时，，作差得，两边同时除以得，又，所以，得，所以，故对，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则．设等比数列的公比为，因为，所以由，或又因以数列是递增数列，所以．（2）证明：因为，所以．（3）解：由（1）知，即，令，则，，所以当时，，当时，，当时，，即有，，又，故当时，，所以，，又，所以，当时，，故使得成立的最大整数为6．19.已知椭圆的离心率为，以焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为16．（1）求的方程；（2）已知点，且．（为坐标原点）．①证明：点在同一个圆上；②将①中的圆向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得到一个新圆，已知Px0,y0是该圆上的任意一点，过点作该圆的切线，设切线与交于两点，求（1）解：设椭圆的焦距为，依题意，又，所以，则的方程为．（2）①证明：设，则由题意可知，所以，故是公差为1的等差数列，是公差为2的等差数列，由已知，所以，所以，即有，设，则，因为，且，所以有，故，且,消去得，即，所以点在同一个圆上．②解：将圆向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得到的圆的方程为，设是切线上除点外的任意一点，则，因为，所以，结合可得，切线的方程为，联立，整理得，因为，故圆在椭圆内部，故,，所以，所以，因为，所以,故的取值范围是．东三省2025届高三上学期12月调研测试数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．故选：C.2.若，则（）A. B.10 C.26 D.【答案】A【解析】由，得，则．故选：A3.设是两个不共线向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，由题意可设，对于A，由数量积的定义可得，故A错误；对于B，根据向量数量积的定义得，故B正确；对于C，设，则，由于可以为任意正数，故C错误；对于D，由数量积的定义可得，故D错误；故选：B.4.已知是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A、C，因为，所以，故A，C错误；对于B、D，由题意知，因为函数是增函数，所以，即，结合基本不等式，，因为是增函数，所以，故D正确，B错误；故选：D.5.已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为2，则该正三棱台的体积为（）A.52 B. C. D.【答案】C【解析】将正三棱台补成正三棱锥，则与平面所成角即为与平面所成角，设点在平面上的射影为，在平面上的射影为，则为的中心，为的中心，即为棱与底面所成的角，所以，由于，故，所以棱台的高，又上、下底面的面积分别为和，所以棱台的体积．故选：C.6.已知圆与圆有且仅有三条公切线，则取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切，，即，设，则，，即，，解得：，的取值范围为.故选：D.7设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以；因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；构造函数，则，令，则，显然在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，从而，故有，整理得，所以，故．故选：B8.已知函数没有极值点，则的最小值为（）A. B. C. D.e【答案】A【解析】因为，依题意在上没有变号零点，令，其中，若，则，则函数在上为减函数，当时，；当时，，所以，存在，使得，且当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，不合乎题意，所以，，从而，因为当时，，所以需满足在上恒成立，故需要有在上恒成立（等号不恒成立），设，令，得，所以函数的斜率为的切线方程为，即，所以只需要，所以只需要即可，令，则，故，当时，，当时，，所以，函数的单调递增区间为，递减区间为，所以当时取得唯一的极大值，即最大值，所以，所以．所以，的最小值为.故选：A.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.定义，其中表示不超过的最大整数，例如：，则下列说法正确的是（）A.是成立的充分不必要条件B.是周期函数C.D.是奇函数【答案】BC【解析】对于A，取，则，但，不满足，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，若，则，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以不是奇函数，故D错误．故选：BC.10.已知函数在时取得极大值，则（）A.函数在区间上单调递增B.函数的图象关于点中心对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上至少存在两个极值点【答案】BD【解析】因为函数在时取得极大值，所以，得，故，则，所以的图象关于点中心对称，B正确；令，则，显然当时取得极大值，所以函数在区间上不一定单调递增，A错误；当时，，所以函数的图象不一定关于直线对称，C错误；令，，得，则在区间上必有两个极值点和，故D正确．故选：BD11.已知点是圆上的动点，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（）A.和两点之间距离的最小值小于B.当最大时，的面积是C.直线过定点D.的最小值是【答案】AD【解析】对于A，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以和两点之间距离的最小值为，故A正确；对于B，当与圆相切时取得最大值或者最小值，因为，所以，，故B错误；对于C，，，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，所以直线的方程为，将代入并整理得，所以直线过定点，故C错误；对于D，设，则，所以，所以当取最小值时最小，最小值为，故D正确；故选：AD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.记为等差数列的前项和，若，则_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由题意得，解得，则．故答案为：13.已知是第二象限角，，则_______．【答案】【解析】由是第二象限角，，所以也是第二象限角，因此可得，，所以．故答案为：14.在长方体中，是棱的中点，平面截一球面得圆，平面截该球面得一圆，已知圆和圆的半径分别为2和3，则该球的表面积为_______．【答案】【解析】如图，设球心为，球的半径为，由题意和球的性质得平面，平面，则，因平面，平面，则,又，故为平面和平面所成的角，在中，由可得，在中，易得，，所以，即得，解得，故球的表面积为．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在锐角中，内角的对边分别为．（1）求角；（2）若的面积为，求的周长．解：（1）因为，所以，因为，所以，因为是锐角三角形，所以，所以，则，因为为锐角，所以．（2）因为的面积为，所以，即，由余弦定理得，即，所以，即，故的周长为．16.设函数，其中是常数．（1）讨论的单调性；（2）若是函数的极值点，证明：函数的图象关于点成中心对称．（1）解：，令得，若，则，所以当或时单调递增，当时单调递减；若，则f'x≥0（当且仅当时取得等号），在R上单调递增；若，则，所以当或时单调递增，当时，单调递减．综上，若，则当时，单调递增，当时，单调递减；若，则在R上单调递增；若，则当时，单调递增，当时，单调递减．（2）证明：，依题意是方程的根，所以，解得，又当时，方程有两个不相等的根和，所以当时，f'x>0，当时，f所以是的极大值点，符合题意，故，所以，因为所以函数的图象关于点成中心对称．17.如图，在四棱锥中，平面，设平面和平面的交线为．（1）若，证明：平面平面；（2）若，平面与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值．（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：由（1）可知，因为，