2024-2025学年河南省百师联盟高二上学期12月期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省百师联盟2024-2025学年高二上学期12月期中检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线，设甲乙，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由于，则，解得或，不一定是a=2，a=2时，两直线一定平行，故甲是乙的必要不充分条件，故选：B2.直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】点到直线的距离为，所以圆C的半径为，则圆C的方程为.故选：A.3.甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，所以，恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为.故选：D.4.下列说法中，正确的是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，若，则D.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为【答案】B【解析】对于A选项，点关于平面对称的点的坐标是，A错；对于B选项，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则，所以，B对；对于C选项，已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，则存在、，使得，即，所以，所以，，解得，C错；对于D选项，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，D错.故选：B.5.已知平面、的法向量分别为，，则平面、的夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为平面、的法向量分别为，，则，所以，平面、的夹角的大小为.故选：C.6.已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若弦的长为8，则直线的方程为（）A.或B.或C.或D.或【答案】B【解析】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意）设直线l的方程为，联立，得，所以，因为，解得，则直线l的方程为或.故选：B.7.如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】C【解析】在、、、、、六个数字中，，若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，此时，不同的填数字的方法种数为，所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.因此，满足条件的放法种数为种.故选：C.8.空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为,直线是平面与平面的交线,则直线与平面所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得,平面的法向量为,平面的法向量为,平面的法向量为.设直线的方向向量,,令,设直线与平面所成角,,则,直线与平面所成角.故选:B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（）A.可以组成个三位数B.在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为C.在组成的三位数中，比大的个数为D.在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为【答案】ABD【解析】用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数对于A选项，可以组成个三位数，A对；对于B选项，因为，所以，在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为个，B对；对于C选项，由题意可知，百位数字为或，所以，在组成的三位数中，比大的个数为个，C错；对于D选项，在组成的三位数中，百位上的数字最小，即从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上，所以，百位上的数字最小的个数为个，D对.故选：ABD.10.双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（）A.B.C.平行四边形各边所在直线斜率均不为D.【答案】BC【解析】由题意可得，，则，故A错误．由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，则，B正确．设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线，联立得，则，即，C正确．由，设：；，，，联立得，∴，，则，设，则，∴，又单调递减，则，∴，故，D错误．故选：BC11.如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若平面，则动点的轨迹是一条线段C.存在点，使得平面D.若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧【答案】ABD【解析】不妨设正方体的棱长为，对于A选项，，三棱锥体积，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确；对于B选项，取、中点，连接、、、，由且，知是平行四边形，所以，因为平面，平面，平面，同理可得平面，因为，、平面，所以平面平面，又平面，则平面，而Q在平面上，且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确；对于C选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，设，则，，设为平面的一个法向量，则，取，则.若平面，则，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，故C选项错误；对于D选项，平面的一个法向量为，，若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是，所以，所以，因为点为正方形内一动点（含边界），所以点是以为圆心，12为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平行六面体中，，，，点在上，且，用、、表示，则__________.【答案】【解析】如下图所示：由题意可知，，可得，所以，，故答案为：.13.已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________.【答案】【解析】设，，因为在椭圆上，所以.两式相减得，即.因为点是线段的中点，所以，.斜率，得，即,解得.当时，椭圆方程为，可得，所以.故答案为：.14.已知集合，若、、且、、互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是__________.【答案】【解析】若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，则有个；若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，则有个；若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，则有个；若、和在0,+∞上单调递增，则有个.综上所述：共有个.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念.（1）要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？（2）若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？（3）若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答）解：（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念，小王与工作人员甲､乙都相邻，∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲），然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法，∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种；（2）由题意，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况,②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况,∴有种不同的站法；（3）由题意，工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法,②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法,剩下4人全排列,有种站法,∴共有种不同的站法16.在空间直角坐标系中，点O0,0,0，，，.（1）证明：，，不共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由题意得，，.假设，，共面，则存在a，，使得，即，即，所以，此方程组无解，所以假设不成立，故，，不共面（2）由题意得，，.设平面的法向量为，则，即令，则，，故平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则.17.如图,在四棱柱中,四边形是正方形，，点为的中点.（1）用向量表示；（2）求线段的长及直线与所成角的余弦值.解：（1）在四棱柱中，.（2）由四边形是正方形，，得，则，即线段的长为；而，则，，因此，即直线与所成角的余弦值为，所以线段的长为，直线与所成角的余弦值为.18.如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.解：（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，由，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，，（i）故，设平面的一个法向量为n=x,y,z则，令，则，，，平面的一个法向量为,则，令，则，，故，,，由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；（ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，设，，则,0,，0,，由（2）知平面的一个法向量为,,，，点到平面的距离是，，．19.设分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，（1）求椭圆的方程.（2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心.（i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；（ii）求点到直线的距离的最大值.解：（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得，，由的面积为，得，因此，所以椭圆的方程为.（2）（i）设，由直线垂直于轴，得，由原点是的重心，得，即，，又，解得，所以到直线的距离为.（ii）由（i）知，当直线斜率不存在时，到直线的距离为；当直线斜率存在时，设直线方程为，，由得，且，即，，由原点是的重心，得，解得，点，于是，整理得，因此点到直线的距离为，所以当与轴垂直时点到直线的距离最大为.河南省百师联盟2024-2025学年高二上学期12月期中检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线，设甲乙，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由于，则，解得或，不一定是a=2，a=2时，两直线一定平行，故甲是乙的必要不充分条件，故选：B2.直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】点到直线的距离为，所以圆C的半径为，则圆C的方程为.故选：A.3.甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，所以，恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为.故选：D.4.下列说法中，正确的是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，若，则D.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为【答案】B【解析】对于A选项，点关于平面对称的点的坐标是，A错；对于B选项，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则，所以，B对；对于C选项，已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，则存在、，使得，即，所以，所以，，解得，C错；对于D选项，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，D错.故选：B.5.已知平面、的法向量分别为，，则平面、的夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为平面、的法向量分别为，，则，所以，平面、的夹角的大小为.故选：C.6.已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若弦的长为8，则直线的方程为（）A.或B.或C.或D.或【答案】B【解析】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意）设直线l的方程为，联立，得，所以，因为，解得，则直线l的方程为或.故选：B.7.如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】C【解析】在、、、、、六个数字中，，若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，此时，不同的填数字的方法种数为，所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.因此，满足条件的放法种数为种.故选：C.8.空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为,直线是平面与平面的交线,则直线与平面所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得,平面的法向量为,平面的法向量为,平面的法向量为.设直线的方向向量,,令,设直线与平面所成角,,则,直线与平面所成角.故选:B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（）A.可以组成个三位数B.在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为C.在组成的三位数中，比大的个数为D.在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为【答案】ABD【解析】用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数对于A选项，可以组成个三位数，A对；对于B选项，因为，所以，在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为个，B对；对于C选项，由题意可知，百位数字为或，所以，在组成的三位数中，比大的个数为个，C错；对于D选项，在组成的三位数中，百位上的数字最小，即从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上，所以，百位上的数字最小的个数为个，D对.故选：ABD.10.双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（）A.B.C.平行四边形各边所在直线斜率均不为D.【答案】BC【解析】由题意可得，，则，故A错误．由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，则，B正确．设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线，联立得，则，即，C正确．由，设：；，，，联立得，∴，，则，设，则，∴，又单调递减，则，∴，故，D错误．故选：BC11.如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若平面，则动点的轨迹是一条线段C.存在点，使得平面D.若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧【答案】ABD【解析】不妨设正方体的棱长为，对于A选项，，三棱锥体积，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确；对于B选项，取、中点，连接、、、，由且，知是平行四边形，所以，因为平面，平面，平面，同理可得平面，因为，、平面，所以平面平面，又平面，则平面，而Q在平面上，且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确；对于C选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，设，则，，设为平面的一个法向量，则，取，则.若平面，则，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，故C选项错误；对于D选项，平面的一个法向量为，，若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是，所以，所以，因为点为正方形内一动点（含边界），所以点是以为圆心，12为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平行六面体中，，，，点在上，且，用、、表示，则__________.【答案】【解析】如下图所示：由题意可知，，可得，所以，，故答案为：.13.已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________.【答案】【解析】设，，因为在椭圆上，所以.两式相减得，即.因为点是线段的中点，所以，.斜率，得，即,解得.当时，椭圆方程为，可得，所以.故答案为：.14.已知集合，若、、且、、互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是__________.【答案】【解析】若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，则有个；若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，则有个；若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，则有个；若、和在0,+∞上单调递增，则有个.综上所述：共有个.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念.（1）要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？（2）若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？（3）若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答）解：（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念，小王与工作人员甲､乙都相邻，∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲），然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法，∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种；（2）由题意，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况,②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况,∴有种不同的站法；（3）由题意，工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法,②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法,剩下4人全排列,有种站法,∴共有种不同的站法16.在空间直角坐标系中，点O0,0,0，，，.（1）证明：，，不共面；（2）