2025届湖南省永州市冠一高级中学高三上学期12月检测数学试卷

2025届湖南省永州市冠一高级中学高三上学期12月检测数学试卷

一、单选题(★★)1.集合，，则（）

A．B．C．D．(★★)2.复数，在复平面内对应的点分别为，，则（）

A．B．C．D．(★)3.高一年级有男生210人，女生190人，用分层随机抽样的方法按性别比例从全年级学生中抽取样本，若抽取的样本中男生有21人，则该样本的样本容量为（）

A．30B．40C．50D．60(★★)4.若随机变量服从二项分布，且，则（）

A．39B．50C．63D．68(★★)5.设等比数列的前n项和为，已知，，则（）

A．15B．18C．31D．63(★★★)6.已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（）

A．24B．26C．32D．40(★★★)7.设椭圆：（）的左、右焦点分别是，，离心率为，双曲线：（，）的渐近线交于点，，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．D．(★★★★)8.已知非负实数满足，则的最小值为（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）

A．B．C．D．(★★)10.在中，所对的边为，已知，且满足，则下列说法正确的是（）

A．B．C．D．它的外接圆半径为(★★★)11.已知，定义方程表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记表示“方圆系”曲线所围成的面积，则（）

A．B．的最大值为4C．是单调递增的数列D．“方圆系”曲线上任意一点到原点的最大距离为三、填空题(★★)12.的展开式中，的系数为______.(★★★)13.已知直线是曲线和的一条公切线，则__________．(★★★)14.设函数，若存在，使得，则的最小值为____________．四、解答题(★★★)15.已知函数，且的极值点为．(1)求；(2)证明：；(★★★)16.甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选；(1)求甲恰有2个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数X的分布列；(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由.(★★★)17.如图，在三棱锥中，平面平面，，.(1)求证：；(2)若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.(★★★)18.已知抛物线的焦点为，且三个不同的点均在上．当为的重心时，线段长度之和为3．(1)求；(2)已知直线方程为，为坐标原点，求的面积；(3)若为等边三角形，记的中心为点，求点所在曲线的方程．(★★★★)19.在计算机图形学和几何算法中，通过多边形剖分，可以简化算法的实现，提高计算效率，并且减少碰撞检测等操作的复杂性．例如，在游戏中，多边形剖分可以用于处理角色的碰撞检测，使得游戏角色与环境的交互更加真实和精确．数学研究领域中，与凸多边形剖分的相关概念、记法与定理表述如下：定义1边形内任意两点的连线线段都在该边形内，则称其为凸边形．定义2一个凸边形可以通过不相交于边形内部的对角线把边形拆分成若干三角形，这称为凸边形的一种三角剖分．将一个凸边形不同的三角剖分种数记为，这里规定取大于等于的正整数，且．定理1．定理2当时，．根据上述内容，解答下面问题：(1