小学奥数抽屉原理

抽屉原理

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中

的问题，因此，也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可

以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，

在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放

两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义

一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹

果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题

苹果+抽屉=商……余数

余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里

（2）余数=x（lx（〃-1）），结论：至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

（二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”

方法、特殊值方法.

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一、直接用公式进行解题

（1）求结论

【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子.对吗?

【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答

【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子.这只鸽子可以任意飞进其

中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子.所以这句话是正确的.

利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，

6+5=11,1+1=2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯

定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子.

【答案】对

【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学

生中，至少有两个人在做同一科作业.

【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答

【解析】略.

【答案】将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉由抽屉

原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果.即至少有两名学生在做同一科的作业

【例2】向阳小学有730个学生，何：至少有几个学生的生日是同一天？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】略.

【答案】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个革果.因为730+366=1364,

所以，至少有1+1=2（个）学生的生日是同一天

【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有—人的头发的

【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，1试

【解析】这是一道抽屉原理的题目，毋以要先分清荒什么是抽屉，什么是羊果。此题中的抽屉是人的头发:

有20万个，中国的人数是苹果：13亿人，所以至少应有：1300000000+200000=6500（人）。

【答案】650人

［例3］四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】略.

【答案】想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？

把这四个连续的自然数分别除以3,其余数不外乎是0,1,2,把这3个不同的余数当作3个“抽

屉“，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，

至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同

【巩固】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答

【解析】略.

【答案】因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形.我们将余数的这三种情形看成是三个

“抽屉一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里.将四个自然数放入

三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对

学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）.这两个数的差必能被3整除

（2）求抽屉

【例4］把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，

根据抽屉原理，要把10只小鬼放进10-1=9个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上

的小兔.

【答案】9

【巩固】袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸出1个小球，

至少有个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样.

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空

【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛

【解析】本题属于抽屉原理中构造抽屉解决问题，每个小朋友从中摸一个小球，小球的颜色可能为红、黄、

蓝三种情况，故为三个抽屉，若想保证一定有两个人摸的球颜色一样，必须有（2-l）x3+l=4（个）

小朋友。

【答案】4

【例5】把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有

多少人？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有1个人分到

4本书，而其他同学都只分到3本书，则（125-4）+3=401,因此这个班最多有：40+1=41（人）（处

理余数很关键，如果有42人则不能保证至少有一个人分到4本书）.

【答案】41

【巩固】某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校.”如果他的

说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有10个同学来自

同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，则（1123-10）+9=1236,因此最多有：

123+1=124个学校（处理余数很关键，如果有125个学校则不能保证至少有10名同学来自同一个

学校）

【答案】124

（3）求苹果

［例6］班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到

不少于两本书？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】把50名小朋友当作50个“抽屉”，书作为物品.把书放在50个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉

中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于50,而大于50的最小整数是50+1=51,所以至

少要拿51本书.

【答案】51本书

【巩固】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到

不少于两本书？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书.

【答案】29本书

［例7］一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分,

不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3x10=40分，但注意到39、38、35这3

个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3x（41-3）+1=115人.

【答案】115人

【巩固】一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得

3分，回答完全错误或不回答，得0分.至少一人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分

相同.

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空

【关键词】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）

【解析】根据评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为。分，在。〜50分之间，1分，2分，4分，7

分，47分，49分不可能出现.共有51-6=45（种）不同得分.根据抽屉原理，至少有45x2+1=91

（人）参赛，才能保证至少有3人得分相同.

【答案】3

二、构造抽屉

【例8］学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋

友前来借阅，每人都借了2本.请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种

吗？

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】略.

【答案】每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英.第4个小朋友无论借什么书，都可能是这

三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至少有2位小朋友，他

们所借阅的两本书属于同类.

总结：此题如用简单乘法原理的话，有难度，因为涉及到简单加法原理，所以推荐使用列表法。

与之前不同的是，本题借阅的书只说了两本并没说其他要求，所以可以拿2本同样的书

【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借

两本不同类的书，最少借一本.试说明：必有两个学生所借的书的类型相同

【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答

【解析】略.

【答案】设不同的类型书为A、B、C、D四种，若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四

种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种.共有10

种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果如果谁借哪种类型的

书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同

［例9］红、蓝两种颜色将一个2x5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色.是

否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

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