2025年春八年级数学沪科版教学课件：17.5 一元二次方程的应用

17.5

一元二次方程的应用第17章一元二次方程问题引入

小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了

10%，第三次月考又增长了

10%，问他第三次数学成绩是多少？填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650元，则下降率是

.如果保持这个下降率，那么现在生产1吨甲种药品的成本是

元.探究归纳7%4324.5下降率=下降前的量

-

下降后的量下降前的量平均变化率问题与一元二次方程2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是

x，则去年生产1吨甲种药品的成本是

元，如果保持这个下降率，那么现在生产1吨甲种药品的成本是

元.下降率x第一次下降前的量5000(1

-

x)第一次下降后的量5000下降率x第二次下降后的量第二次下降前的量5000(1

-

x)(1

-

x)5000(1

-

x)25000(1-

x)5000(1

-

x)2例1

前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，试求甲种药品成本的年平均下降率.解：设甲种药品的年平均下降率为

x.根据题意，列方程，得5000(1

-

x)2=4050，解方程，得x1=0.1，x2=1.9.根据问题的实际意义，取

x=0.1，即甲种药品成本的年平均下降率为10％.注意下降率不可为负，且不大于1.例2

某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为

200

万元，一月、二月、三月的营业额共

950

万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为

x.根据题意，得答：这个增长率为

50%.200+200(1

+

x)+200(1

+

x)2=950.整理方程，得

4x2+12x-7=0.解得

x1=-3.5(舍去)，x2=0.5.注意增长率不可为负，但可以超过

1.方法归纳建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设出未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？例3

要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到

0.1cm）？27cm21cm几何图形与一元二次方程

分析:这本书的长宽之比为

:

，正中央的长方形的长宽之比为

:

，上下边衬与左右边衬的宽度之比

:

.9

9解析：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a，由此得到上下边衬宽度之比为9

7

7

7

27cm21cm解1：设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬的宽为7xcm.依题意得解得故上下边衬的宽为故左右边衬的宽为方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？27cm21cm解2：设正中央的长方形的两边别为9xcm，7xcm.依题意得解得故上下边衬的宽度为左右边衬的宽度为27cm21cm

在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键.如果图形不规则，应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.方法点拨例4

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点

P沿

AC边从点

A向终点

C以1cm/s的速度移动；同时点

Q沿

CB边从点

C向终点

B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点

P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得

AP=xcm，PC=

(6-

x)cm，CQ=2xcm.解：设点

P，Q出发

xs后

△PCQ的面积为9cm².整理，得解得

x1=x2=3.答：点

P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².则有例5如图，在一块长为92

m，宽为60

m的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885

m2的6个长方形小块．水渠应挖多宽？

解：设水渠宽为

xm，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为(92-2x)m，宽为(60

-

x)m.则有(92

-

2x)(60

-

x)=6×885.解得x1=105(舍去)，x2=1.注意：结果应符合实际意义答：水渠应挖1m

宽.我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨例6一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少?分析：设原来这组学生的人数是

x，则可把题中信息整理成下表：总费用/元人数每人费用/元原来现在解：设原来这组学生的人数是

x，由题意得两边同乘

x(x+2)，整理，得x2+2x

-

80=0.解这个方程，得x1=-10，x2=8.检验：x1=-10，x2=8都是原方程的根，但

x=-10不符合题意，所以取

x=8.答：原来这组学生是8人.

解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意.方法点拨

1.

某厂今年一月份的总产量为

500

吨，三月份的总产量为

720

吨，平均每月的增长率是

x，则可列方程()

A.

500(1

+

2x)

=

720B.

500(1

+

x)2

=

720

C.

500(1

+

x2)

=

720D.

720(1

+

x)2

=

500

2.

某校去年对实验器材的投资为

2

万元，预计今明两年的投资总额为

8

万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是

x，则可列方程为

.B2(1+x)+2(1+x)2=83.在一幅长

80

cm，宽

50

cm

的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是

5400

cm2，设金色纸边的宽为

x

cm，那么

x

满足的方程是（

）A．x2

+

130x

-

1400

=

0B．x2

+

65x

-

350

=

0C．x2

-

130x

-

1400

=

0D．x2

-

65x

-

350

=

080

cmxxxx50

cmB4.青山村种的水稻前年平均每公顷产

7200

千克，今年平均每公顷产

8712

千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为

x.

根据题意，得7200(1+x)2=8712.

解得

x1=0.1=10%，x2=-1.1(不符合题意，舍去).答：水稻每公顷产量的年平均增长率为

10%.5.如图，在宽20米，长32米的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.

解：设道路宽为

x米，由平移得到下图，则依题意可列方程为(20

-

x)(32

-

x)=540.解得x1=50(舍去)，x2=2.答：道路的宽为2米.整理得x2

-

52x+100=0，能力提升菜农大伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，大伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为

x，由题意，得

5(1

-

x)2=3.2.

解得

x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去).

∴平均每次下调的百分率为20%.（2）小华准备到大伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，大伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案优惠更多？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：

方案一所需费用为3.2×0.9×5000=14400(元)，

方案二所需费用为3.2×5000

-

200×5=15000(元).

∵