湖南省郴州市一中高三12月月考文科数学

湖南省郴州市第一中学2018届高三十二月月考文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】故选2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，则故选3.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】在双曲线的标准方程中，，由题意得双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为故选4.已知且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，即，解得当时，即，，故当且，则“”是“”的充要条件；故选5.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？”其意思是，“今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？”通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，直角三角形，斜边长为，由等面积可得内切圆半径则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率是故选6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A.若，，，则B.若，，，则C.“直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的充分不必要条件D.若，，，则【答案】D【解析】对A，符合条件的直线可能∥，故不正确；对B,两个垂直平面内的两条直线不一定垂直，故不正确；对C,直线与平面内的无数条直线垂直,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确.7.已知实数满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】综上所述，故故选8.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为480，则判断框中可以填（）A.B.C.D.【答案】B.....................9.将函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，则函数图像的对称轴方程不可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得：令，当时，正确；当时，正确；当时，正确；故选10.如图所示，在中，，，，，点是线段的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，且，，，，点是线段的中点，则故选点睛：本题考查了向量的综合运用，要求向量的点乘运算，先求出各边长，本题较为困难的在于向量之间的转换，，另一种方法，可以建立平面直角坐标系，给出各点坐标，即可计算出结果11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.16D.【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是一个底面一边长为4，对应高为4的三角形，高为4的三棱锥。如图所示，所以选A。12.若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，，令，在上单调递增，，在上单调递减实数的取值范围为故选点睛：分类参数，构造函数，利用导数，观察法等判断函数的单调性，求解函数的最值问题，来解决若，存在恒成立，即可求得答案。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为__________．【答案】【解析】由题意长轴长是短轴长的倍，且点在椭圆上得解得，所以椭圆的标准方程为14.某校高三年级有男生220人，学籍编号为；女生380人，学籍编号为.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取75人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的学籍编号为5），则女生被抽取的人数为__________人．【答案】48【解析】由题意共600名学生，要抽取75人，按照系统抽样则分为每组，即8人一组，第一组抽到的学籍编号为5，则男生抽取人数为，所以男生抽取人数为27，则女生被抽取人数为7527=48人15.已知实数满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】如图先画出其可行域，要求的最大值为，则需要求出的最小值，当时，取值最小值，所以的最大值为点睛：本题主要考查的是线性规划的基本应用，利用的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决，做出平面区域，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解。16.设为数列的前项和，，若，则__________．【答案】【解析】当为奇数时，，则，，，，当为偶数时，，则，，，，又，∴故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角的对边分别为，若，且.（1）求的值；（2）当的面积取最大值时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：⑴利用正弦定理和和差公式即可得出；⑵利用余弦定理，基本不等式的性质，三角形的面积计算公式即可得出；解析：（1）因为，由正弦定理可得，即，即可得，故（2）依题意，的面积，故只需最大即可；由余弦定理，即，结合基本不等式可得，当且仅当时取“”，所以当的面积取最大值时，.18.为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示：（1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均得分；（2）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷得分的方差；（3）若从甲地被抽取的8名观众中再邀请2名进行深入调研，求这2名观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.【答案】（1）85,85(2)35.5，41（3）【解析】试题分析：⑴利用茎叶图数据，即可求出答案；⑵根据茎叶图数据，利用方差公式即可求解；⑶从人中任取人，利用列举法能求出参加调研的观众中恰有人的问卷调查成绩在分以上的概率；解析：（1）依题意，，；(2)，（3）依题意，所有的事件的可能性为，共28种，其中满足条件的为，共12种，故所求概率.19.已知三棱锥如图所示，其中，，二面角的大小为.（1）证明：；（2）若为线段的中点，且，，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：⑴由二面角的大小为，故平面平面，由，故，再运用性质定理即可求证(2)设,证得解得，，利用等面积法求得，即可求出体积解析：（1）证明：因为二面角的大小为，故平面平面，又平面平面，，故，所以平面，因为平面，所以.（2）解：设，则.由（1）可知，，又，所以.因为，，所以，所以，即.解得，故，，设到平面的距离为，所以有，得.故.20.已知抛物线的焦点为.（1）若抛物线的焦点到准线的距离为4，直线，求直线截抛物线所得的弦长；（2）过点的直线交抛物线于两点，过点作抛物线的切线，两切线相交于点，若分别表示直线与直线的斜率，且，求的值.【答案】（1）10（2）或.【解析】试题分析：⑴联立直线与抛物线方程即可求出直线截抛物线所得的弦长(2)设，，联立直线与抛物线方程，求得过点的切线方程分别为，，再次联立解得的坐标为，计算出的数量关系，结合，求的值解析：（1）依题意，，注意到直线过抛物线的焦点，联立，解得；由抛物线定义可知，所求弦长为；（2）设，，易知，联立，消去得，∴，，由得，过点的切线方程分别为，，联立得点的坐标为，所以，∴，∴或；所以直线的斜率为或.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】试题分析：⑴求导得，再对分子求导，反应一阶导数的单调性，从而计算出原函数的单调区间(2)构造新函数，求导后进行分类讨论，从而求出实数的取值范围解析：（1），，令，故，注意到，故当时，，即；当时，，即，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由得.记，，则.①当时，因为，，所以，所以在上为单调增函数，所以，故原不等式恒成立.②当时，易知当时，，，当时，，为单调减函数，所以，不合题意.综上所述，实数的取值范围为.点睛：本题是道导数综合题，当一阶导数不能很好的给出答案时，需要再次求出分子的二阶导数，才能确定原函数的单调性；证明不等式的成立时候，可以求导，然后再分类讨论，逐渐证明，求出参量的取值范围。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；直线与曲线相交于两点.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线的参数方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）（2）【解析】试题分析：⑴先将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标系内的方程，然后再给出参数方程(2)在极坐标的运算下求得的值，再表示出的表达式，从而计算出最值情况解析：（1）因为，故，因为，故所求方程为，故曲线的参数方程为（为参数）（2）联立和，得，设、，则，由，得，当时，取最大值，故实数的取值范围为.点睛：本题考查的知识点由简单曲线的极坐标方程，参数方程的求法，直线与圆的位置关系。考查了极地坐标方程与直角坐标方程的互