河南省南阳市2017-2018学年高一上学期期终考试数学试题

2017年秋期高中一年级期终质量评估数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，故选B．2.如图是水平放置的的直观图，轴，，则是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据斜二测画法及已知的直观图中，轴，可知在中，轴，所以为直角三角形。考点：斜二测画法。3.函数是定义域为的偶函数，当时，，则当时，的表达式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，，故选C．4.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D5.两条直线，互相垂直，则的值是（）A.3B.1C.1或3D.0或3【答案】C【解析】由题意，解得，故选C．6.已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意，，∴，故选D．7.若实数满足，则的最小值是（）A.B.1C.D.5【答案】C【解析】，，，即的最小值为，故选8.设对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.或D.【答案】A..................9.已知圆与圆相外切，为正实数，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，又，∴，则，当且仅当时取等号，故选A．10.若且，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】设，则，，故选B．11.已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（）A.B.或C.或D.【答案】D【解析】由题意，则，即，当时，，又当时，，∴，解得，故选D．点睛：设在定义域上的值域为，函数在定义域上的值域为，命题“对于任意的，总存在，使得”等价于．12.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（）A.B.C.D.【答案】B【解析】此几何体是是个四棱锥，如图，ABCD是边长为2的正方形，设是底面ABCD中心，F是AD中点，O是其外接球球心，则，解得，∴，，故选B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.点关于平面的对称点的坐标为__________．【答案】【解析】关于坐标平面对称的点，只有横坐标相反，其他两个坐标相同，因此对称点为．点睛：空间直角坐标系中对称问题一般有六个特殊的对称，其点的坐标关系为：（1）关于平面对称，坐标相反，坐标相同；（2）关于平面对称，坐标相反，坐标相同；（3）关于平面对称，坐标相反，坐标相同；（4）关于轴对称，坐标相同，坐标相反；（5）关于轴对称，坐标相同，坐标相反；（6）关于轴对称，坐标相同，坐标相反．14.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】（0，1）【解析】试题分析：令，所以有两个交点，画出的图象如下图所示，由图可知.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令，变为两个函数，先画出的图象，然后将轴下方的图象向上翻折，得到的图象，由图可知，有两个交点.15.已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，那么直线的方程为__________．【答案】x=﹣3或5x﹣12y+15=0【解析】试题分析：设直线方程为或，∵圆心坐标为，圆的半径为，∴圆心到直线的距离，∴，∴，∴直线方程为，即；直线，圆心到直线的距离，符合题意，故答案为：或.考点：直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉，难度中档；当直线与圆相交时，弦长的一半、圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形可求出点到直线的距离为，已知直线过某点时，分为斜率存在和斜率不存在时两种情况，当斜率不存在时进行验证，当斜率存在时设为点斜式，利用点到直线的距离可得结果.16.圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__________．【答案】3【解析】依题意，设球的半径为，根据体积公式有，解得.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程.（2）已知直线和点，过点作斜率为的直线与相交于点，且，求斜率的值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）可先求出已知两直线的交点坐标，利用平行线的斜率相等得所求直线斜率，由点斜式得直线方程；（2）用斜率与点A坐标写出直线方程，与直线方程联立求出交点B的坐标，由两点间距离公式可求得参数的值．试题解析：（1）由，得交点坐标为因为直线平行于直线，所以直线的斜率为2所以，直线的方程为，即.（2）设直线的方程为，即直线的方程为因为直线与相交于点，联立方程组，解得点的坐标为又，解得18.已知.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有，解得；（2）由于在定义域上是减函数，故根据复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有，解得.试题解析：（1）由函数的定义域为可得:不等式的解集为，∴解得，∴所求的取值范围是（2）由函数在区间上是递增的得：区间上是递减的，且在区间上恒成立；则，解得19.如图，在正方体中，分别是的中点.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的比值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析(2)1：3【解析】试题分析：（1）连接，由正方形性质得，又由正方体中，，分别是，的中点，易得，则，，由线面垂直的判定定理，可得平面，进而由面面垂直的判定定理，可得平面平面；（2）设与的交点是，连接，，，由线面平行的性质定理，我们易由平面，平面，平面平面，得，再由平行线分线段成比例定理，得到线段与的比.试题解析：（1）证明：连接，则，又分别是的中点，所以，所以，因为是正方体，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面。(2)设与的交点是，连接，因为平面平面，平面平面，所以20.已知函数（且）是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)a=2(2)m≤0【解析】试题分析：（1）可先由奇函数的必要条件（存在时）求得值，然后检验满足即可；（2）在时，不等式可变为恒成立，因此只要求得在时的最小值即可得出的范围，为此可用换元法，设，再利用函数的单调性求得最小值．试题解析：（1）：∵f（x）是定义在R上的奇函数．∴，∴a=2．∴，∴，∴f（x）是定义在R上的奇函数．∴a=2．（2）由题意得，当x≥1时，即恒成立，∵x≥1，∴2x≥2，∴恒成立，设t=2x﹣1（t≥1），则设，则函数g（t）在t∈[1，+∞）上是增函数．∴g（t）min=g（1）=0，∴m≤0，∴实数m的取值范围为m≤0．21.如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，.（1）求证：平面；（2）设线段的中点分别为，求异面直线与所成角的正弦值；（3）求二面角的大小.【答案】(1)见解析(2)（3）45°【解析】试题分析：（1）要证明线面垂直，就要证线线垂直，由面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ABEF，从而有AB⊥EF．又由平几知识得EF⊥EB，从而可得线面垂直，也即得面面垂直；（2）求异面直线所成的角，一般要作出这个角，为此取BE中点N，可证MN与PC平行且相等，从而得平行四边形，有PM与CN平行，因此只要在中求出的正弦值即可；（3）求二面角E－BC－D，就要找到它的平面角，由（1）的证明知∠EBA就是所要作的平面角，这个角是45°，因此二面角为45°．试题解析：（1）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°又因为∠AEF=45°，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．因为BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．（2）取BE的中点N，连结CN，MN，则且，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．所以∠NCB为PM与BC所成角（或其补角）正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，设AE=a，BN=．BC=a，所以NC=，在直角三角形NBC中，．（3）由（1）知BC⊥平面ABEF．所以BC⊥AB,BC⊥EB,因此，∠EBA为二面角E﹣BC﹣D的平面角．又因△ABE是等腰直角三角形，所以∠EBA=45°故二面角E﹣BC﹣D的大小为45°．点睛：在立体几何中求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角问题，一般第一步都根据这些角的定义作出其“平面角”，然后在三角形中求解，为此必须用到空间平行与垂直的性质，利用这些性质作图、证明、计算是求解的“三步曲”，特别是证明不要遗忘、不要简化．22.已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足，求直线的方程.【答案】(1)（x﹣2）2+y2=9(2)x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0【解析】试题分析：（1）可设圆心坐标为，由直线与圆相切，知圆心M到切线的距离等于半径，可求得，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线斜率不存在时，代入求出A、B两点坐标，检验是否符合题意；当直线斜率存在时，设斜率为，得直线方程为，代入圆的方程，由韦达定理得，代入已知等式可求得的值，从而得直线方程．试题解析：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0.........................................................（1）所以由已知得：整理得：7k2﹣24k+17=0，∴把k值代入到方