2023-2024学年广东省珠海市大湾区高二上学期1月期末联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省珠海市大湾区2023-2024学年高二上学期1月期末联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（）A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7【答案】B【解析】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1第50百分位数为.故选：B2.抛物线的焦点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.3.在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（）A. B. C.与异面 D.与相交【答案】A【解析】由，故，所以.故选：A4.直线与间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由、，故，则.故选：C.5.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】方程表示椭圆，则，解得.故选：B6.任意抛掷一次骰子,朝上面的点数记为X,则,定义事件：,，，则（）A. B.C. D.B，C相互独立【答案】C【解析】对于A，，，A错误；对于B，，，，B错误；对于C，，则，C正确；对于D，由选项AB知，，即B，C相互不独立，D错误.故选：C7.已知为空间的组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】对于A，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底；对于选项B，假设，，共面，则存在实数，，使得，即，所以，无解，所以，，不共面，可以作为空间的基底，故B正确；对于C，因为，所以，，共面，不能作为空间基底；对于D，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底.故选：B.8.下图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以，为焦点，且经过M，N两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在图1中，，又，则．在图2中，，，，，则．在图3中，，，由余弦定理得：，，则．因为，所以．故选：A二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列直线中，与圆：相切的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】圆的圆心为，半径为，选项A：点到直线的距离，故直线与圆相切，故A正确；选项B：点到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确；选项C：点到直线的距离，故直线与圆不相切，故C不正确；选项D：点到直线的距离.故直线与圆相切，故D正确；故选：ABD.10.在下列四个选项，其中正确的有（）A.与向量同方向的单位向量B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间一个基底，则这两个向量共线D.已知向量，，则在上的投影向量为【答案】ACD【解析】对A：由向量，则与其同方向的单位向量为，故A正确；对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误；对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时，则这两个向量共线，故C正确；对D：在上的投影向量为，故D正确.故选：ACD.11.袋子中有1个红球,1个黄球,1个蓝球,1个黑球,从中取三次球,每次取一个球,取球后不放回,设事件,,,则下列结论正确的是（）A. B.C.A与B相互独立 D.【答案】ABD【解析】红球，黄球，蓝球，黑球分别记为，不放回取球三次的试验的样本空间：，共24个，它们等可能，，共6个，，共6个，，共6个，，共2个，，共10个，，AB正确；，A与B相互不独立，C错误；，D正确，故选：ABD12.在平面上，设抛物线的焦点为，准线为l，过点F作直线与C交于，两点，且满足.设线段PQ的中点为M，N为l上一点，且.则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】因为，所以，抛物线方程为，准线方程为：，设直线方程为（由题意直线斜率存在），联立可得，，故A错误；又，所以，即，不妨设，则解得，，则，，所以，故B正确；由中点为M知，，故C错误；由抛物线定义，，所以，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题．13.若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______．【答案】【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，设所求双曲线的方程为().点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故答案为：.14.已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为______．【答案】【解析】设，由，故，化简得：，故P的轨迹方程为.故答案为：.15.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________【答案】【解析】由条件，知，,所以，所以,故答案为：16.某学校有男生3000人，女生2000人，为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7.5小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体均值为______小时，总体方差为______．【答案】7.8；0.86【解析】依题意，估计总体均值为（小时），总体的方差为.故答案为：7.8；0.86四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点．（1）当P为弦AB中点时，求直线AB的方程；（2）若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度．解：（1）圆的圆心，半径，由P为圆的弦AB中点，得，而直线的斜率为2，因此直线的斜率为，方程为，即，所以直线的方程为.（2）圆的圆心，半径，而，即圆与圆相交，两圆方程相减得直线的方程：，点到直线的距离，所以弦的长.18.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了积分制的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖30分、奖0分、扣30分、扣60分、根据大数据统计，评定为等级A，B，C的概率分别是，，．（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0分的概率．解：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，C，D”，则，故其延迟送达且被罚款的概率为；（2）设事件，，，表示“第单被评为等级A，B，C，D”，，，则“两单获得的奖励之和为0分”为事件，，，则，即这两单获得的奖励之和为0分的概率为.19.某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品.厂家将等品售价定为2000元/件，等品售价定为1200元/件.下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，.该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.（i）估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）解：（1）（i）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为：10.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.0910.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00其中，等品共有13个，所以，估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例为；（ii）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为，改进后生产出的产品评分为，其中.由已知得，用样本估计总体可知，所以，所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：，由已知得，用样本估计总体可知，所以.估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：因为，所以，同理，所以式.（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：（元）；将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：（元），因为，所以将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.20.已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.（1）求点到线段的距离；（2）设是长为的线段，求点的集合所表示的图形的面积为多少？（3）求到两条线段、距离相等的点的集合，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中，，，，，.解：（1）设是线段上一点，则，，因此，当时，；（2）由题意，设的端点为，以所在直线为轴，以垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，则点的集合由如下曲线围成：；；；，其面积为：；（3）因为，，，，，，所以；；因为到两条线段、距离相等的点的集合，根据两条直的方程可知，两条直线间的关系是平行，所以得到两条线段距离相等的点是轴非负半轴，抛物线，直线，如图所示：21.已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.（1）证明：平面；（2）当时，二面角的余弦值为，求的值.解：（1）由题知四边形ABCD为正方形∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD∴AB//平面PCD又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF∴EF//AB，又AB//CD∴EF//CD，由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中EG为中位线，∴EG//PB∵EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE∴PB//平面ACE.（2）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，设AB=AD=2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA，∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A∴DG⊥平面CAF，∴平面CAF的一个法向量为设平面AFD的一个法向量为而由得取可得为平面AFD的一个法向量，设二面角C—AF—D的大小为则得又∴∴当二面角C—AF—D的余弦值为时.22.已知，为椭圆：的左、右焦点，与抛物线：有相同的焦点，与交于，两点，且四边形的面积为．（1）求的方程；（2）设斜率存在的直线经过，且与交于，两点，线段上是否存在一点，同时满足下面两个条件，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．①；②取得最小值．解：（1）由与抛物线：有相同的焦点可知，，则，．由抛物线与椭圆的对称可知，，两点关于轴对称，则轴，因为四边形的面积为所以，所以.不妨取，代入，得，解得，将点代入的方程得，解得，，故的方程为.（2）由题意设直线的方程为，，，，易知点在的外部，由三角形相似可知，，因为，所以，即，所以.联立整理得，所以，，则，所以.①因为点在直线上，所以，即，所以.②由①②得，，整理得，所以点在直线：上运动．设关于直线对称的点，连接交直线于点．当点与重合时，取得最小值．又，则，设，则，且的中点在直线上，所以，解得，所以直线的方程为，联立，解得，故线段上存在满足条件的点，且的坐标为．广东省珠海市大湾区2023-2024学年高二上学期1月期末联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（）A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7【答案】B【解析】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1第50百分位数为.故选：B2.抛物线的焦点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.3.在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（）A. B. C.与异面 D.与相交【答案】A【解析】由，故，所以.故选：A4.直线与间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由、，故，则.故选：C.5.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】方程表示椭圆，则，解得.故选：B6.任意抛掷一次骰子,朝上面的点数记为X,则,定义事件：,，，则（）A. B.C. D.B，C相互独立【答案】C【解析】对于A，，，A错误；对于B，，，，B错误；对于C，，则，C正确；对于D，由选项AB知，，即B，C相互不独立，D错误.故选：C7.已知为空间的组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】对于A，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底；对于选项B，假设，，共面，则存在实数，，使得，即，所以，无解，所以，，不共面，可以作为空间的基底，故B正确；对于C，因为，所以，，共面，不能作为空间基底；对于D，因为，所以，，共面，不能作为空间的基底.故选：B.8.下图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以，为焦点，且经过M，N两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在图1中，，又，则．在图2中，，，，，则．在图3中，，，由余弦定理得：，，则．因为，所以．故选：A二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列直线中，与圆：相切的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】圆的圆心为，半径为，选项A：点到直线的距离，故直线与圆相切，故A正确；选项B：点到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确；选项C：点到直线的距离，故直线与圆不相切，故C不正确；选项D：点到直线的距离.故直线与圆相切，故D正确；故选：ABD.10.在下列四个选项，其中正确的有（）A.与向量同方向的单位向量B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间一个基底，则这两个向量共线D.已知向量，，则在上的投影向量为【答案】ACD【解析】对A：由向量，则与其同方向的单位向量为，故A正确；对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误；对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时，则这两个向量共线，故C正确；对D：在上的投影向量为，故D正确.故选：ACD.11.袋子中有1个红球,1个黄球,1个蓝球,1个黑球,从中取三次球,每次取一个球,取球后不放回,设事件,,,则下列结论正确的是（）A. B.C.A与B相互独立 D.【答案】ABD【解析】红球，黄球，蓝球，黑球分别记为，不放回取球三次的试验的样本空间：，共24个，它们等可能，，共6个，，共6个，，共6个，，共2个，，共10个，，AB正确；，A与B相互不独立，C错误；，D正确，故选：ABD12.在平面上，设抛物线的焦点为，准线为l，过点F作直线与C交于，两点，且满足.设线段PQ的中点为M，N为l上一点，且.则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】因为，所以，抛物线方程为，准线方程为：，设直线方程为（由题意直线斜率存在），联立可得，，故A错误；又，所以，即，不妨设，则解得，，则，，所以，故B正确；由中点为M知，，故C错误；由抛物线定义，，所以，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题．13.若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______．【答案】【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，设所求双曲线的方程为().点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故答案为：.14.已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为______．【答案】【解析】设，由，故，化简得：，故P的轨迹方程为.故答案为：.15.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________【答案】【解析】由条件，知，,所以，所以,故答案为：16.某学校有男生3000人，女生2000人，为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7.5小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体均值为______小时，总体方差为______．【答案】7.8；0.86【解析】依题意，估计总体均值为（小时），总体的方差为.故答案为：7.8；0.86四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆内有一点，过P的直线交圆于A，B两点．（1）当P为弦AB中点时，求直线AB的方程；（2）若圆O与圆相交于E，F两点，求EF的长度．解：（1）圆的圆心，半径，由P为圆的弦AB中点，得，而直线的斜率为2，因此直线的斜率为，方程为，即，所以直线的方程为.（2）圆的圆心，半径，而，即圆与圆相交，两圆方程相减得直线的方程：，点到直线的距离，所以弦的长.18.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了积分制的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖30分、奖0分、扣30分、扣60分、根据大数据统计，评定为等级A，B，C的概率分别是，，．（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0分的概率．解：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，C，D”，则，故其延迟送达且被罚款的概率为；（2）设事件，，，表示“第单被评为等级A，B，C，D”，，，则“两单获得的奖励之和为0分”为事件，，，则，即这两单获得的奖励之和为0分的概率为.19.某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品.厂家将等品售价定为2000元/件，等品售价定为1200元/件.下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，.该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.（i）估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）解：（1）（i）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为：10.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.0910.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00其中，等品共有13个，所以，估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例为；（ii）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为，改进后生产出的产品评分为，其中.由已知得，用样本估计总体可知，所以，所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：，由已知得，用样本估计总体可知，所以.估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：因为，所以，同理，所以式.（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：（元）；将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：（元），因为，所以将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.20.已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.（1）求点到线段的距离；（2）设是长为的线段，求点的集合所表示的图形的面积为多少？（3）求到两条线段、距离相等的点的集合，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中，，，，，.解：（1）设是线段上一点，则，，因此，当时，；（2）由题意，设的端点为，以所在直线为轴，以垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，则点的集合由如下曲线围成：；；；，其面积为：；（3）因为，，，，，，所以；；因为到两条线段、距离相等的点的集合，根据两条直的方程可知，两条直线间的关系是平行，所以得到两条线段距离相等的点是轴非负半轴，抛物线，直线，如图所示