北京市海淀区2024-2025学年上学期高三期末练习数学

2025年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A B.C. D.2.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.4.抛物线的焦点为，点在上，则（）A. B. C. D.5.已知直线与圆交于两点，则（）A. B. C. D.6.已知等差数列的前项和为，，则（）A. B. C. D.7.已知椭圆的焦点在轴上，点，则（）A.在外 B.的长轴长为C.在内 D.的焦距为8.设函数，则“”是“没有极值点”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（）A.平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形B.存在点，使得直线与平面垂直C.平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等D.点到平面的距离不超过10.2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加.记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）.已知，，则最大时，的值为（）（参考数据：，）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.双曲线的渐近线方程为__________．12.已知向量，，则_________，的最小值为_________.13.已知为等腰三角形，且，则_________.14.已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.15.已知曲线.给出下列四个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；④曲线所围成区域的面积大于.其中，所有正确结论序号为_________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；（2）若在区间上的最大值为，求的值.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.（1）求证：是的中点；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件①：平面平面；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试.选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分.①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：原始成绩9.7588757.565.755.75排名12244677原始成绩54.754.54.542543.753.5排名910111113141516对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分.现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.19.已知椭圆的左顶点为，离心率.（1）求的标准方程；（2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为.当与不重合时，求证：.20.已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若在区间上单调递减，求取值范围；（3）当时，证明：若，，则