2024-2025学年高中数学第2章概率1离散型随机变量及其分布列第1课时随机变量学案北师大版选修2-3

PAGE1-第1课时随机变量学习目标核心素养1.理解随机变量的含义．(重点)2．了解随机变量与函数的区分与联系．(易混点)3．会用随机变量描述随机现象．(难点)通过对随机变量的学习，培育“数学抽象”、“逻辑推理”的数学素养.1．随机变量的定义将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．2．随机变量通常用大写的英文字母如X，Y来表示．思索：随机变量与函数有什么区分与联系？[提示]区分：随机变量是把试验结果映射为实数，函数是两个非空数集之间的映射．联系：随机变量与函数都是特别的映射．1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ()(2)在抛掷一枚质地匀称的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． ()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． ()[解析](1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)√因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面对上或反面对上，以一个标准如正面对上的次数来描述这一随机试验，那么正面对上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.(3)√因为由随机变量的定义可知，该说法正确．[答案](1)√(2)√(3)√2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次随意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所须要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5B[由于取到白球嬉戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.]随机变量的概念【例1】推断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2020年5月1日的旅客数量；(2)2020年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2020年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球的半径长．[解](1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．对随机变量的理解应留意把握如下几点随机变量其实是一种映射，是随机试验结果到实数之间的映射，因此我们可以这样理解，随机试验的结果相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．1．推断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)掷两次骰子，两次结果的和；(2)2024年高考中，某考生解答Ⅰ卷所用的时间；(3)济南长途客运总站候车厅中一天的旅客数量；(4)标准大气压下，水沸腾的温度．[解](1)掷两次骰子，两次结果的和可能是2,3,4，…12，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(2)解答Ⅰ卷所用时间在(0,120](单位：min)的范围之内，是随机变量．(3)候车厅中旅客数量可能是0,1,2，…出现哪个结果是随机的．因此是随机变量．(4)标准大气压下，水沸腾的温度是定值，不是随机变量．随机变量的可能取值及试验结果[探究问题]1．抛掷一枚质地匀称的硬币，可能出现正面对上、反面对上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示]可以．用数字1和0分别表示正面对上和反面对上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地匀称的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事务是什么？[提示]“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所须要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．思路探究：eq\x(\a\al(分析,题意))→eq\x(\a\al(写出X可,能取的值))→eq\x(\a\al(分别写出取值,所表示的结果))[解](1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和留意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的全部可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)留意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．[解](1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事务．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以推断其可能出现的全部值；(3)在试验之前不能确定取值.1．将一颗质地匀称的骰子掷两次，随机变量为()A．第一次出现的点数 B．其次次出现的点数C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数C[A、B中出现的点数虽然是随机的，但它们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果．D中出现相同点数的种数就是6种，不是变量．C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，这11种结果，但每掷一次前，无法预见是11种中的哪一个，故是随机变量，选C.]2．已知Y＝2X为离散型随机变量，Y的取值为1,2,3，…，10，则X的取值为________.eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)，4，eq\f(9,2)，5[由Y＝2X知，X为Y的一半，所以X的取值为eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)，4，eq\f(9,2)，5.]3．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为eq\f(1,2)，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．0,1,2,3[甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支