2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1.1函数及其表示方法第3课时分段函数教师用书新人教B版必修第一册

PAGE1-第3课时分段函数考点学习目标核心素养分段函数求值理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值数学运算分段函数的图像能画出分段函数的图像，并会应用解决问题直观想象问题导学预习教材P90－P92的内容，思索以下问题：1．什么是分段函数？2．分段函数是一个函数还是多个函数？1．分段函数假如一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．■名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必需指明各段函数自变量的取值范围．(3)分段函数的定义域是全部自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．2．分段函数的图像分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同始终角坐标系中，依据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要留意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像．■名师点拨在画每一段函数图像时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图像即可，即“分段作图”．3．常数函数值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．()(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))是分段函数．()(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．()答案：(1)×(2)√(3)√下列给出的式子是分段函数的是()①f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))②f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))③f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))④f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))A．①② B．①④C．②④ D．③④答案：B已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)，x<－1，,\r(x－1)，x>1，))则f(2)等于()A．0 B．eq\f(1,3)C．1 D．2解析：选C.f(2)＝eq\r(2－1)＝1.函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x>0，,－2，x<0))的定义域为______________，值域为______________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞){－2}∪(0，＋∞)分段函数的定义域、值域(1)已知函数f(x)＝eq\f(|x|,x)，则其定义域为()A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，0<x<1，,0，x＝0，,x2－1，－1<x<0))的定义域为________，值域为________．【解析】(1)要使f(x)有意义，需x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)，又0<x<1时，0<－x2＋1<1，－1<x<0时，－1<x2－1<0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．【答案】(1)D(2)(－1，1)(－1，1)eq\a\vs4\al()(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)肯定值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1，))则函数的定义域为________，值域为________．解析：由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]．答案：R[0，1]分段函数的求值问题已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))试求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值．【解】由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2，2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，－2<－eq\f(3,2)<2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(变问法)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．②当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0，所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3.因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a＝1符合题意．③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．综合①②③知，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.eq\a\vs4\al()(1)分段函数求函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知函数值求字母取值的步骤①先对字母的取值范围分类探讨；②然后代入到不同的解析式中；③通过解方程求出字母的值；④检验所求的值是否在所探讨的区间内．1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x<2，,f(x－1)，x≥2，))则f(2)＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选A.f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.2．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))若f(x)>2，求x的取值范围．解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；当x<－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.综上可得：x>0或x<－4.分段函数的图像及应用角度一分段函数图像的识别(2024·济南检测)函数y＝eq\f(x2,|x|)的图像的大致形态是()【解析】因为y＝eq\f(x2,|x|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,－x，x<0，))所以函数的图像为选项A.【答案】A角度二分段函数图像的画法分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<x<1，,x，x≥1.))(2)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，x<－2，,－3x，－2≤x＜2，,－3，x≥2.))【解】各函数对应图像如图所示：由图像知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．角度三分段函数图像的应用某地区的电力紧缺，电力公司为激励市民节约用电，实行按月用电量分段收费方法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，依据图像解下列问题：(1)求y关于x的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司实行的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？【解】(1)当0≤x≤100时，设函数关系式为y＝kx.将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.当x>100时，设函数关系式为y＝ax＋b.将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100a＋b＝65，,130a＋b＝89，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.8，,b＝－15.))所以y＝0.8x－15.综上可得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.65x，0≤x≤100，,0.8x－15，x>100.))(2)由(1)知电力公司实行的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；当y＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x>100，所以105＝0.8x－15，x＝150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．eq\a\vs4\al()分段函数图像的画法(1)对含有肯定值的函数，要作出其图像，首先应依据肯定值的意义去掉肯定值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特殊留意接点处点的虚实，保证不重不漏．已知函数f(x)＝eq\f(|x|－x,2)＋1(－2<x≤2)．(1)利用肯定值及分段函数学问，将函数解析式写成分段函数；(2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出函数的值域．解：(1)①当0≤x≤2时，f(x)＝eq\f(x－x,2)＋1＝1.②当－2<x<0时，f(x)＝eq\f(－x－x,2)＋1＝－x＋1.故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,－x＋1，－2<x<0.))(2)函数f(x)的图像如图所示：由图可知，函数f(x)的值域为[1，3)．1．函数f(x)＝y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0，3] D．{y|0≤y≤2或y＝3}解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y|0≤y≤2或y＝3}．2．已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x>0，))则使函数值为5的x的值是()A．－2 B．2或－eq\f(5,2)C．2或－2 D．2或－2或－eq\f(5,2)解析：选A.当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x>0时，－2x<0，不合题意．故x＝－2.3．函数y＝x＋eq\f(|x|,x)的图像是()解析：选C.对于y＝x＋eq\f(|x|,x)，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,x－1，x<0，))故其图像应为C.4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2，,2x，x>2.))(1)求f(2)，f(f(2))的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．解：(1)因为0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，所以f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x0≤2时，由xeq\o\al(2,0)－4＝8，得x0＝±2eq\r(3)(舍去)；当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.所以x0＝4.[A基础达标]1．一列货运火车从某站动身，匀加速行驶一段时间后起先匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度改变状况的是()解析：选B.依据题意，知这列火车从静止起先匀加速行驶，所以解除A，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，解除C，故选B.2．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))＝()A.eq\f(1,5) B．3C.eq\f(2,3) D.eq\f(13,9)解析：选D.f(3)＝eq\f(2,3)，f(f(3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋1＝eq\f(4,9)＋1＝eq\f(13,9).3．(2024·广东深圳中学期中考试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，则x的值是()A.eq\r(3) B．9C．－1或1 D．－eq\r(3)或eq\r(3)解析：选A.依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－eq\r(3)(舍去)或x＝eq\r(3).故选A.4．函数f(x)＝x2－2|x|的图像是()解析：选C.f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))分段画出，应选C.5．已知函数f(x)的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)解析：选B.由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，0<x<1，,x＋1，－1<x<0，))所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(2,3)＋1＝eq\f(1,3).6．已知f(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n－3，n≥10，,f(f(n＋5))，n<10，))则f(8)＝________．解析：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))．因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.答案：77．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2，x<1，,x2－ax，x≥1，))若f(f(0))＝a，则实数a＝________．解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)8．某单位为激励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月交水费16m元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应交水费y与实际用水量x满意的关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x＞10.))由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.答案：139．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)画出f(x)的图像；(2)若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．解：(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．(2)由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，结合此函数图像可知，使f(x)≥eq\f(1,4)的x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0，1]．10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图像．解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1.(2)图像如图所示．[B实力提升]11．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,0，x<0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是()A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x<0}解析：选A.当x≥0时，f(x)＝1，xf(x)＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇔x≤2，所以x<0.综上，x≤1.12．已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－eq\f(3,2)，不合题意；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)13．如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0<t<6)左侧的图形的面积为f(t)，求函数f(t)的解析式．解：当0<t≤2时，f(t)＝eq\f(1,2)×t×eq\r(3)t＝eq\f(\r(3)t2,2)；当2<t≤4时，f(t)＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)－eq\f(1,2)(4－t)×eq\r(3)(4－t)＝－eq\f(\r(3),2)t2＋4eq\r(3)t－4eq\r(3)；当4<t<6时，f(t)＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3).所以函数f(t)的解析式为f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al