2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE23.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·实力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有多数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.答案:C2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)解析:OA=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10答案:A3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()A.向量B.向量C.向量D.向量答案:D4点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A.(-1,0,1),(-1,2,0) B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0) D.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:由点A在x轴投影知y=0,z=0,由点A在xOy平面投影知z=0.故选B.答案:B5设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为,.

答案:(2,-4,5)(1,2,-3)6已知{a,b,c}是空间的一个基底,下列向量可以与p=2a-b,q=a+b构成空间的另一个基底的是(填序号).

①2a②-b③c④a+c答案:③④7如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD用a,答案:128如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求B解:B以AB则9已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA=e1,AB=e2,AP=e3,以{e1,e2,e解:由题意得DC=AB∵PC=AC-AP=AB+AD∴=-12e2+e3+12(e2-∴实力提升1设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底.当{a,b,c}为基底时,肯定有a,b,c为非零向量.答案:B2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M,B1D1的中点为N,若以{DAA.C.解析:MN答案:C3如图,在空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N是BC的中点A.B.-C.D.答案:B4若向量MAA.B.C.D.解析:若MA,MB,MC为空间一组基底向量,则M,AA中M,A,B,C共面;B中MA≠MB+答案:C5如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{AB,AD,AA.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)解析:a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA答案:D6设{i,j,k}是空间向量的单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的关系是.

解析:∵a·b=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0,∴a⊥b.答案:a⊥b7已知在空间四边形ABCD中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E解析:∵∴两式相加,得2∵E为AC的中点,F为BD的中点,∴EA+EC=∴2EF=AB+CD=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.答案:3a+3b-5c8已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标是(2,3,-1),求p在基底{a,a+b,a+b+c}下的坐标.解:由已知得p=2a+3b-c.设p=xa+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a+(y+z)b+zc,则有故p在基底{a,a+b,a+b+c}下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是上底面A'B'C'D'的中心,求AE解:AE==∵∴x=10★如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.分析:设AB=a,AD=c,AA1=b,把向量证明:设AB=a,AD=c,AA1=