2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程不等式之间的关系第1课时函数的零点二次函数的零点及其与对应方程不等式解集之间的关系教师用书新人教B版必修第一册

PAGE1-第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系考点学习目标核心素养函数零点的概念理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系数学抽象二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系结合二次函数的图像，会推断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法直观想象、数学运算问题导学预习教材P112－P114的内容，思索以下问题：1．函数零点的概念是什么？2．函数的零点与方程的根有什么关系？3．一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数与判别式Δ之间有什么关系？1．函数的零点一般地，假如函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．■名师点拨(1)函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值为零．(2)依据零点的定义可知，求函数y＝f(x)的零点，实质上就是解方程f(x)＝0.2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地，由一元二次方程解集的状况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点；(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全部的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．()答案：(1)×(2)×下列各图像表示的函数中没有零点的是()答案：D函数f(x)＝x2－5x的零点是________．答案：0，5函数y＝x3－64x的零点个数是________．解析：y＝x3－64x＝x(x2－64)＝x(x－8)(x＋8)＝0，所以x＝0或x＝±8.答案：3求函数的零点推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝eq\f((x－1)(x2－4x＋3),x－3).【解】(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.(2)令eq\f((x－1)(x2－4x＋3),x－3)＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.eq\a\vs4\al()(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时留意函数的定义域．(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.1．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x＜0，,x2－1，x＞0))的零点为________．解析：当x＜0时，x＋2＝0，则x＝－2.当x＞0时，x2－1＝0，则x＝1，x＝－1(舍)．所以函数f(x)的零点为－2和1.答案：－2和12．若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________．解析：因为2是f(x)＝x2－m的一个零点，所以4－m＝0，m＝4.答案：4二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系角度一解一元二次不等式解下列不等式：(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0.【解】(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝eq\f(1,2)，作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图①所示．由图可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq\f(3－\r(3),3)，x2＝eq\f(3＋\r(3),3)，作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))))).(3)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－eq\f(1,2).作出函数y＝4x2＋4x＋1的图像如图③所示．由图可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，x∈R)))).(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为∅.eq\a\vs4\al()解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或依据判别式说明方程没有实根；(4)依据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．角度二依据一元二次不等式的解集求参数(1)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，则a＋b的值为()A．14 B．－10C．10 D．－14(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．【解】(1)选D.由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且a＜0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))所以a＋b＝－14.(2)因为x2＋px＋q＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，所以x1＝－eq\f(1,2)与x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0两个实数根，由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．eq\a\vs4\al()(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图像在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．1．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(x)的图像为()解析：选B.因为不等式f(x)的解集为(－2，1)，所以a＜0，解除C、D，又f(x)与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.2．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．解：由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a＜0.))代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a＞0(a＜0)．即6x2＋5x＋1＜0，解得－eq\f(1,2)＜x＜－eq\f(1,3)，所以所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜－\f(1,3))))).一元二次方程根的分布问题已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程有两个不相等实根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．【解】(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出图像如图所示：由图像得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(－1)＝2＞0，,f(0)＝2m＋1＜0，,f(1)＝4m＋2＜0，,f(2)＝6m＋5＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2)，,m＜－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))所以－eq\f(5,6)＜m＜－eq\f(1,2)，即m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2))).(2)依据函数图像与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图像如图所示：由图像得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,0＜－m＜1，,f(0)＞0，,f(1)＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞1＋\r(2)或m＜1－\r(2)，,－1＜m＜0，,m＞－\f(1,2)，,m＞－\f(1,2)，))所以－eq\f(1,2)＜m＜1－eq\r(2)，即m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1－\r(2))).eq\a\vs4\al()(1)解此类问题一般从四个方面考虑：①抛物线的开口方向；②一元二次方程根的判别式；③对应区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．(2)对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根的分布总结如下表(其中f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，对于a＜0的状况可依照a＞0的状况列出)：根的分布(m＜n＜p，m，n，p为常数)图像满意的条件x1≤x2＜mm＜x1≤x2x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1≤x2＜nm＜x1＜n＜x2＜p在(m，n)内有且仅有一个根f(m)·f(n)＜0或(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有两个正根的条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2＝－\f(b,a)＞0，,x1·x2＝\f(c,a)＞0；))有两个负根的条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2＝－\f(b,a)＜0，,x1·x2＝\f(c,a)＞0；))有一个正根一个负根的条件为x1·x2＝eq\f(c,a)＜0.设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根x1和x2满意0＜x1＜x2＜1，求实数a的取值范围.解：令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，则由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,0＜\f(1－a,2)＜1，,g(1)＞0，,g(0)＞0，))所以0＜a＜3－2eq\r(2).故实数a的取值范围是(0，3－2eq\r(2)).1.函数f(x)＝x2－x－1的零点有()A.0个 B.1个C.2个 D.多数个解析：选C.Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，所以方程x2－x－1＝0有两个不相等的实根，故函数f(x)＝x2－x－1有2个零点.2.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A.－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D.－eq\f(1,2)，1解析：选B.方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq\f(1,2)，1.3.函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A.2 B.－2C.±2 D.3解析：选C.因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.4.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次不等式－x2＋2x＋m＜0的解集为.解析：由图可知，对称轴为直线x＝1.所以此二次函数图像与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，所以－x2＋2x＋m＜0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)[A基础达标]1.下列说法中正确的个数是()①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.A.1 B.2C.3 D.4解析：选B.依据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此，只有说法②④正确，故选B.2.函数f(x)＝x3－4x的零点为()A.(0，0)，(2，0) B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)C.－2，0，2 D.0，2解析：选C.令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.3.函数f(x)＝(x2－1)eq\r(x2－4)的零点个数是()A.1 B.2C.3 D.4解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去).即x＝2或x＝－2，所以函数的零点个数为2个.故选B.4.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,4)))))B.RC.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(3,2)))))D.∅解析：选A.因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不行能是B、C、D选项.5.若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选A.由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).6.函数f(x)＝2019x＋1的零点为.解析：令f(x)＝0，则x＝－eq\f(1,2019).答案：－eq\f(1,2019)7.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是.解析：依据二次函数的图像知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x＜0.))若f(a)≤3，则a的取值范围是.解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1].答案：(－∞，1]9.已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞).10.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq\f(4,3)；由Δ＝0，可解得m＝eq\f(4,3)；由Δ＜0，可解得m＞eq\f(4,3).故当m＜eq\f(4,3)时，函数有两个零点；当m＝eq\f(4,3)时，函数有一个零点；当m＞eq\f(4,3)时，函数无零点.(2)由已知得，0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.[B实力提升]11.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)B.(－4，4)C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.[－4，4]解析：选A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.12.一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，＋∞)) B.(－∞，－5)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，－5))解析：选C.关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝25－4＋4m≥0，,4－10＋1－m＞0，,\f(5,2)＞2，))解得－eq\f(21,4)≤m＜－5.故选C.13.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是()A.a＜α＜β＜b B.a＜α＜b＜βC.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b解析：选A.因为α，β为f(x)＝0的两根，所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到，由图知选A.14.若函数f(x)＝2ax2＋x－eq\f(1,2)在(0，1)内有零点，求实数a的取值范围.解：当a＝0时，f(x)＝x－eq\f(1,2)，零点x＝eq\f(1,2)∈(0，1)，符合题意.当a≠0时，①若2ax2＋x－eq\f(1,2)＝0在(0，1)内有两个相等实根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋4a＝0，,