专题十八 样本的均值和标准差（B卷-能力提升）解析版

专题十八样本的均值和标准差（B卷·能力提升）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：100分考试时间：100分钟题号一二三总分得分注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是(D)甲乙982786586882913A．x甲>x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．x甲>x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．x甲<x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．x甲<x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛[解析]由茎叶图可知x甲<x乙，乙的数据集中在88左右，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛，故选D．2．林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是(D)A．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐[解析]甲种树苗的高度的中位数为(25＋29)÷2＝27，乙种树苗的高度的中位数为(27＋30)÷2＝28.5，即乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数．由图可知甲种树苗的高度比较集中，因此甲种树苗比乙种树苗长得整齐．3．数据5,7,7,8,10,11的标准差是(C)A．8 B．4C．2 D．1[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(5＋7＋7＋8＋10＋11,6)＝8，标准差S＝eq\r(\f((5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2,6))＝2．4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如茎叶图所示，则该学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(B)A．117 B．118C．118.5 D．119.5[解析]最大数为98，最小数为56，极差为98－56＝42，中位数为76，所以极差与中位数之和为118．5．如图是某省2007～2016年城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以看到2007～2016年某省城镇居民百户家庭人口数的平均数为(B)A．304.6 B．303.6C．302.6 D．301.6[解析]所求平均数为eq\f(1,10)(291＋291＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋317)＝303.6，故选B．6.下列说法中，正确的是(B)A．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B．一组数据的标准差的平方是这组数据的方差C．数据2,3,4,5的方差是数据4,6,8,10的方差的一半D．频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频数[解析]A中的众数是4和5；C中，2,3,4,5的方差为1.25，而数据4,6,8,10的方差为5；D中，频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频率．7.某校为调查高一年级的某次考试的数学成绩情况，随机调查高一年级甲班10名学生，成绩的平均数为90，方差为3，乙班15名学生，成绩的平均数为85，方差为5，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为（

）A．87，10.2 B．85，10.2 C．87，10 D．85，10【答案】A【解析】由题意可知这25名学生成绩的平均数为这25名同学成绩的方差为故选：A8.已知，的均值为6，则=（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【解析】由题意得，，，故选:D第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分．9．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__2__．[解析]本题考查统计中方差的计算．甲＝90，且Seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，乙＝90，且Seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2．由于Seq\o\al(2,甲)>Seq\o\al(2,乙)，所求方差为2．10．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为__46__.[解析]根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1380，平均数＝eq\f(1380,30)＝46．11.在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如茎叶图所示．若从甲、乙两人中选择一人参加数学趣味知识竞赛，你会选__乙__.[解析]eq\x\to(x)甲＝eq\f(99＋107＋108＋115＋119＋124,6)＝112；eq\x\to(x)乙＝eq\f(102＋105＋112＋113＋117＋123,6)＝112.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(99－112)2＋(107－112)2＋(108－112)2＋(115－112)2＋(119－112)2＋(124－112)2]＝eq\f(206,3)；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(102－112)2＋(105－112)2＋(112－112)2＋(113－112)2＋(117－112)2＋(123－112)2]＝eq\f(148,3).故eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙).所以甲、乙两人的平均水平一样，乙的方差小，乙发挥更稳定，故选择乙．12.有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，制作了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查．某中学A、B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5,8,9,9,9；B班5名学生得分为：6,7,8,9,10.(单位：分)，请你估计A、B两个班中班的问卷得分要稳定一些.[解析]A班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8(分)，方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4；B班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8(分)，方差seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2．∴seq\o\al(2,1)>seq\o\al(2,2)．∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些．评卷人得分解答题：本题共2小题，共28分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.13．（14分）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[分析](1)由频率之和等于1可得x的值；(2)由最高矩形的横坐标中点可得众数，由频率之和等于0.5可得中位数；(3)先计算出月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户的户数，再计算抽取比例，进而可得月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取的户数．[解析](1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．(2)月平均用电量的众数是eq\f(220＋240,2)＝230．因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224．(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户，抽取比例＝eq\f(11,25＋15＋10＋5)＝eq\f(1,5)，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×eq\f(1,5)＝5户．14．（14分）某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82848589798091897974乙班：90768681848786828583(1)求两个样本的平均数；(2)求两个样本的方差和标准差；(3)试分析比较两个班的学习情况．[解析](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]