7.4 实践与探索（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步课堂（华东师大版）

7.4实践与探索

数学（华东师大版）七年级

下册第7章

一次方程组学习目标1.学会用二元一次方程组来解决实际问题；2.学会用三元一次方程组来解决实际问题；

温故知新解二元一次方程组主要有哪几种方法？列一元一次方程解决实际问题的步骤有哪些？审、设、找、列、解、验、答代入消元法和加减消元法讲授新课知识点一

用二元一次方程解决分配问题

探究1

养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20kg，每只小牛1天约需饲料7到8kg.你认为李大叔估计的准确吗？讲授新课问1：题中有哪些未知量，你如何设未知数？未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.问2：题中有哪些等量关系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg.讲授新课解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，根据等量关系，列方程组：30x＋15y=675，42x＋20y=940.

解这个方程组，得：x=20，y=5.

这就是说，平均每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.讲授新课

随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：8x＋5y=42，4x＋2y=20.

解这个方程组，得：x=4，y=2.

答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.讲授新课典例精析【例1】某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，每件文化衫的批发价和零售价如下表：

假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各有多少件．批发价(元)零售价(元)黑色文化衫1025白色文化衫820讲授新课解:设黑色文化衫有x件，白色文化衫有y件，

依题意得

解得答：黑色文化衫有60件，白色文化衫有80件．讲授新课练一练1.长18米的钢材，要锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小明估计其中2米的段数为7段，你认为他的估计准确吗？解：设2米的钢材有x段，1米的钢材有y段，根据题意，得解方程组，得答：小明估计不正确.2米钢材有8段，1米钢材2段．讲授新课知识点二

用二元一次方程组解决几何问题

探究2

据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？BACD讲授新课ADCBEF甲乙xy解：过点E作EF⊥CD，交CD于点F.设AE=xm，BE=ym.根据题意，列方程组解这个方程组，得答：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块土地种甲种作物，较小的一块种乙种作物.x＋y=200，100x:(2×100y)=3:4.

x=120，y=80.

讲授新课典例精析【例2】小丽手中有块周长为120cm的长方形硬纸片，其长比宽多10cm．

(1)求长方形的面积；

(2)现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为7：5，面积为805cm2的长方形纸片，试判断小丽能否成功，并说明理由．讲授新课解：(1)设长方形的长为xcm，宽为ycm.

根据题意得：

解得

∴xy=35×25=815．

答：长方形的面积为815cm2．(2)设长方形纸片的长为7a（a＞0）cm，则宽为5acm，

根据题意得：7a•5a=805

解得：a1=，a2=(舍去).

∴7a=<35，5a=<25.

答：小丽能成功．x-y=10，2(x+y)=120.

x=35，y=25.

讲授新课练一练1.小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下了一个边长为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？讲授新课解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm.

由题意，得

解得答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm.讲授新课知识点三

用二元一次方程组解决运费问题

探究3如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？讲授新课

分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设制成xt产品，购买yt原料.根据题中数量关系填写下表.产品xt原料yt合计公路运费/元铁路运费/元价值/元1.5×20x1.5×10y1.5(20x+10y)1.2×110x1.2×120y1.2(110x+120y)8000x1000y讲授新课解：设制成xt产品，购买yt原料.由上表，可列方程组

解这个方程组，得销售款为：8000×300=2400000（元）原料费为：1000×400=400000（元）运输费为：15000+97200=112200（元）2400000-（400000+112200）=1887800（元）答：销售款比原料费与运输费的和多1887800元．讲授新课典例精析【例1】某果品公司通往甲、乙两地都要经过水路和陆路，这家公司从甲地购进一批水果运回公司加工成果汁再销往乙地，已知水路、陆路的运价及里程数如下表，若这两次运输支出水路运费10000元，陆路运费8000元，问该公司运进水果和运出果汁各多少吨？

水路陆路从甲地到公司（千米）2030从公司到乙地（千米）1040运价：元/(吨·千米)21讲授新课分析：设运进水果x吨，运出果汁y吨

水路运费陆路运费从甲地到公司从公司到乙地2x·2030x2y·1040y解：设该公司运进水果x吨，运出果汁y吨，则2x·20＋2y·10=1000030x＋40y=8000解得x=240y=20答：该公司运进水果240吨，运出果汁20吨.讲授新课练一练1.一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表．

这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完．如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？

甲种货车（辆）乙种货车（辆）总量（吨）第一次4528.5第二次3627讲授新课所以（5×4＋2×2.5）×20=500答：菜农应付运费500元．解：设甲种货车每辆可运x吨，乙种货车每辆可运y吨.

根据题意，得解得讲授新课知识点四

用三元一次方程组解决问题合作探究探究4：

要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？讲授新课通过试验发现：

1张白卡纸能做0个盒子；

2张白卡纸能做1个盒子，1张做盒身，1张做盒底盖；

3张白卡纸能做2个盒子，1张做盒身，2张做盒底盖；

4张白卡纸能做3个盒子，2张做盒身，2张做盒底盖；

5张白卡纸能做4个盒子，2张做盒身，3张做盒底盖；

6张白卡纸能做5个盒子，2张做盒身，4张做盒底盖；

7张白卡纸能做6个盒子，3张做盒身，4张做盒底盖；第8张和第1张情况类似；第9张和第2张情况类似------讲授新课归纳：用n表示纸的张数，若n=7k+1(k是自然数），情况和1张的情况相同；，若n=7k+2(k是自然数），情况和2张的情况相同；----，若n=7k+6(k是自然数），情况和6张的情况相同；若n=7k(k是自然数），盒子的数量是64k.

由上述归纳可知：20张卡纸，20=7×2+6，余数是6，因此和6张相似，可以做5个盒子，14张纸可以做6×2=12个盒子，因此20张白卡纸可以做17个盒子。

那么还有没有其他的简便方法呢？讲授新课解：设用x张白卡纸做盒身，用y张白卡纸做盒底盖，由题意得所以可做16个包装盒.解得讲授新课想一想：如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖，那么，又怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒盖配套，又能充分地利用白卡纸？

用8张做盒身，11张做盒底盖，另一张套裁出1个盒身，1个盒底盖，则共可做盒身17个，盒底盖34个，正好陪成7个包装盒，较充分利用材料。讲授新课典例精析【例4】小芳和小亮各自买了同样数量的信纸和同样数量的信封，他们各自用自己买的信纸写了一些信。小芳每封信都是一张信纸，小亮每封信都用了三张信纸。结果小芳用掉了所有的信封但余下20张信纸，而小亮用掉了所有的信纸但余下50个信封，那他们每人买的信纸为多少张？信封为多少个？讲授新课解：设他们买了x张信纸，y封信封，根据题意，则：解得

x=105，y=85.答：他们买了105张信纸，85封信封.

讲授新课练一练1.泉州是个美丽的城市。30名工人一共种植了1360平方米草坪，已知一名男工人种植50平方米草坪，一名女工人种植30平方米草坪，各有男、女工人多少人？解：设有男工人x人，女工人y人，根据题意，则：解得

x=23，y=7.答：有男工人23人，女工人7人.

当堂检测1.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．(1)求该店有客房多少间，房客多少人．(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何定房更合算？当堂检测解：(1)设该店有客房x间，房客y人．

根据题意得

答：该店有客房8间，房客63人．(2)若每间客房住4人，则63名客人至少需要客房16间，需付费20×16＝320(钱)；

若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8＝288(钱)，288钱<320钱．选择一次性定客房18间更合算．答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房18间更合算．解得当堂检测2、食堂有一批粮食，若每天用去140千克，按预计天数计算就少50千克；若每天用去120千克，那么到期后还可剩余70千克.估计食堂现有粮食700～800千克，可供应时间为一周.通过计算检验估计是否正确？解：设预计使用天数为x天，共有粮食y千克，根据题意，得解方程组，得答：共有粮食790千克，可供应6天.对粮食存量估计正确，对可供应时间估计偏高.当堂检测3、某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，该种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：

在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排终止才能使所有人都有工资,且资金正好够用？作物品种每公顷所需人数每公顷投入资金/万元蔬菜51.5荞麦41当堂检测解：设蔬菜种植xhm2,荞麦种植yhm2根据题意可列出方程组：解方程组，得：∴承包田地的面积为：x+y=4hm2∴人员