2024-2025学年北京密云区高一（上）期末数学试卷（含答案）

第1页/共14页2025北京密云高一（上）期末数学2025.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.一元二次不等式的解集是（）A.或 B.C.或 D.4.设，且，则（）A. B.C. D.5.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，)6.“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边经过点，则（）A. B. C. D.8.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（）A.函数的定义域是B.函数是增函数C.当时，有最大值D.函数的最大值是9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（）参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010．A.50 B.60 C.70 D.8010.已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知扇形的圆心角是1弧度，半径为2，则扇形的弧长为_______，面积为_______．12.计算：_______；_______．（用数字作答）13.函数的定义域是_______；最小正周期是_______．14.已知函数，则的最小值等于_______．15.如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆形图案分为两部分，体现了数学的“对称美”．已知O为坐标原点，若函数的图象将圆O的圆周二等分，并且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记为圆O的一个“太极函数”．给出下列四个结论：①对于圆O，它的“太极函数”有无数个；②函数是圆O的一个“太极函数”；③函数是圆O的一个“太极函数”；④函数是圆O的一个“太极函数”．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知集合，．（1）求集合；（2）当时，求；（3）若，写出一个符合条件的m的值．17.已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）将的终边绕原点按逆时针方向旋转π后得到角的终边，求的值．18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．19.已知函数．（1）解关于x的不等式：；（2）当时，恒成立，试确定实数m的取值范围．20.已知函数．（1）当时，证明：为偶函数；（2）当时，直接写出的单调性，并解不等式；（3）当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．21.已知集合A包含有个元素，．（1）若，写出；（2）写出一个，使得；（3）当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【分析】由题意，根据交集的概念与运算直接得出结果.【详解】由题意知，.故选：C2.【答案】A【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，全称命题的否定为特称命题，故选：A.3.【答案】B【分析】先分解因式，再求得不等式的解集.【详解】由可得，故得.故选：B.4.【答案】C【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到.【详解】对于A，由，因，故得，即A错误；对于B，由两边同除以，可得，故B错误；对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确；对于D，由，因，故得，故D错误.故选：C.5.【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点存在定理,把选项代入验证即可.【详解】因为函数是减函数,又,,所以,由零点存在性定理可得,包含零点的区间(2，3).故选：C6.【答案】B【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.【详解】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”，又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”，所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件，故选：B.7.【答案】B【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式求解即可.【详解】角α以为始边，终边经过点，所以，所以，故选：B.8.【答案】D【分析】由题意，根据可得，作出图形，结合图形即可求解.【详解】当时，；当时，；当时，；所以.作出的图象，如图，由图可知，函数在上单调递增，所以当时取到最大值，为，故D正确.故选：D9.【答案】C【分析】设经过的天数为天，依题得方程，运用两边取对数和对数的运算性质化简，代入近似值计算即得.【详解】设经过天后，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，由题意，可得，化简得，两边取常用对数，可得：，即大约经过70天，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍.故选：C.10.【答案】A【分析】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围.【详解】由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点，设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得，因点关于直线对称，故；由可得，则有，且，即得，于是，，因函数在上单调递减，故可得，则的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点点睛：解题的关键有二：其一，一般应将函数的零点情况转化为两函数图象的交点情况，数形结合处理；其二，要注意图象的对称性和翻折变化蕴含的结论，由此求得等量关系和自变量范围.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】①.2②.1【分析】利用扇形得弧长，和扇形的面积求解即可.【详解】扇形弧长为扇形面积故答案为：2，1.12.【答案】①.2②.3【分析】空一可利用分数指数幂的运算求解；空二利用对数的运算法则求解.【详解】;.故答案为：13.【答案】①.②.14.【答案】5【分析】凑项利用基本不等式即可求得的最小值.【详解】由，因，故，因，当且仅当时，即时等号成立，即当时，取得最小值为5.故答案为：5.15.【答案】【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】①：圆O，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆,其“太极函数”不止1个，故①正确；②：由于函数，当时，，则，当时，,则，故为偶函数，故根据对称性可知函数不是圆O的一个“太极函数”，故②错误；③：函数定义域为R，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故③正确；④：函数定义域为R，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故④正确.故选：①③④【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题在新环境下研究旧性质主要是将新性质应用在旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）或（2）（3）(区间里的任何实数都符合)【分析】（1）根据补集定义易得；（2）利用并集的定义易得；（3）根据条件可得，从而得不等式组，求出的范围，依题只需在范围内取任何实数都符合.【小问1详解】由可得或；【小问2详解】当时，，则；【小问3详解】由可得.，因恒成立，故；要使，需使，解得，故区间里的任何实数都符合.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系求出，解两角和正弦公式计算即可求解；（2）根据二倍角的余弦公式计算直接得出结果；（3）由题意可得，结合同角的商数关系即可求解.【小问1详解】由题意知，，所以；【小问2详解】由题意知，；【小问3详解】将的终边绕原点按逆时针方向旋转后得到角的终边，则，所以.18.【答案】（1）（2）最小值为，最大值为【分析】（1）利用整体代换法计算即可求解；（2）根据正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】由，，得，所以的增区间为.【小问2详解】由，得，又在上单调递减，在上单调递增，所以当即时，取到最小值，为；当即时，取到最大值，为；19.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）由原不等式可得，对分三种情况讨论，分别利用二次不等式的解法即可得解；（2）恒成立等价于在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】，即为，即可得，令可得或，当，即时，或；当，即时，；当，即时，或，综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；【小问2详解】因为当时，恒成立，即当时，恒成立，即当时，恒成立，设函数，则在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为，所以，故实数的取值范围为20.【答案】（1）证明见解析（2）在上递增，不等式解集为（3）存在，【分析】（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数；（2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可；（3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可，【小问1详解】当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称，因为，所以是偶函数；【小问2详解】当时，，因为都是单调递增函数，所以在上递增，不等式，即，所以，即不等式的解集为；【小问3详解】当时，，且，所以，当且仅当，即时等号成立，因为的最小值为4，所以，即存在，使得的最小值为4.21.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得；（2）根据条件分析集