天津市部分区2024届高三上学期期末练习考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市部分区2024届高三上学期期末练习考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意全集，集合，，则，.故选：D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，因为在上单调递增，所以，即，又在0,+∞上单调递增，可得，即，所以，故选：C.4.已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由图可知函数为奇函数，若，则有，若，则有，所以与都不是奇函数，故排除AD；而由，可排除B，若，经检验C选项符合题意故选：C.5.已知等比数列的前n项和是，且，，则（）A.30 B.80 C.240 D.242【答案】D【解析】由题意设公比为，所以，解得，所以.故选：D.6.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A.1440 B.120 C.60 D.24【答案】B【解析】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生，所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为：.故选：B7.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则所具有的性质是（）A.图象关于直线对称B.图象关于点成中心对称C.的一个单调递增区间为D.曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为【答案】D【解析】由题意，对于A，，所以图象不关于直线对称，故A错误；对于B，，所以图象不关于点成中心对称，故B错误；对于C，当时，，由复合函数单调性可知此时单调递减，故C错误；对于D，若，则或，所以曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为.故选：D.8.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】中，因为，，，所以；中，，，，所以；中，，，，所以，从而.因为，，，平面，平面，所以平面..故选：A9.双曲线：的离心率为，实轴长为4，的两个焦点为，.设O为坐标原点，若点P在C上，且，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，所以，在中，由余弦定理得，，由于，所以，故，由于是的中点，所以，则，即，即，①而，两边平方并整理得，，②联立①②可得.故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分、试题中包含两个空的，签对1个的给3分，全部答对的给5分.10.是虚数单位，复数_________.【答案】【解析】.故答案为：11.在的展开式中，常数项为_________.（结果用数字表示）【答案】135【解析】由题意的展开通项为，令，解得，所以常数项为.故答案为：135.12.在教师资格考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.70，0.6，且两人考试是否通过相互没有影响，则两人都通过的概率为____________，两人至少有一人通过的概率为___________.【答案】；【解析】因为两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件，所以同时发生的概率为，两人都未通过考试的概率为，故两人至少有一人通过的概率为.故答案为：；.13.已知抛物线：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线的斜率为，则以线段为直径的圆的方程为______________.【答案】【解析】由题意，解得，所以抛物线：，设线段的中点为，Ax1,又直线的方程为，联立抛物线方程得，由韦达定理有，所以，即，而以线段为直径的圆的半径为，所以以线段为直径的圆的方程为.故答案为：.14.在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示：过点作，垂足为，则，，由，，可设，,，则,，由，所以，,，所以，当时，取得最小值为．故答案为：．15.已知函数，（，且）.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为________；的取值范围为__________【答案】；【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数根，即函数的图象与函数y=fx的图象有三个不同的交点，由题意当且时，，又，若关于的方程有根，则只能，但此时方程有且仅有一个根不满足题意；所以，此时，直接由解析式可得当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递增，综上所述，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与函数y=fx的图象如图所示：由图可知函数的图象与函数y=fx的图象有三个不同的交点，则当且仅当，解得，即的取值范围为，不妨设，注意到，所以，，等号成立当且仅当，解得，即，所以，即的取值范围为.故答案为：；.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.（1）求b的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因为，，所以，即，又因为，所以，解得.（2）由（1）得，，所以，所以.（3）由（2）得，，又，所以，，所以.17.如图，已知平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求点到直线距离.证明：（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以，，所以平面，且平面，所以平面.解：（2）由题知，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.（3），，设点到直线的距离为，则，即点到直线的距离为.18.设，两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为.（1）求的方程（2）设直线与交于，两点，若的外接圆在处的切线与交于另一点，求的面积.解：（1）设点Mx,y，因为的坐标为，所以直线的斜率，同理，直线的斜率，由已知，有，化简，得点的轨迹方程为：.所以，的方程为.（2）由解得或，不妨设，，设的外接圆方程为：，所以，解得，所以的外接圆的方程为：，所以外接圆圆心，所以，所以的外接圆在处的切线方程为：，即，由得，，设Px0由题意及韦达定理，所以，故，故，又点,所以，又点B4,0到直线的距离为：，所以的面积为：.19.已知等差数列，，.（1）求的通项公式和；（2）已知为正整数，记集合的元素个数为数列.若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和.解：（1）由题意，（分别是首项，公差），解得，所以的通项公式为，所以.（2）由题意且为正整数，即，所以，所以，所以，所以的前项的和为.20.已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.解：（1），所以，所以切线方程为.证明：（2）设，，令，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在0,+∞单调递增，所以，即.解：（3）令，则，且，令，则，因在单调递减