上海市长宁区2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市长宁区2023-2024学年高一上学期期末数学试题一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置）.1.已知集合，集合，则____________．【答案】【解析】由题设知：.2.若，则__________．【答案】【解析】因为，所以.3.不等式的解集是___________.【答案】【解析】由，得，解得，所以不等式的解集为.4.根式的指数幂形式为___________.【答案】【解析】，．5.“或”的否定形式为______________________．【答案】“且”【解析】由题意“或”的否定形式为“且”.6.若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为______.【答案】【解析】幂函数的图象经过点，则，所以，故，故的定义域为.7.若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.【答案】【解析】由指数函数的性质可得，解得.8.已知，若，则______.【答案】或【解析】由，得；由，得；由，得（舍）；综上或.9.若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是______.【答案】，【解析】方程可变形为，由于方程在上有解，而当，时，，所以，解得，即实数的取值范围是，．10.已知，方程的解集为______.【答案】【解析】当时，则；当时，则；当时，则.综上所述，原方程的解集为.11.已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________________．【答案】【解析】当时，，解得，因为是上的奇函数，故图象关于原点对称，所以当时，，又由是上的奇函数，所以，即，综上，的解集为.12.已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是_____________.【答案】，【解析】因为函数在定义域上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，，时，，则只需，解得；当时，在，上单调递增，当时，，时，，则只需要，解得，又，所以．综上可得，即实数的取值范围是，．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.13.若与互为相反数，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】与互为相反数，则，即，则.故选：D.14.设为函数的零点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数是连续函数，且零点为，；，，故函数的零点在区间内.故选：C．15.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（）A. B.C D.【答案】A【解析】根据题意，对于①，，即函数的定义域为，值域为，A、B、C、D均符合；对于②随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合.故选：A.16.已知函数的定义域为.是上的严格增函数；任意，都有，且当时，恒有；：当时，都有；下列关于的充分条件的判断中，正确的是（）A.都是 B.是，不是C.不是，是 D.都不是【答案】B【解析】根据题意，对于：任意，，都有，令，则有，再令，有，变形可得，则函数为奇函数；设，有，则有，必有，故函数是上的严格增函数，则是的充分条件；对于，例如，当，满足时，都有；但不单调递增函数，故不是的充分条件.故选：B．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.已知是实数.（1）求证：，并指出等号成立的条件；（2）若，求的最小值.解：（1）证明：因为，所以，当且仅当，时，不等式中等号成立.（2），当且仅当，即或时，不等式中等号成立.所以最小值为4.18.设集合，.（1）若，试用区间表示集合、；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，由，得，解得，所以，由，得，则有，解得，所以.（2）由，得，解得，所以，由（1）得，由于，所以，解得，所以实数的取值范围是.19.为了鼓励消费，某地发放了以“爱购**”为主题的消费券，一张消费券价值50元，使用方式为：消费满100元后，结账时该券抵50元．（1）A商家在中秋节期间举行促销活动，每件商品按原价6折销售．若买一件原价为300元的商品，则在结账时使用了一张消费券后，还应付多少元？（2）小明在B商家选购时看中了一件88元的商品和一件打5折的特价商品，但特价商品的折扣不能与消费券同时使用，若该特价商品原价的范围在元，试判断小明是否会使用消费券？并说明理由．解：（1）由题意原价为300元的商品打6折后本应付元，若在结账时使用了一张消费券后，则还应付元.（2）设特价商品原价为，小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱分别为，则，所以，即，所以小明不会使用消费券，而会选择按特价商品打折方式购买.20.已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.解：（1）当时，函数的定义域为，对，，所以函数为奇函数；当时，的定义域为，对，，此时，此时，函数是奇函数.（2）设，则，因为，所以，，若为上的增函数，则成立，则成立，所以成立，解得，所以实数的取值范围是.21.设函数y=fx在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数y=fx在区间上具有性质.（1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由；（2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；（3）设，若存在唯一的实数，使得函数在0，2上具有性质，求的值.解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集，（1）由可得，因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质.（2）函数在区间，的值域为，，函数在，上的值域为，