四川省自贡市2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省自贡市2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知点，向量，则向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，则.故选：A.2.已知直线的方程为，则下列说法正确的是（）A.倾斜角为 B.倾斜角为C.方向向量可以为 D.方向向量可以为【答案】A【解析】因为斜率，令，则，故A正确，B错误；方向向量时，斜率，故C错误；方向向量为时，斜率，故D错误；故选：A.3.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，则，故，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.4.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】曲线表示椭圆，即或.或，“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B．5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为（）A.5 B.10 C.6 D.9【答案】B【解析】如图，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设椭圆的方程为，，当时，，解得，因为，，所以，所以，①又因，所以，②由①②解得，所以光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为.故选：B.6.已知平面直角坐标系中函数的图象是双曲线C，将曲线C绕原点顺时针旋转得到曲线，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】因为的两条渐近线，所以顺时针旋转后的渐近线为，所以，即，设与的交点为，令，解得或，所以，，旋转后为双曲线的左右顶点，所以，所以，故选：B.7.下列命题中真命题是（）A.如果不同直线m、n都平行于平面，则m，n一定不相交B.如果不同直线m，n都垂直于平面，则m，n一定平行C.如果平面、互相平行，若直线，直线，则D.如果平面、互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若，则【答案】B【解析】对于A，如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n可能平行、相交或异面，A错误；对于B，如果不同直线m，n都垂直于平面，根据线面垂直的性质知m，n一定平行，正确；对于C，如果平面、互相平行，若直线，直线，则或异面，C错误；对于D，如果平面、互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若，则或或，也可能和相交但不垂直，D错误，故选：B8.已知，是圆上的两个动点，且，则，两点到直线的距离之和的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以为直角三角形，为斜边，设线段的中点为，则，从而在圆上，设，两点到直线的距离之和为，到直线的距离为，由题意得，圆的圆心到直线的距离为，所以，即，所以．故选：D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知双曲线，则双曲线（）A.焦点坐标为和B.渐近线方程为和C.离心率为D与直线有且仅有一个公共点【答案】CD【解析】A：因为，所以，所以焦点坐标为，故A错误；B：因为，所以渐近线方程为，即，故B错误；C：因为，所以，故C正确；D：因为与渐近线平行，所以与双曲线有且仅有一个交点，故D正确；故选：CD.10.如图，已知三棱锥的截面平行于对棱．下列命题正确的有（）A.四边形是平行四边形B.当时，四边形是矩形C.当时，四边形是菱形D.当时，四边形周长为4【答案】ABD【解析】由平面，平面平面，平面，得，同理，于是，同理，因此四边形是平行四边形，A正确；当时，则，平行四边形是矩形，B正确；由，得，由，得，又，则，而与不一定相等，因此与不一定相等，即平行四边形不一定是菱形，C错误；由选项C知，，，两式相加得，即，所以平行四边形的周长为4，D正确.故选：ABD11.如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则下列判断正确的是（）A.B.平面平面C.三棱锥的体积是D.三棱锥的外接球的体积是【答案】ABD【解析】正方形中，，，折起后，有，平面，∴平面，又平面，所以，故A正确；因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；折叠后可知三条直线两两垂直，，，，故C错误；由三条直线两两垂直，如图，补全长方体，则长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以，所以三棱锥的外接球的体积是，故D正确.故选：ABD.12.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.当时，C.以线段为直径的圆与直线相切D.当最小时，切线与准线的交点坐标为【答案】ACD【解析】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，联立，消整理得，则，代入得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故A正确；对于B，结合A可得，，由，得，解得，，故B错误；对于C，由题意得抛物线准线方程为，焦点，设，，在准线上的射影为，，，则，，，所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；对于D，结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程为，联立，消整理得，则，解得，所以切线的方程为，联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上）13.离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为______．【答案】8【解析】椭圆的半焦距，依题意，双曲线的半焦距为，而双曲线的离心率，则双曲线实半轴长，所以该双曲线的实轴长为.故答案为：814.在正方体中，平面，若，则_______．【答案】【解析】在正方体中，连接，连接，显然平面平面，平面平面，则，即，又正方体的对角面是矩形，即有，于是，所以.故答案为：15.过点的直线与抛物线交于不同两点A、B．则______．（O为坐标原点）【答案】0【解析】依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，由消去x并整理得，设，则，所以.故答案为：016.如图，圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径为圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则每个球的表面积为______．【答案】【解析】设球半径为，依题意，，解得，所以一个小球的表面积为.故答案为：四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.设是等差数列，若．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和及其最值．解：（1）设公差为，由，得，解得，所以；（2）设数列的前项和为，则，函数的对称轴为，所以，无最小值.18.设圆C圆心在直线上，圆C与直线相切于点（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C相交于A、B．若，求直线AB的方程．解：（1）由圆C与直线相切于点，得圆心在垂直于直线的直线上，则直线的斜率为1，方程为，即，由，解得，即点，圆的半径，所以圆C的方程为.（2）由（1）知，圆：，由弦长为2，得圆心到直线的距离，当直线斜率不存在时，直线方程为，显然点到此直线距离为1，符合题意，当直线的斜率存在时，设方程为，即，由，解得，即直线方程为，所以直线方程为或.19.如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，且（1）求证：平面；（2）求二面角大小的余弦值．解：（1）由AB是的直径，得，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，得，而平面，所以平面.（2）在平面内过作于，在平面内过作于，连接，由（1）知，平面，则，而平面，于是平面，又平面，则，而平面，因此平面，而平面，则，从而是二面角的平面角，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，则，由，得，，则，，在中，，，所以二面角大小的余弦值.20.双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为．（1）求双曲线C的方程；（2）过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）．解：（1）由题意可得，，解得，所以双曲线C的方程为；（2），则直线的方程为，即，则原点到直线的距离，设，联立，消得，，则，所以，所以的面积.21.如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点．（1）证明平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且，而且，又为的中点，则且，于是且，因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令，取中点，连接，而为中点，则，有底面，由正，得，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，令直线与平面所成的角为，于是，所以直线与平面所成角的正弦值.22.已知椭圆的左右焦点分别，若______．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分）①四点中，恰有三点在椭圆C上．②椭圆C经过，轴，且．（1）求椭圆C的方程；（2）设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得为定值？请证明你的结论．解：（1）若选①：因为中有三点在椭圆上，由于关于原点对称，所以均在椭圆上，又因为的横坐标相同，所以不在椭圆上，在椭圆上，所