四川省2025届高三上学期（新高考二卷地区）第一次适应性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省2025届高三上学期（新高考二卷地区）第一次适应性考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一．单选题1.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，其中的奇数为，故选.2.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，等差数列的公差，由于，，成等比数列，所以，，解得，所以.故选：D3.方程的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】原方程可化为,即,.故选：C.4.已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【答案】D【解析】因为，所以，所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心.故选：D.5.已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（）A.设是半焦距到其中一个焦点的距离，那么必然有B.到直线的距离不是定值C.和没有交点D.三角形面积的取值范围是【答案】C【解析】因为椭圆过点，所以，不妨设，，那么，，A，注意到当的时候，但是，从而A错误B，直线是，计算，B错误．C，，从而有，同理．显然曲线在直线所围成的矩形内，椭圆在直线所围成的矩形内，由，显然椭圆和没有交点．C正确·D，因为，所以，从而，D错误故选：C6.设复数，．那么如下说法中错误的是（）A. B.在第二象限C.若，那么 D.【答案】A【解析】A，注意到令且，则，所以在上递增，故，则，故得证，从而A错误B，注意到，，设，则，从而在第二象限．B正确．C，代入就发现，从而C正确D，化简就是，而后者是，从而两个都是有理数，差也是有理数．从而D正确.故选：A7.设抛物线：（）的焦点为，点（）是上一点．已知以为圆心的圆与轴相切，与线段相交于点，，则的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，点在抛物线上，则，即①，其中,如图所示，过作直线的垂线，为垂足，且与轴交于，易知，，故，得，抛物线的准线方程为：．故选：B．8.数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数，且该数列的第项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（）A.87 B.94 C.101 D.108【答案】B【解析】由题意可知：，，所以所以当时，，此时后5项和848构成公差为的等差数列，所以，不符合题意；当时，，此时后5项和943构成公差为20的等差数列，所以，符合题意，当时，，此时后5项和1148构成公差为22的等差数列，所以，不符合题意，当时，，此时此时后5项和1258构成公差为23的等差数列，所以，不符合题意，故选：B二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．9.中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（）A.B.，，不能构成三角形C.若，则为锐角三角形D.若，，均为有理数，则为有理数【答案】ACD【解析】对于A，由于，平方可得，相加化简可得，故A正确，对于B，取，则，，能构成三角形，B错误，对于C，由可知，故为最大的内角，则，故为锐角，进而可得为锐角三角形，C正确，对于D，若，，均为有理数，则均为有理数，则为有理数，不妨设，延长到，使得，过作，故，由于，故为有理数，所以均为有理数，因此为有理数，故选：ACD10.已知曲线上的点满足方程，则下列结论中正确的是（）A.当时，曲线的长度为B.当时，的最大值为1，最小值为C.曲线与轴、轴所围成的封闭图形的面积和为D.若平行于轴的直线与曲线交于，，三个不同的点，其横坐标分别为，，，则的取值范围是【答案】ACD【解析】对于方程，①当，时，方程变为，即，表示半圆弧；②当，时，方程变为，即，表示射线；③当，时，方程变为，该圆不在，范围内，故舍去；④当，时，方程变为，即，表示射线.综上可知，曲线由三段构成：射线，半圆弧和射线.对于选项A，当时，曲线由三段构成：线段，半圆弧和线段.其长度为，故A正确；对于选项B，令，其表示曲线上的动点与定点连线的斜率，由图可知，，但是其最小值是过点且与半圆弧相切的切线斜率，显然，，故B错误；对于选项C，由图可知，曲线与轴、轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为，故C正确；对于选项D，设平行于轴的直线为，要使与曲线有三个交点，则，不妨设与半圆弧的交点为，，显然，，两点横坐标之和，与射线的交点为，则点的横坐标，所以，故D正确.故选：ACD.11.在三棱锥中，，，且，则（）A.当为等边三角形时，，B.当，时，平面平面C.的周长等于的周长D.三棱锥体积最大为【答案】ACD【解析】对于选项A：分别取的中点，连接，可知：，且，因，可知为矩形，可得，若为等边三角形，则，因为，则，又因为为对应棱的中点，则，可得，即，所以，同理可证：，故A正确；对于选项B：若，，可得，同理可得，且，则，可知与不相互垂直，反证：假设平面平面，则存在直线平面，使得平面，由平面，可得，因为平面，且，可知，所以，这与与不相互垂直相矛盾，所以假设不成立，故B错误；如图，以的中点建立空间直角坐标系，则，若，设，则，整理得，即点到定点的距离为，所以点均在以点为球心，半径为的球面上（不与共线），对于选项C：因为，则在与直径垂直的圆面上，因为，且，可知，且，则，即，所以的周长等于的周长，故C正确；对于选项D：取的中点，连接，则，可得，所以三棱锥体积，当且仅当时，等号成立，所以三棱锥体积最大为，故D正确；故选：ACD三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分．12.二项式中展开式中项的系数为______【答案】【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，所以，所以二项式中展开式中x项的系数为.故答案为：.13.四面体体积为6，，，，则异面直线与的夹角为____________【答案】或【解析】由题意，，以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，又，设，则，解得，，此时，，因此，，，则或，则或，所以异面直线AD与BC的夹角为或.故答案为：或.14.从1，2，…，2024中任取两数，（可以相同），则个位为8的概率为____________【答案】【解析】从1，2，⋯，2024中任取两数a，b(可以相同)，共有种取法，因为的个位数字随着从1开始，依次是，周期变化，的个位数字随着从1开始，则依次是，周期变化，故它们的周期均为，所以，中，共有种数型，且每种数型的个数是均等的，都是个，和的尾数中只有三种情形中个位数字是，即时，的个位数字是，，所以满足的个位数字是的取法有种取法，所以所求概率为.即个位为的概率为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤．15.某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表月份1月2月3月小型汽车数量（辆）306080创造的收益（元）480060004800（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？解：（1）选取②，由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小，而函数及均为单调函数，故不符合题意，所以选取②，将，，三点分别代入函数解析式，可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为，即得到，解出，∴，∴，，；（2）设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得，即，即，因为，所以方程有两个实数根，，由二次函数的图象可知不等式的解为.因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时，这家工厂能够获得6020元以上的收益.16.已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，，求证：．（1）解：由知，若，则，若，则．又，所以．由，可得即（常数），故是首项为2，公差为1的等差数列，所以．故．（2）证明：由得，①由得，②①②可得．当时，，则．所以，所以，当时，也满足上式，所以．由上可知，，所以，即．17.如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．（1）证明：平面；（2）在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．（1）证明：正方形中，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，又，，∴，又∵，∴，∴，又，∴，又，平面，∴平面.（2）解：假设存在点，满足题意，由（1）知，平面，，故以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设点，，∴，∴，∴，∴，，设平面的法向量为，∴，令，∴，，∴，由（1）知平面的法向量为，∴，即，即，即，解得或（舍去），所以存在一点，使得，即．18.设（1）若，求的单调区间．（2）讨论的零点数量．解：（1）当时，.注意到，从而的正负只和有关，从而可作出下表：+0—0+从而的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）当时注意到恒成立，从而没有零点.当时，注意到所求可以化为的解的数量.设，，则，从而可以作下图：0+++0——0001——0+++00当时，，注意到，注意到，当且仅当时等号成立，则，从而单调递增，零点若有则至多有一个，注意到设时有，，从而，设时有，从而，从而在上必然有一个零点.从而总有一个零点.当时，我们考虑，注意到，从而可作出下表：10—0+++1从而其在之间有一个零点，设其为，从而考虑，其在上的正负性和一样，从而先单调减少后单调递增，其极小值点就是最小值点，在处取到.注意到，从而此处，从而当时，的最小值比0大，此时没有零点；当时，的最小值恰好就是0，从而只有一个零点；当时，在处小于0，在时，从而在上有一个零点.设，则，所以函数在上单调递减，则，即，当时，，从而在时，从而上有一个零点，从而此时共有两个零点.综上所述，当时，没有零点；当或者时，有一个零点；当时，有两个零点.19.定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切．（1）求的表达式和离心率（2）已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交