上海市静安区2025届高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市静安区2025届高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟.2024.12一､填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.1.设集合，则__________.【答案】【解析】集合，所以.故答案为：2.不等式的解集为__________.【答案】【解析】由不等式，得，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：3.已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________.【答案】【解析】，因为其为纯虚数，则且，解得.故答案为：.4.设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为__________.【答案】36【解析】在等差数列中，，则公差，所以.故答案为：365.到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________.【答案】【解析】依题意，，则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，由，得，所以动点的轨迹方程为.故答案为：6.在中，已知，则的值为__________.【答案】【解析】在中，由正弦定理得，而，因此，即，所以.故答案为：7.已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为__________.【答案】2【解析】函数，求导得，则，所以所求瞬时速度为2.故答案为：28.若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则__________.【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式）【解析】取正数，则，当且仅当时取等号，因此，即，于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.显然，取.故答案为：9.以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为__________.【答案】【解析】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点，依题意，，所以.故答案为：10.如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________.【答案】【解析】分别过点作的垂线，垂足分别为，则根据正切函数的定义得，，则，解得.故答案为：.11.记.若函数y=fx是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为__________.【答案】【解析】因为二次函数为偶函数，则该函数的对称轴为直线，可得，令，，则因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为.故答案为：.12.已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为__________.【答案】100000【解析】设，依题意，，，由，得，解得，因此，则，，所以的最小值为100000.故答案为：100000二､选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题､14题各4分，第15题､16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.设，则“”是“且”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】正向来看，取，则，满足，但不满足a>0且，故充分性不成立，反向来看，，则，故必要性成立，所以前者是后者的必要不充分条件.故选：B.14.污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（）（参考数据：）A.小时 B.小时 C.小时 D.小时【答案】B【解析】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得，即，解得.因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时.故选：B.15.我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】中，.不妨设，则，空间四面体是一个“鳖臑”，则和都是直角三角形，若，则中，，由勾股定理得，此时不是直角三角形，不合题意；所以，在中，，由勾股定理得，此时满足是直角三角形，，由，，二面角的平面角为，中，，，所以二面角的大小为.故选：D.16.在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】设平面的一个法向量，则，令，则，即，所以该四棱锥的高.故选：C.三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数.（1）求函数单调区间；（2）求不等式的解集.解：（1），令，解得或者，令，解得或，所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和.（2），即，，即，利用穿根法解得.所以解集为.18.已知向量，且.（1）求及；（2）记，求函数的最小值.解：（1）由题意得，由于则，因为，所以.（2）因为，则，则当，即时，该函数取得最小值.19.如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形.（1）求正三棱锥的体积；（2）设分别是线段的中点.求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形.（1）解：由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体，取正的中心，连接，延长交于，连接，则平面，是的中点，，，则，所以正三棱锥的体积.（2）证明：①由分别是线段的中点，得，而平面，平面，所以平面.②由平面交于点，得面平面，而平面，平面，则，而是中点，则是的中点，因此，而，则四边形是平行四边形，又，于是为菱形，而，平面，则平面，又平面，因此，于是，所以四边形是正方形.20.如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为.（1）请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；（2）在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线圆柱的体积最大值；（3）求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.（1）解：如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，则曲线过点，所以，故，所以，曲线的方程为，线段AB的方程为，（2）解：设Ex,y，则.以CF为母线的圆柱的底面半径满足，所以，所以圆柱的体积.所以，所以，当时，其体积取得最大值；（3）证明：因为函数的导函数，所以，抛物线上任意一点的切线斜率为，设是抛物线上两条相互垂直的切线，切点分别为，则其方程分别为，且，消去，解得，因为，得.故抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线